对于考研，数学专业同学最重要的两门专业课考试数学分析与高等代数各150分，占到总分的60%，这两门课程的成绩对自己去往目标院校至关重要。
第一次给大家简单地总结下数分和高代的内容，其实同学们如果花一天时间来回顾自己过去半年备考的过程，还是会很有意义的。
考点很多，但不同院校考试重难点不同。数分高代学习是一个很好锻炼思维的基础课程，它相比高数和线代能更好为我们学子搭建现代数学中分析代数几何的基本架构，从而对数学有更深的理解。
但对于考研的同学而言，第一个阶段就是争取在2025考研初试拿到高分。
数学分析
针对数分的学习方法，一些做题技巧的掌握很重要，比如分析中连续与离散的相互变形思想，通常情况下都是将离散型问题连续化，这样就可借助积分和微分方法处理，但有些连续问题也需要我们从离散角度做更好，数列与函数、求和与积分都相互串联，还有分析中“叠加”思想，比如积分是可看作一种连续求和的过程，逼近思想，这是分析当中最常用的处理手段，无法直接证明两个相等，就可以以此逼近。另外阶的估计在极限计算和判断无穷积分和级数收敛有着非常重要作用，比如借助Taylor展开估阶、判断级数一般项趋于零的阶。另外数分还有一个重点，就是一致收敛性，因为涉及到求和与求积分与其他运算次序的交换性问题，这里我主要叙述函数项级数和含参变量无穷积分的一致收敛性，A-D判别法就是重点，另外求和、求导、求积分以及求极限四种运算的“换序问题，就需借助“一致收敛性”的条件。
(1) 极限与连续函数，这是学习数学分析的第一步，包括数列极限、函数极限以及连续函数，其实在你看到数列极限问题，如果考得比较综合点就有点难度，但对于考研掌握一些基本方法就够了，比如证明数列极限收敛的几种方法如单调有界、Cauchy收敛原理、迭代放缩、两边夹等，当然还有上下极限相等、收敛数列的任何子列都收敛都可以证明极限存在，而极限常用处理方法，比如stolz公式、平均值定理、放缩法、等价无穷小、化函数极限、无脑taylor、利用微分学、积分学及级数的知识及方法、极限的定与性质、重要极限、恒等变形、变量代换等常用技巧。然后连续函数，首先定义要熟悉、分段估计思想，以及零点定理、介值定理、最值定理、连续函数的平均值定理、一致连续等。这里再给同学们补充个“截断”思想，比如遇到在某条件下证明无限区间上的函数性质(如有界、一致连续)，这个时候我们就可以根据给定条件对无限区间进行截断处理，比如这个题，设函数 在区间 上连续, 存在且有限，证明: 在 上一致连续。由于在有限区间根据闭区间上连续函数必一致连续，但对于无穷区间就不能，所以可利用在存在且有限这个条件，使用Cauchy收敛原理即证。当然截断的处理思想还可以是无限项之和，甚至有限区间以及有限项之和。
(2) 微分学，这部分内容是考研必考点，内容非常多，关于导数和微分这是基础概念，为后面多元函数的偏导和可微奠定基础，然后微分中值定理。在这节内容中体现了分析中最重要的一个辅助函数思想，一般是将所证结论中某参数视为变量构造辅助函数。比如常用的中值问题辅助函数的构造。其次就是多中值问题、求中值点的极限问题、以及微分中值不等式等(无脑利用某点的taylor展开)。
(3) 积分学，首先是不定积分和定积分的计算，这部分内容在考研中太简单了，一直以来就没有出现过稍微有难度的题，但对于考研学生的要求分部积分、换元和配凑的基本技巧要掌握，难点在积分不等式，这部分看我的积分不等式葵花宝典涉及到考研和竞赛内容就够了，要掌握不等式和估值的思想对于整个数学分析都很重要，但不等式的证明需要相当的分析技巧。其次就是积分中值定理，以及掌握一些分段估计的分析思想和两类Euler和伏汝兰尼积分。
（4）反常积分与含参积分，对于反常积分有两类，一个是无穷积分，一个是暇积分；主要掌握它的收敛性判断，其中对考研学生最为重要的是熟练无穷限广义积分收敛性A-D判断法。针对广义积分中被积函数性质的证明，这里是有一定方法技巧，能提高自己的证明能力。对于带参变量广义积分一致收敛性也有同样的A-D判别法，以及含参量反常积分的连续性、可微性以及可积性需要熟练。
