偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是描述自然科学、工程学、经济学等多个领域中各种现象的重要数学工具。由于大多数偏微分方程的解析解难以求得，数值方法成为求解偏微分方程的主要途径。偏微分方程的数值解主要涉及通过离散化方法将连续的偏微分方程转化为代数方程，进而利用计算机求解。
偏微分方程概述
偏微分方程的定义
偏微分方程是一类涉及多个自变量和函数的偏导数的方程，通常用来描述多维变量间的连续变化关系。一个一般形式的偏微分方程为：
其中 是未知函数， 是自变量。
偏微分方程的分类
- 椭圆型（Elliptic PDE）：通常描述稳态现象，如泊松方程（Poisson Equation）和拉普拉斯方程（Laplace Equation）。
- 抛物型（Parabolic PDE）：通常描述时间相关的扩散过程，如热传导方程（Heat Equation）。
- 双曲型（Hyperbolic PDE）：通常描述波动或传播现象，如波动方程（Wave Equation）。
数值解法概述
数值解法旨在通过离散化的方式将偏微分方程转化为有限维的代数方程，从而可以在计算机上进行求解。常用的数值解法包括有限差分法（Finite Difference Method, FDM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）和有限体积法（Finite Volume Method, FVM）。
有限差分法（FDM）
基本想法
有限差分法通过用差分近似代替偏微分，将 PDE 离散化。设定网格步长 ，并将自变量 离散为点 处的值。偏导数的差分近似例如可以表示为：
离散格式的构造
以一维的泊松方程为例：
在网格点 处，离散化后的方程为：
通过这种离散化，将偏微分方程转化为代数方程组：
其中 是稀疏矩阵， 和 分别是离散化后解的向量和右端项的向量。
收敛性与稳定性分析
有限差分法的数值解是否逼近精确解，依赖于离散化过程的一致性、稳定性和收敛性。一致性要求差分格式在网格步长趋于 时逼近原方程。Lax 等价定理指出，对于一致的有限差分方法，稳定性是收敛的充分必要条件。
一致性
一致性衡量的是差分近似对原 PDE 的逼近程度。例如，对一维的二阶导数，中心差分的截断误差为 ，表明其一致性阶数为二阶。
稳定性
稳定性分析是确保数值解在网格加密时不会发散。常用的稳定性分析方法包括冯·诺依曼稳定性分析，它通过研究误差在时间步长变化下的增长情况，得到一个稳定性的条件。
收敛性
收敛性保证了当网格步长 和时间步长 减小时，数值解 收敛于原方程的解 。通过一致性和稳定性可以推导出收敛性。
有限元法（FEM）
基本想法
有限元法通过将求解域分割为若干小的子区域（称为单元），并在每个单元上用局部的多项式逼近 PDE 的解。有限元法的关键是将 PDE 转化为弱形式，然后利用加权余量法构造离散问题。
弱形式与伽辽金法
考虑一个椭圆型方程：
通过乘以一个测试函数 并对整个区域 积分，得到弱形式：
在有限元法中，解 和测试函数 被限制在有限维空间中，即用局部多项式逼近。这种加权余量法常称为伽辽金法。
单元剖分与基函数
将区域 划分为有限个单元（例如三角形或四边形）。每个单元上定义局部基函数 ，并将数值解表示为基函数的线性组合：
通过将弱形式离散化，得到关于系数 的线性方程组。
收敛性与误差估计
有限元法的收敛性依赖于网格的剖分精度以及选取的基函数阶数。常见的误差估计结果表明，当使用分片线性基函数时，误差为 ，而使用高阶基函数时，误差可以进一步降低。
有限体积法（FVM）
基本想法
有限体积法通过将 PDE 在网格单元上积分，从而保证离散格式满足局部守恒性。该方法尤其适合用于保守型方程的求解，如流体力学中的质量守恒和动量守恒方程。
离散化过程
考虑对守恒型方程：
将其在每个体积单元 上积分，得到：
其中 是单元边界的法向量。然后通过对边界通量的近似，构造离散格式。
数值方法的应用
热传导方程
对于热传导方程：
可以通过显式或隐式的时间离散化方法求解。例如，显式差分格式为：
隐式格式则需要解线性方程组。
波动方程
对于一维波动方程：
常用有限差分法进行时间和空间的离散化。中心差分格式能够以较高精度捕捉波动的传播过程。
偏微分方程的数值解法是现代科学计算中的核心技术，能够有效求解许多解析解难以获得的复杂问题。有限差分法、有限元法和有限体积法作为三大主要数值解法，各自有其优势和适用领域。数值方法的准确性、稳定性和收敛性分析是确保数值解逼近真实解的关键。随着计算能力的提升和算法的不断改进，偏微分方程数值解在物理、工程等领域将继续发挥重要作用。
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本书为江苏省优秀研究生教材，内容包括常微分方程两点边值问题的差分方法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、高维发展方程的交替方向法、分数阶微分方程的有限差分方法、 Schrödinger 方程的差分方法、 Burgers 方程的差分方法、 Korteweg-de Vries 方程的差分方法.
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本书可作为信息与计算科学及数学与应用数学专业高年级本科生的基础课教材, 亦可作为高等学校数学及其他专业研究生的教学参考书.
