数学史趣 || 历史上的那些称霸世纪的“数学全才”们，你知道几位？

小伙伴们大多都觉得学数学很难，而能在自己研究领域发表一篇文章，做出一点原创性的成就更难。然而，历史总会上演一幕幕让世人难以理解和触碰的壮举，有那么一些数学家，他们在数学的原野上纵横驰骋，四面开花，又总是能够闪出一片惊人的火花与光芒。

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首先来看看什么是数学全才？基础数学的研究可基本分为分析、代数、数论、几何、拓扑这五个部分，每部分之间有较大的差异但也会存有一定的联系。我们所说的“数学全才”就是在这几个部分都做出了重大成就的数学家。

早期的数学全才，我们可以从牛顿(1643~1727)和莱布尼茨(1646~1716)这两位微积分鼻祖谈起。局限于时代环境，17世纪中叶的数学分类远没有如今全面，甚至更确切地说就连数学所属的大类——自然科学，也还没有完全从哲学的殿堂中分离出来。著名的牛顿第二定律记载在名为《自然哲学的数学原理》一书中就是很好的证明。在那个时代，诸多的数学成果在今天看来或许还是一些基础性的认识，同时这些成果也由于分类不清而使得数学家的研究很容易“跨界”。从这一点来看似乎牛顿和莱布尼茨这样的大师是有“钻了时代的空子”的嫌疑，但莫要静止地以今日的眼界简单去评判昔人。毕竟在当代，那是划时代的开创性成就，深深地影响着我们的未来。

图2 牛顿和莱布尼茨

在17世纪的微积分创立以前，数学大致还停留在初等数学成熟期（古代数学），研究对象绝大多数为常量关系，具有数形独立的特点。微积分的出现标志着进入了变量时代，成就了数学发展中的重要分支——数学分析，并在以后进一步发展为微分几何、微分方程等等，如今现代数学的大厦也正是构建在微积分的基石上。如此看来，“数学全才”的称谓对于牛顿和莱布尼茨来说是实至名归了。

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当然，除微积分这一卓越成就之外，他们在数学历史上还留下了许多宝贵的财富：牛顿18世纪初在《普遍算术》中讨论了代数基础及其实际应用，1736年的《解析几何》提出曲率公式等重要几何成果，另外还有诸如二项式定理等对于分析和方程都有重要意义的定理的提出；莱布尼茨也研究过复数、线性方程组和符号逻辑等等。

欧拉(1707～1783)是科学史上最多产的数学家，称为数学界的莎士比亚。据统计，他那不倦的一生共写下886部书籍和论文，其中分析、代数和数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学等占14%。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。

图4 欧拉和圣彼得堡大学

由于其伟大成就，历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如今几乎在每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、微分方程的欧拉多角曲线、复变函数的欧拉公式……1748年，欧拉以第一部沟通微积分与初等数学的分析学著作——《无穷小分析引论》获得“分析学的化身”称号；1776年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，此书是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑；1748年欧拉提出欧拉恒等式，建立了数论和分析之间的联系，使得可以用微积分研究数论，欧拉成为解析数论的奠基人。

图5 数学四杰

谈及欧拉，他晚年的数学创业史是我们人类一部回味无穷的奋斗史。欧拉在失明后，由他口述内容，他的学生和儿子执笔，用这种极为艰难的方式整整坚持了17年。难以置信的是，在这段时间所完成的数学成果，相当于他一生中研究成果的一半。同时在这一段时间里，欧拉仍然坚持着对学生的培养。他以高尚的品格和渊博的学识傲立于欧洲，被欧洲所有的数学家尊为最为尊敬的老师， 拉普拉斯曾说："欧拉是我们所有人的导师"。

18世纪的欧拉成了数学界的“噩梦”，许多人潜心研究了半生的问题，却发现早已被欧拉搞定。而正当数学家们开始逐渐忘却被欧拉支配着的恐惧时，上天却派来了高斯(1777~1855)。如果你对高斯的印象还停留在很快解开老师苦思许久的n项求和，以及正十七边形尺规作图，那可就太不够了，毕竟这些只能算是高斯青年以前的成就了。

图6 高斯

高斯是一位全才的数学家，他的数学研究几乎遍及所有领域，如在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了许多开创性的贡献，以他名字“高斯”命名的成果多达110个，属数学家中之最。高斯最先证明了“二次互反律”，开辟了数论中完全崭新的“代数数论”领域，1801年的《算术研究》一书更是奠定了近代数论的基础；《关于曲面的一般研究》一书中系统地阐述了包括高斯曲面等的空间曲面微分几何学......