(5) 多元函数的微分学，这部分学习有了前面一元函数的极限基础，是很好掌握的。主要掌握二元函数极限，比如它的连续性、可微性、偏导数与方向导数的之间关系。其次求复合函数求偏导数、隐函数定理、二元极值判别法以及引入拉格朗日算子求条件极值问题，这章节多做点题，属于课本知识，无任何分析技巧，所以专题复习做几道题就好。所以这部分内容没有特别多内容。
(6) 多元函数的重积分和曲线曲面积分，这部分内容有点多，但归结到底还在算积分，然后加上你把这部分内容的计算公式都吃透彻了，就没多大问题。考研在这块难度都不大。针对重积分，掌握极坐标变换和一般变换以及球坐标就可以。线面积分包间曲线与曲面积分，会算就好，以及格林条件、高斯与斯托克斯公式要掌握。
(7) 无穷级数，主要有数项级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数，这个板块内容非常多，也是考研的一个重难点，需要同学们做好学习积累。第一个重点是正项级数的敛散性判断，包括熟练比较判别、对数判别、柯西判别、达朗贝尔判别、拉贝判别、高斯判别法等，当然这方面判敛需要你平时多练习和积累；第二个重点是任意项的敛散性判别，需熟练A-D判别法；第三个重点是函数项级数的收敛性判断以及一致性，重点还是A-D判别法；第四个重点关于幂级数连续性的Abel级数求和定理。关于傅里叶级数你会算求展开式就可以，上面的重点是学习的基础，是必须熟练于心的掌握，不然你去考场，那这些重难点随时都可能是定时炸弹。
高等代数
针对高代的学习方法，它和线代有很大的不同是”抽象“，在高代中核心的主线有两个分别是线性方程组和线性空间。前主线是由线性方程组引出了行列式的概念，之后就是学一些计算各种行列式的方法，包括按行列展开、降阶升阶法、拆分法等，之后就引入矩阵工具得到线性方程组的系数矩阵以及增广矩阵、矩阵秩的概念、还有基础解系。后主线是以线性空间为导火线，刚开始同学们学它时可能会发现其定义很抽象，但只要理解它满足加法和乘法的八条运算律，可称它为线性空间(向量空间)，这就很容易验证连续函数全体、多项式全体以及矩阵全体均为线性空间，再从具体例子出发易理解这个概念，从解空间便可引入线性空间的维数和基。
至于高代的核心如向量与线性空间、矩阵与线性变换(同构)，前者线性空间是从向量组抽象出来的内容，比如极大线性无关组对应线性空间的基，向量组的秩对应线性空间的维数，通过维数来描述大空间分解若干子空间，便引出直和的概念；后者线性变换是由它在一组基下的像唯一确定的，通过基变换使得矩阵与线性变换一一对应，从而引出特征值、特征向量、特征子空间（特征值的代数重数总是大于等于特征值的几何重数）以及可对角化的线性变换，进而有了根子空间，而矩阵又和二次型理论结合，包括矩阵合同与正定概念，从矩阵的相似对角化就引出了特征子空间分解，还有化Jordan标准型，便很自然引入多项式理论研究最小多项式等，如当线性变换的最小多项式（极小多项式）可分解为一次因式的乘积时，则线性变换有Jordan标准型，其实任意一矩阵都可找到对应的标准型，这就借助准对角矩阵，当这些准对角矩阵的元素是一个数、Jordan块或友矩阵，那么准对角矩阵可以为对角矩阵、Jordan标准型、有理标准型。其次还有二次型与欧式空间的内容，这些内容都是一一对应，非常有联系下。
在高代的学习当中，有特别多的结论，一开始学习会发现很抽象，但对于考研的同学，可以从“具体”中例子感受“抽象”的结论，通过一些实际的例题理解高等代数许多抽象的定义，毕竟考研有很多二级结论也是可以直接用，就需要你多加积累这些结论，当然重要的结论你还是要很勤快推导证明，并加以应用，这就从“抽象”回归于“具体”，另外注重计算与证明并冲的策略，反复进行学好高等代数，接下来系统回顾高代的整体内容。
(1) 多项式，其实这章有些院校可能考研不考。它的研究先是从数域概念引出一元多项式和多项式函数，才有多项式的带余除法、整除、综合除法以及一元多项式的因式分解，对应是多项式函数的余数定理和方程的根问题，然后从因式分解引出不可约多项式，就有了重因式、最大公因式以及因式分解唯一性定理（实数域、复数域以及有理多项式不可约判定），对应有代数学基本定理，最后就是结式、vita定理、多元多项式以及对称多项式。一般考试的重点还是会放在对于两个多项式研究最大公因式和互素的性质。
