图论是数学的一个分支，主要研究对象为图（Graph），即由顶点（Vertices）和边（Edges）组成的结构。图论的应用广泛，涉及计算机科学、网络分析、化学、物理学等多个领域。尽管图论已有较长的发展历史，但其中许多基本问题仍未得到完全解决，尤其是一些重要的猜想。这些猜想不仅是图论研究的核心问题，也是推动该领域发展的动力源泉。
四色猜想
猜想背景
四色猜想（Four Color Conjecture）是图论中最著名的问题之一，其历史可以追溯到1852年，由英国数学家弗朗西斯·古斯里（Francis Guthrie）首先提出。四色猜想声称：任何简单平面图的顶点可以用至多四种颜色进行着色，使得相邻的顶点具有不同的颜色。
猜想的数学表述
在图论中，平面图是可以在平面上画出而不会有边交叉的图。四色猜想可以正式表述为：
猜想：对于任何简单的平面图，其顶点总是可以用至多四种颜色进行着色，使得任意相邻顶点的颜色不同。
证明历史
四色猜想的证明历程十分漫长且曲折。虽然该猜想最早在19世纪提出，但直到1976年才由肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）通过计算机辅助证明。两人采用了计算机来分析多达数千种不同的图情况，最终证明了任何平面图都可以用四种颜色进行顶点着色。
这是数学史上第一个依赖计算机辅助证明的猜想，因此该证明也引发了许多关于数学证明形式的讨论。因为数学家无法检验证明的可约性部分(细节全在计算机里)，它的证明饱受争议。目前，人们依然在探索平面图可以四色着色所蕴含的内在结构。
四色猜想的意义在于它展示了图的结构性和图论的基本性质，特别是在图着色问题中有着广泛的应用。它为顶点着色理论提供了重要的启示，并在地图绘制、通信网络设计等实际应用中具有广泛影响。
哈密顿路径与圈猜想
猜想背景
哈密顿路径与圈问题起源于对路径和循环的研究。一个哈密顿路径是指一条路径，这条路径通过图中每个顶点且只经过一次；而哈密顿圈则是回到起点的哈密顿路径。尽管人们已经证明判定一个图的哈密顿性是NP完全的，但对于一般图，人们没有找到判定它们哈密顿性的充分必要条件，依然存在一些未解决的猜想。
Tait猜想（Tait's Conjecture）
Tait猜想是早期关于哈密顿图的一个著名猜想，由数学家彼得·泰特（Peter Guthrie Tait）在1880年提出。它断言：
猜想：每个三正则、三连通的平面图具有一个哈密顿圈。
三正则图（Cubic Graph）是每个顶点都有三个边连接的图。 三连通图（3-connected Graph）是指去掉任意两个顶点之后，图依然连通。
尽管该猜想看起来合理，但它在1946年由威廉·图特（William Tutte）通过一个反例予以否定。图特构造了一个三正则三连通的平面图，它没有哈密顿圈，推翻了Tait猜想。
哈密顿路径与圈的相关猜想
尽管Tait猜想已被否定，关于哈密顿路径与圈的其他猜想仍然是活跃的研究领域。例如，以下是几个与哈密顿路径有关的著名猜想：
Barnette猜想：每个双正则、三连通的平面图具有一个哈密顿圈。这一猜想尚未解决，尽管它比Tait猜想更具局限性，但至今仍吸引了广泛的研究兴趣。 木匠猜想（Carpenter's Conjecture）：每个立方图（即三正则图）具有一个哈密顿路径。立方图的哈密顿性问题在许多具体图类上都有深远影响，但普遍解仍未找到。
这些猜想与问题的研究促进了图论中关于路径和循环性质的深入理解。
哈德维格猜想
猜想背景
哈德维格猜想由瑞士数学家雨果·哈德维格（Hugo Hadwiger）于1943年提出，是图论中的一个重要未解难题，广泛认为是着色理论中的推广版本。哈德维格猜想试图将四色猜想推广到任意图的情形。
猜想表述
哈德维格猜想（Hadwiger's Conjecture）与图的完全子图（Clique）和图的收缩（Contraction）密切相关。它的表述为：
猜想：如果图 不是 的子图，则 至少需要 种颜色进行顶点着色。