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高斯精彩的故事还远不止这些：如雅克比在椭圆函数领域上做了很多研究工作，之后他便把自己的研究成果向高斯展示，但高斯每次都能从书桌里拿出一堆多年前的手稿，向雅克比证明“你刚才说的东西我早就发现了”；高斯也是最早怀疑欧几里得几何学的人之一，1833年前后，匈牙利数学家小波尔约独立地发表非欧几何学，老波尔约把儿子的成果寄给高斯，想不到高斯却回信道：我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。因为高斯宣称他大约在30年前就得到同样的结论，但因为与同时代的人观点相悖，他没有进行发表。

庞加莱(1854~1912)被公认是19世纪后四分之一和20世纪初的领袖数学家，是对于数学及其应用具有全面认识的最后一个人。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、数学物理、多复变函数论等许多领域，在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。以至于曾有人说：把一个微分几何学家和广义相对论学家从睡梦中摇醒，问他什么是庞加莱引理。假如答不出来，那他一定是假的。当然，最重要的还是最近引起轰动的庞加莱猜想。

图8 庞加莱

大学时代的庞加莱，非常仰慕伽罗瓦的伟大工作，于是他发奋钻研其著作和李群知识。这不仅使庞加莱看到了群论在研究方程中的作用，更认识到伽罗瓦理论具有的揭示几何与代数、数论之间更加深刻的内在关系的重要意义。同时喜欢新思想的庞加莱也在关注着罗巴切夫斯基等人的非欧几何，柯西与黎曼的复变函数。大学时期这种广泛的兴趣和学习，为庞加莱今后多方面的杰出贡献奠定了坚实基础。

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大学毕业后，庞加莱选择了工程，但凭借着强大的数学他很快在微分方程领域取得了成果，赢得卡昂大学讲师以及后来巴黎大学的教授职位。在研究微分方程的过程中，庞加莱开始关注自守函数。虽然遭受时代的非议，但是数学的发展却表明了庞加莱的自守函数理论揭示了分析学与几何、代数和数论的深刻内在联系，充分体现了数学的统一性，这对现代数学的发展影响十分巨大，这也使得庞加莱成为了自守函数论的创始人之一。自守函数和之后三体问题对微分方程稳定性的研究使他获得法兰西科学院院士。之后庞加莱研究拓扑学，创立了拓扑学的一系列基本方法和概念，提出了同调群、基本群等重要的拓扑不变量概念，几乎以一人之力完成了早期拓扑学的创建，可谓居功甚伟。

仔细想想，还是决定加上希尔伯特这位数学大牛。希尔伯特(1862～1943)号称“数学界的无冕之王”，开创了20世纪初那个数学大发展的时代，他在20世纪初提出的23个数学问题被认为是20世纪数学的至高点，另外他还领导了德国哥廷根学派并使其成为当时世界数学研究的中心。

图10 希尔伯特

希尔伯特对数学的贡献是多方面的，研究领域涉及代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、无穷维空间、一般数学等等。当然，其中最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23个数学问题”，它们贯穿整个20世纪的数学乃至现在，影响之深远无法估量。

图11 引力方程

在希尔伯特的诸多故事中，有一个与广义相对论有关。爱因斯坦当年在研究广义相对论时，需要用到当时很深、很前沿的数学理论，故一直没能找到描述引力的正确方程。于是爱因斯坦找到了希尔伯特，并跟他一起探讨了广义相对论。作为数学家的希尔伯特凭借高超的数学技巧，很快就通过变分原理推导出了引力场方程的正确形式。不过，希尔伯特并没有跟爱因斯坦争夺发现引力场方程的优先权。希尔伯特说过这么一句话，“哥廷根的任意一个小孩都比爱因斯坦更懂黎曼几何，但相对论的发现者只有爱因斯坦”。可见希尔伯特的胸怀和对哥廷根的自信。

数学发展至今，体系不断壮大，数学学科内部的分工越来越细致。但我们回顾历史却总能发现，无论是本文中列举的牛顿、莱布尼兹、欧拉、高斯、庞加莱、希尔伯特，还是很多人熟知的杰出数学家如笛卡尔、黎曼、柯尔莫哥洛夫等等，他们都是在数学的多个方面都有广泛的的涉猎，分析、代数、数论、几何、拓扑，不同思维的相互启发与印证，对数学的研究有着很重要的作用；另一方面，我们更呼吁培养和发掘更多如笛卡尔、牛顿、庞加莱一类的帅才型数学家，能够引导一个时代数学发展的方向。