(2) 行列式，这本来就是从解方程组抽象出来的，通过行列式给出求解阶行列式的Cramer法则。这部分内容无非掌握一些计算技巧就可以。如爪型行列式、按行列展开、相邻作差的行列式、打洞、数归、拉普拉斯、大对角行列式、拆分法的行列式、升降阶的行列式、循环行列式以及范德蒙德行列式等等。这部分内容是基础。
(3) 线性方程组，这部分本来是高代的开端，但由于线性方程组引出行列式，而行列式这个概念从这节抽象出来的，所以在编写教材中将行列式放在解方程前面。这章内容不难，为了引出秩的概念，从系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，则方程组有解出发，之后就有了向量组等价以及极大线性无关组的定义。对于考研的同学要掌握线性表出、秩的概念以及有解问题，还有对角占优比较常考。
(4) 矩阵，这部分是重难点，内容很多。针对几类矩阵，如等价矩阵、可逆矩阵、伴随矩阵、相似矩阵、合同矩阵、正交矩阵、正定矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、过渡矩阵、循环矩阵、秩一矩阵、对合矩阵、幂零矩阵、幂等矩阵等等，其次就是矩阵秩不等式的问题、利用等价标准型求矩阵方程、矩阵分解（非常多）、矩阵可对角化的充要条件（难点）以及矩阵特征值与特征向量等。再然后研究二次型，建立与实对称矩阵之间的一一对应的关系，在复数域上有Hermite矩阵，这部分内容主要是矩阵合同对角化以及正定、半正定的相关性质以及同时可对角化、打洞原理、同时合同对角化等等、以及熟悉半正定手法、还有一些C'C的应用，这章节内容需要同学多加积累和练习，难度不大。
(5) 线性空间，为了应付考研的话，基和坐标、和与交、同构、商空间、直和以及覆盖定理的证明、直和的两种证明，这些是必须要掌握的。到这章开始要学会一些等价命题的证明。
(6) 线性变换内容，换种说法就是线性映射+变换，为了研究变换我们引入了矩阵，所有线性变换的全体都可以通过选取线性空间的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，包括矩阵可对角化，如果一个线性变换不可对角化，那选择一组合适的基可准对角化，不可对角的矩阵可写成Jordan块的形式，研究线性变换本质是在研究矩阵的性质。这部分是不难的，如果那些定理结论都会推，那考试的题目就万变不离其宗，考点离不开“可对角化、维数公式、不变子空间直和分解、幂零变换、哈密顿-凯莱定理、可交换与同时对角化、同时上三角化等等”。当然这章节考试大概率在不变子空间上，所以对线性变换的像与核的理解要到位，一些基本定理式的结论要记住，并能独立推导。
(7) 矩阵，前面说到并不是所有的矩阵都可对角化，于是有了“Jordan标准型“的概念，只要特征多项式能够完全分解，就可化Jordan标准型，就需要引入矩阵。这部分内容不多，但可以作为工具来使用。首先一些基础概念你要知道，比如行列式因子、不变因子、初等因子以及特征多项式与最小多项式，进而研究Jordan标准型与有理标准型。
(8) 欧氏空间的学习，研究的是带有度量性质的线性空间。而内积是一个有着线性、共轭对称性、正定性的二元映射，能在一个线性空间中定义内积，那称为内积空间。取值为复数的情况将有限维的复内积空间称为酉空间，取值为实数的情况则称为欧氏空间。其中正交变换实际上是一个欧氏空间到它自身的同构映射，换句话就是保持度量关系不变，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应。单位正交基构成的矩阵是满足，其中代表着共轭转置，即称为酉矩阵，在实数上称之为正交矩阵，只不过前者是在复内积空间，后者是在实内积空间中。根据正交矩阵的定义知其行列式为1或-1，而行列式等于-1时称为第二类正交变换，即镜面反射，而对称变换在正交基下为对称阵，实对称矩阵必定正交相似于对角矩阵，其中实对称矩阵与对角矩阵既相似又合同。
本文转自公众号“ 八一考研数学竞赛”，作者是Hoganbin，感谢原作者。
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