笛卡尔的直角坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分是十七世纪数学最伟大的三大发明.
对数的概念是由苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）在 1614 年所公布。18 世纪法国的大数学家拉普拉斯曾评价对数的发明：“在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”。
这样的高度评价源于对数在科学计算上的巨大贡献。在计算器和计算机尚未出现的时代，对数的应用大大简化了复杂的计算过程，这一发明对科学、工程和尤其是天文学的影响深远。
这次让我们来看下对数以及如何简化计算的视频.
对数函数(Logarithm)
对数函数是数学中的一种基本函数，它是指数函数的逆函数。如果我们有一个指数方程 ，那么对应的对数方程是 。
其中2是底数，512是真数。这里的9就是512的以2为底的对数。
换句话说，对数函数回答了这样一个问题：底数a需要被乘以自身多少次才能得到另一个特定的数？
对数中，如自然对数底e，常用对数底 10,以及二进制对数底。在数学和工程学中，自然对数和常用对数尤为重要，而二进制对数在计算机科学中具有广泛应用。下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域(图自维基):
对数和指数的互逆关系
指数与对数是互逆关系, 两者在数学中都是非常重要的. 从下面图形中可以看到左边为指数表达, 右边则是对数表达结构:
对数函数动画
那么对数的图像在定义域内, 究竟是怎样变化呢? 请观察下面一系列取不同底数时候对数的函数图像, 注意当 时在不同范围内如何变化:
对数函数的图像显示了这一点，它展示了随着底数的变化，函数图像是如何从 点开始，根据底数是大于 1 还是小于 1 分别向上或向下增长。
具体地说，当 时，图像随 增加而递减；当底数 时，我们得到一个随 增加而增加的图像。
观察要点:
函数必经过点 处; 当 时，函数为严格单调下降； 当 时，函数为严格单调上升；
指数与对数是互逆函数，现在用动画的方式来对指数和对数来进行一个对比:
对数函数必定会通过点 ，因为任何数的 次幂都是 1。而 线则作为指数函数和对数函数图像的对称轴，其中指数函数始终通过点 。
观察要点:
对称轴为 ； 指数函数必经过 点; 对数必经过 点;
对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，这些性质能够简化复杂的数学运算和数据处理。
乘法转加法：对数的一个核心性质是将乘法运算转换为加法运算。即：
除法转减法：类似地，对数可以将除法运算转换为减法运算，即
幂运算转乘法：对数还可以将幂运算转化为乘法，即
对数的底数变换公式：
其中 是新的底数，这个公式使得我们能够在不同底数的对数之间进行转换。
伟大的对数表(Logarithm Tables)
现在我们回过头再来解释下为什么拉普拉斯说对数为"用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍".
原因就是, 在16世纪和17世纪，天文学家和航海家需要进行大量的计算，以确保精确性和安全性. 这些计算通常涉及复杂的三角函数和大数的乘除法, 非常耗时且容易出错. 而利用对数的性质可以将乘除转为加减运算, 这个发现当时震动了整个数学界.
我们来看看怎样利用对数的性质来简化计算, 简单来讲是将注意力从需要参与计算的数转移到了幂的部分, 只要底数相同, 利用前面的运算性质就能使得计算变得简便.
以计算 512×8192 为例看下整个计算的过程. 下面图形是底数为 2 对应的幂以及相对应的结果, 类似这样的映射关系是人们可以直接从《常用对数表》直接查询到的.
想要求出 512×8192 的结果, 需要查 512 所对应的指数为 9, 而 8192 对应 13.
然后可以轻松计算出 9+13=22, 上面过程用公式表达如下：
再去《对数反查表》中反向去查 22 所对应的值, 就得到结果为 4194304, 因此，.
上面是把两个大数(512×8192)的乘法转化成加法 (9+13) 借助查表算出结果, 类似对于大数的除法运算也可以转成减法来做. 加减法当然要比乘除法更容易的多, 所以说这是一个伟大的简化数值计算方法.
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主编简介
吴勃英,哈尔滨工业大学数学学院教授（博士生导师），现任中国数学会常务理事，中国数学会女数学工作者委员会副主任，中国数学会计算数学分会副理事长，粤港澳国家应用数学中心执委会副主任，中国工业与应用数学学会数学与医学交叉学科专业委员会委员，中国高教学会理科教育专业委员会常务理事，中国系统仿真算法专业委员会委员，教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会聘任工作委员，第八届全国大学生数学建模竞赛组委会委员，黑龙江省数学会副理事长，黑龙江省数学建模竞赛组委会主任等.同时担任黑龙江省重点实验室主任，黑龙江应用数学中心常务副主任，黑龙江省领军人才梯队带头人.从事图像处理、数值逼近、偏微分方程数值解法等方向的研究工作，出版学术专著3部，发表SCI论文100余篇，授权发明专利2项。部分研究成果发表在国际高水平期刊SIAM J. Numer. Anal., SIAM J. Imaging Sci., IEEE. Trans. Image Process., J. Nonlinear Sci. 等上。主持国家自然科学基金项目7项、国自然联合基金重点项目子课题1项（研究成果应用于嫦娥五号钻取子系统动力学仿真）、黑龙江省自然科学基金重点项目1项。获黑龙江省科学技术三等奖，黑龙江省高校科学技术一等奖，黑龙江省自然科学技术学术成果奖一等奖等奖励.主持国家级和省部级教学研究项目6项，发表教学研究论文20余篇，主编普通高等教育“十一五”国家级规划教材1部、工业和信息化部“十四五”规划教材1部，获黑龙江省高等教育教学成果奖一等奖2项. 获黑龙江省教学名师、黑龙江省高校师德先进个人、宝钢优秀教师、校“十佳”优秀共产党员、校教学贡献奖等荣誉.
孙杰宝，哈尔滨工业大学数学学院教授（博士生导师），数学学院副院长。主要从事非线性扩散方程、图像处理等方向的研究，发表SCI论文40余篇、授权发明专利2项，主持国家级和省部科研项目4项，获黑龙江省科学技术奖三等奖，黑龙江省高校科学技术奖一等奖. 主持国家级和省部级教学研究项目6项，发表教学研究论文10余篇，出版教材4部，主编工业和信息化部“十四五”规划教材1部.曾获宝钢优秀教师奖、黑龙江省研究生精品课程、黑龙江省高等学校课程思政优秀案例、哈尔滨工业大学教学名师奖、首届“育人新星”青年导师、教学突出奖、立德树人先进个人等荣誉.
本书试读
本书特点
特点1. 本书考虑到工科各专业对数值分析的实际需要, 重点突出学以致用的原则.
特点2. 着重介绍线性代数方程组数值解法等常用数值计算方法的构造和使用等经典内容.
特点3. 对数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛性、误差分析、适用范围及优缺点也作了必要的分析与介绍．
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黑龙江省教学名师吴勃英教授领衔编写
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