表示完全图，即每对顶点都有一条边相连的图。 图 的收缩指将图的某些边收缩为单个顶点的过程。
简单地说，哈德维格猜想指出，一个图如果不能通过收缩变为一个 ，那么它至少需要种颜色来对其进行顶点着色。
研究进展
哈德维格猜想至今仍未完全解决，但在一些特殊情况下得到了验证。例如：
对于 ，哈德维格猜想等价于四色猜想，因此是成立的。 对于 和 ，也已被证明成立。 但对于更大的 ，该猜想仍是一个开放性问题。
哈德维格猜想在图论着色问题中的核心地位，以及它与四色猜想的紧密联系，使其成为图论中最重要的猜想之一。
完美图猜想
猜想背景
完美图理论起源于图的色数和最大团数的研究。色数是对图进行顶点着色所需的最少颜色数，最大团数是图中最大的完全子图的顶点数量。一个图被称为完美图（Perfect Graph），如果它的每个诱导子图的色数等于其最大团数。
伯格完美图猜想（Berge's Conjecture）
完美图猜想由法国数学家克劳德·伯格（Claude Berge）于1960年提出。其表述为：
猜想：一个图是完美图，当且仅当它和它的补图都不包含奇环（环上顶点数为奇数，且大于等于5的图）及其补图作为诱导子图。
这一猜想可以看作是对完美图结构的一种刻画，具有广泛的理论和实际意义。它不仅为理解图的色数和最大团数的关系提供了理论基础，也与图算法和图结构理论有紧密联系。
猜想的解决
完美图猜想（Perfect Graph Conjecture）在2002年由Maria Chudnovsky 、Neil Robertson、Paul Seymour 和 Robin Thomas共同证明。这一证明为完美图理论提供了完整的解答，称为强完美图定理（Strong Perfect Graph Theorem）。
艾尔德什–哈伊诺尔斯猜想
猜想背景
保罗·艾尔德什（Paul Erdős）和安德拉斯·哈伊诺尔斯（András Hajnal）在1977年提出的这一猜想涉及图的子图结构。它提供了对图的某些结构性质的深入理解，特别是在稠密图和稀疏图之间的关系。
猜想表述
艾尔德什–哈伊诺尔斯猜想（Erdős–Hajnal Conjecture）可以表述为：
猜想：对于任意的正整数 ，存在一个正整数，使得对于任何 -顶点的图 ，如果 中的任意 -顶点子集的大小大于 ，则 至少包含一个大小为 的完全子图（或独立集），其中 是某个与 相关的常数。
具体来说，这一猜想暗示了在稠密图中，任意的 -顶点集合具有相应的稠密性，即其在某些结构上会“必然”包含更大规模的完全子图或独立集。
研究进展
尽管艾尔德什–哈伊诺尔斯猜想在许多特殊情况下得到了验证，但在一般情况下仍未被完全证明。具体的研究进展包括：
对于小的 值（如 和 ），有些结果已经得到了证实。 在某些特定类型的图（如随机图和特定的极大图）中，研究者们也展示了该猜想的成立。
艾尔德什–哈伊诺尔斯猜想不仅是图论中的一个重要猜想，而且其影响范围超越了图论，延伸至组合数学、算法设计和计算复杂性理论等多个领域。它推动了对图的结构、稠密性和子图性质的深入研究，对理解图的性质和算法设计具有重要启发。
树的数量猜想
猜想背景
树是一类特别的图，具有无环且连通的性质。在图论中，树的结构、数量及其相关性质一直是研究的重点。树的数量猜想（Tree Number Conjecture）与图的生成树数量及其对其他图结构的影响密切相关。
猜想表述
树的数量猜想提出了图中树的数量与图的其他特性（如顶点数、边数、连通性等）之间的关系。具体表述为：
猜想：对于任意图 ，若 具有 个顶点和 条边，则 中生成树的数量 与 和 存在某种形式的关系。
这一猜想表明，树的数量可以通过图的基本特性来刻画，而不仅仅是局部结构的结果。
研究进展
树的数量猜想在一些特定的图类中得到了验证，例如在完全图和树状图中。同时，关于树的生成数和图的特性之间的关系也得到了进一步的研究。
树的数量猜想在组合数学和图论中具有重要的理论价值，特别是在网络设计、数据结构和图算法中的应用。此外，该猜想为图的特性和生成树的分析提供了深入的理论基础，有助于推动图论的进一步研究。