孙志忠，1984年、1987年在南京大学分别获得理学学士学位和理学硕士学位。1990年在中国科学院计算中心（计算数学与科学工程计算研究所）获得理学博士学位。1990年起在东南大学任教。东南大学二级教授、博士生导师。江苏省“青蓝工程”学术带头人，江苏省计算数学学会常务理事。主讲数值分析、偏微分方程数值解法、非线性发展方程的数值方法、计算方法等课程。主要从事偏微分方程有限差分方法及其理论研究。主持完成国家自然科学基金项目5项和江苏省自然科学基金项目1项。出版专著6部，教材3部。发表学术期刊论文160余篇。2020年和2021年Elsevier 高被引学者。荣获东南大学教学工作优秀特别奖、教学工作成果特等奖。荣获数学建模江苏赛区优秀教练员称号和全国数学建模优秀教练员称号。荣获江苏科学技术奖三等奖、江苏省高等教育教学成果奖一等奖。
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 常微分方程两点边值问题的差分方法 1
1.1 Dirichlet边值问题 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先验估计式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解与数值算例 12
1.2.4 差分格式解的先验估计式 16
1.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 紧致差分格式 29
1.3 导数边界值问题 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解与数值算例 35
1.4 小结与拓展 39
习题1 40
第2章 椭圆型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet边值问题 45
2.2 五点差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解与数值算例 51
2.2.4 差分格式解的先验估计式 54
2.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 紧致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解与数值算例 66
2.3.4 差分格式解的先验估计式 69
2.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 74
2.4 导数边界值问题 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解与数值算例 78
2.5 双调和方程边值问题 80
2.6 小结与拓展 82
习题2 84
第3章 抛物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初边值问题 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解与数值算例 92
3.2.4 差分格式解的先验估计式 95
3.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解与数值算例 105
3.3.4 差分格式解的先验估计式 109
3.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解与数值算例 115
3.4.3 差分格式的不稳定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解与数值算例 122
3.5.4 差分格式解的先验估计式 124
3.5.5 差分格式解的收敛性和稳定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 紧致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解与数值算例 134
3.6.4 差分格式解的先验估计式 136
3.6.5 差分格式解的收敛性和稳定性 138
3.7 非线性抛物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 导数边界值问题 161
3.9 小结与拓展 164
习题3 165
第4章 双曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初边值问题 174
4.2 显式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解与数值算例 180
4.2.4 差分格式解的先验估计式 183
4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 187
4.3 隐式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解与数值算例 196
4.3.4 差分格式解的先验估计式 198
4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 200
4.4 紧致差分格式 203
4.5 有限Fourier级数及其应用 206
4.5.1 有限Fourier级数 206
4.5.2 两点边值问题差分解的先验估计式 210
4.5.3 抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式 212
4.5.4 双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式 214
4.6 小结与拓展 218
习题4 219
第5章 高维发展方程的交替方向法 226
5.1 二维抛物型方程的交替方向隐格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解与数值算例 233
5.1.4 差分格式解的先验估计式 238
5.1.5 差分格式解的收敛性和稳定性 242
5.2 二维抛物型方程的紧致交替方向隐格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解与数值算例 249
5.2.4 差分格式解的先验估计式 252
5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 255
5.3 二维双曲型方程的交替方向隐格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解与数值算例 263
5.3.4 差分格式解的先验估计式 268
5.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 273
5.4 二维双曲型方程的紧致交替方向隐格式 275
5.5 小结与拓展 281
习题5 282
第6章 分数阶微分方程的有限差分方法 287
6.1 分数阶导数的定义和性质 287
6.1.1 分数阶积分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分数阶导数 287
6.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数 288
6.1.4 Caputo分数阶导数 288
6.1.5 Riesz分数阶导数 290
6.2 Caputo分数阶导数的插值逼近 290
6.2.1 α(0<α<1) 阶分数阶导数的逼近 290
6.2.2 γ(1<γ< 2) 阶分数阶导数的逼近 293
6.3 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的稳定性 298
6.3.4 差分格式的收敛性 300
6.3.5 数值算例 300
6.4 时间分数阶波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的稳定性 304
6.4.4 差分格式的收敛性 306
6.4.5 数值算例 307
6.5 时间分数阶混合扩散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的稳定性 311
6.5.4 差分格式的收敛性 314
6.5.5 数值算例 315
6.6 小结与拓展 317
习题6 318
第7章 Schr*dinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二层非线性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和唯一性 327
7.2.4 差分格式解的收敛性 329
7.2.5 数值算例 334
7.3 三层线性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 339
7.3.4 差分格式解的收敛性 340
7.3.5 数值算例 348
7.4 小结与拓展 349
习题7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二层非线性差分格式 354
8.2.1 记号及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和唯一性 358
8.2.5 差分格式解的收敛性 361
8.2.6 数值算例 366
8.3 三层线性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和唯一性 370
8.3.4 差分格式解的收敛性 371
8.3.5 数值算例 375
8.4 小结与拓展 376
习题8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空间一阶差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收敛性 386
9.2.5 数值算例 388
9.3 空间二阶差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收敛性 397
9.3.5 数值算例 401
9.3.6 引理9.2的证明 402
9.4 小结与拓展 406
习题9 406
参考文献 408
索引 411
