由于各种原因, 大多数抽象代数 (近世代数) 课程只是简单地向学生介绍了群、环、域等相关概念. 学生在学习完该课程后, 只记得枯燥乏味的定义, 而不知道它们能具体解决什么问题. 林亚南教授将之比喻为“搭了舞台没唱戏”. 因此当我接受天津大学 2016 级近世代数的教学任务时就开始思考, 学生应该通过这门课程学到什么？如何组织教学内容以便于学生接受？是传授知识为主还是培养能力为主？
没有抽象就没有数学, 培养学生的抽象能力是数学教学不能回避的任务. 而数学专业的毕业生也应该了解直尺–圆规作图及方程是否有根式解等历史上的著名难题和它们的解决方法. 所以我决定通过展示历史上的一些著名难题是如何解决的来引入基本概念和定理. 课程中的几乎所有基本概念和定理都与解决上述问题相关, 这样就回答了学生为什么要学习这些抽象概念的疑问, 同时向学生展示了如何应用所学概念解决具体的 (甚至可以说初等的) 问题. 通过抽象概念 (而不是技巧) 解决看起来初等的问题, 这对愿意思考的学生无疑是极具震撼力的！而这正是高等数学与初等数学的重要区别. 概括地说, 我们的设计理念可以总结为, 以经典的数学问题为导向, 按照学生接受概念由具体到抽象、由熟悉到陌生的次序进行讲授. 围绕这些经典问题, 抽象代数的基本概念和定理在整个课程中反复出现、逐渐加深, 使学生对于内容的理解循序渐进、水到渠成. 本书是按照上述课程设计理念为学生编写的.
引言通俗介绍了尺规作图及高次方程是否有根式解的问题, 为群、环、域的定义埋下伏笔. 学生接受抽象概念困难是因为不习惯, 因此第 1 章将群、环、域及其同态等基本概念一次引入, 这样它们在整个课程教学中反复出现、逐步深入, 使学生习惯成自然.
第 2 章引入了唯一分解整环的概念 (可通过历史故事说明唯一分解性的重要性). 本章的技术难点是诺特整环上不可约分解存在性 (定理 2.2.1) 的证明, 而主要定理则是定理 2.2.2 中关于分解唯一性的等价条件.
遵循“引入概念是为了应用”的原则, 在第 3 章我们展示了如何利用所学概念描述和解决直尺–圆规作图问题. 最后需提示学生, 一个复数可由直尺–圆规作出当且仅当它可通过有限次加减乘除和开平方根得到, 故直尺–圆规作图问题实际上是方程是否有根式解问题的特殊情形. 定理 3.3.2 的证明说明了两个域之间的同构如何扩展成它们扩域之间的同构. 它是本章的难点, 但真正理解该证明对后续学习至关重要. 本章最后一节证明了中间域与子群的对应关系, 为第 4 章群论初步的学习提供了动力.
第 4 章的主要任务是证明方程可解当且仅当伽罗瓦 (Galois) 群可解. 该证明的关键是引理 4.3.2 和高斯 (Gauss) 关于方程 xn − 1 = 0 可解的定理. 我们在 4.3节给了引理 4.3.2 和高斯定理一个简洁证明. 最后通过西罗 (Sylow) 定理的证明向学生介绍了群作用的概念.
第 5 章模论初步证明了主理想整环上有限生成模的结构定理, 并介绍了它对有限生成交换群及若尔当 (Jordan) 标准型的应用.
我们坚持以直接、自然的方式处理相关内容, 在不增加难度的前提下追求定理的一般性. 例如第 2 章关于不可约分解存在性的证明, 它对主理想整环或诺特整环难度上并无差别. 而且对诺特整环证明了存在性, 更能突出主理想这一条件对唯一性的重要. 第 2 章关于多项式环的定义也是如此, 多项式系数环非交换并没有增加额外困难. 当然, 教师应该根据教学目标和课时适当选择教学内容.
实践表明 64 学时可以完成前 4 章讲授 (根据学生情况, 第 5 章是选讲内容).如果希望 48 学时内完成伽罗瓦理论讲授, 第 2 章可以只讲 2.1 节和域上的多项式理论, 同时省略 4.5 节. 如果仅希望 36 学时内完成群、环、域等基本概念的讲授, 可以选择第 1 章, 第 2∼4 章的第 1 节和第 4 章 4.2∼4.3 节中的置换群与单位根群.
摘自《抽象代数》前言
首批国家级一流本科课程配套教材
简
介
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本书为首批国家级一流本科课程抽象代数的配套教材. 内容包括群环域、唯一分解整环、域扩张、群论初步及模论初步等. 本书以经典数学问题为导向, 按照学生接受概念由具体到抽象、由熟悉到陌生的次序安排. 围绕这些经典问题, 抽象代数的基本概念和定理反复出现、逐渐加深, 便于学生循序渐进、水到渠成地理解内容.
作
者
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孙笑涛，天津大学数学学院院长，主要从事代数几何的研究，研究方向为模空间理论，包括曲线上向量丛模空间的退化等。2000年获得国家杰出青年基金资助，2012年获国家自然科学二等奖，2013年获第十四届陈省身数学奖。
主要学术成绩包括：发现并证明 Frobenius同态与稳定向量丛之间的重要联系；证明任意秩广义theta函数的分解定理和Seshadri-Nagaraj猜想；证明模空间极小有理曲线与Hecke曲线的等价性；与人合作证明Gieseker关于平展基本群与D-模关系的猜想，建立特征p代数曲面的Miyaoka-Yau型不等式等。
读
者
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本书可作为高等学校数学类专业本科生或研究生的抽象代数（近世代数）课程教材，也可作为其他相关专业的教学用书.
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