圈覆盖猜想
猜想背景
圈覆盖问题是图论中的一个重要研究方向，涉及如何将图的边分组，使得每组边形成一个圈（环），并且覆盖所有的边。这个问题在网络设计、调度和路径优化等多个领域有着广泛的应用。
猜想表述
圈覆盖猜想（Cycle Cover Conjecture）（又称圈覆盖定理）的基本表述为：
猜想：对于每个连通图 ，存在一个圈覆盖，使得所有的边都可以被包含在若干个圈中。该猜想要求找到一种方法，将图的所有边分配到若干个圈中，同时满足某些覆盖条件。
研究进展
圈覆盖猜想在图论中的研究已经有了一定的进展：
对于特定类型的图（如平面图、完全图等），圈覆盖的存在性已被证明。 在算法设计方面，许多研究集中在如何高效找到这样的圈覆盖方案。
圈覆盖猜想在网络流、任务调度和通信网络设计等领域具有重要意义。该猜想的研究推动了图的结构性质、覆盖性以及算法设计的深入理解。
特别鸣谢张博士为推文提出的部分修改建议！
《图论导引》是中国科学技术大学计算机科学与技术学院许胤龙、吕敏、李永坤三位老师在多年“图论”本科课程教学实践的基础上为读者编写的图论基础教材，这是一本非常适合计算机专业学生和科研人员阅读学习的图论书.本书主要分为基础知识与应用两个部分. 在基础知识部分, 系统地介绍了图论的基本概念、理论和方法, 具体内容包括图的基本概念、树、图的连通性、平面图、匹配理论、Euler 图与 Hamilton图、图的着色、有向图、网络流理论以及图矩阵与图空间，共十章. 在应用部分, 主要介绍了近年来图计算方面的一些典型应用和系统, 具体内容包括无标度图与图计算系统两章. 每章后面都附有一定数量的习题, 供读者练习和进一步思考.
（1）基础知识理论全面、兼顾前沿应用
（2）从计算机专业出发，易于知识理解
（3）尽量采用计算机专业实例、代入感强
（4）编者三十多年图论教学经验、书稿经过试用检验
本书可以作为高等学校应用数学、计算机科学技术、信息技术以及管理等专业高年级本科生与研究生的必修课或选修课教材, 也可作为图计算相关研究方向的高校老师与科研工作者的参考书.
许胤龙，男，博士，中国科学技术大学教授、博士生导师，国家教育部软件工程专业教学指导委员会委员、国家高性能计算中心（合肥）常务副主任、安徽省高性能计算重点实验室副主任、中国计算机学会高性能计算专业委员会委员。曾任计算机科学与技术学院副院长、中国科学技术大学第九届学术委员会委员。主持完成国家自然科学基金、国家863各1项，参与国家973重大基础研究项目、国家自然科学基金重点项目、国家863重点项目、国家教委博士点基金、国家攀登计划项目多项。主持国家863与国家自然科学基金项目各1项。
吕敏，女，中国科学技术大学计算机科学与技术学院副教授。1999年毕业于安徽大学数学系，获学士学位；2002年获得安徽大学应用数学硕士学位；2005年获得中国科学技术大学数学博士学位。同年进入中国科学技术大学计算机系做博士后；2007年留校工作。2015年在普渡大学计算机系进行访问交流。在VLDB、SIGMOD、INFOCOM、TPDS、VLDB Journal、ACM Trans.等国际重要会议和期刊上发表多篇论文。
李永坤，男，副教授，硕士生导师，IEEE、ACM、CCF会员，信息存储专委委员。本科毕业于中国科学技术大学，博士毕业于香港中文大学，师从John C.S. Lui教授。现任中国科学技术大学计算机学院副教授。主要致力于面向大规模数据计算的存储系统研究，共发表论文60余篇，包括ATC、ICDE、SIGMETRICS、INFOCOM、TOS、TC、TPDS等。主持或参与国家自然科学基金青年与面上项目、科技部重点研发计划课题、安徽省自然科学基金项目，以及PingCAP、华为、阿里等提供的多项企业合作项目。入选中科院青促会会员，唐仲英基金会仲英青年学者。
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