和2025 = 452，或者2025 = 13 + 23 + … + 93相比，我们的这道元旦趣题要难很多。
下面我给出这道题的解答。
重温一下题目的表述：
在一个半圆中，与半圆直径的一个端点相连的一条弦将半圆分成了上下两个部分。在上部分，有两个大小相同的圆两两相切，且各自都与半圆和弦相切；在下部分，也有两个大小相同的圆两两相切，且都与半圆的直径相切，其中一圆与半圆相切，另一圆与弦相切。如果这四个圆的半径和半圆的半径都为整数，求半圆半径的最小值。
令半圆的圆心为O，弦的两个端点分别为P和Q，四个小圆的圆心分别为A、B、C和D，各切点的标注如下图所示。
因为圆D与直径和弦PQ分别相切，所以PD是∠OPQ的平分线，令∠DPQ = ∠DPO = α。
令半圆上部分的两个圆半径为r1，半圆下部分的两个圆半径为r2，半圆的半径为R。
出于对称性，易知GO垂直于PQ，所以GK = AF = r1。
在Rt ∆AGO中，AO2 = AG2 + GO2。
令KO = d1，那么有，(R – r1)2 = r12 + (d1 + r1)2。
令x = r1/R，可知x为小于1的有理数。又有sin(2α) = d1/R。
所以，(1 – x)2 = x2 + [sin(2α) + x]2。
整理得到，sin(2α) = √(1 – 2x) – x (方程1)
类似地，令JO = d2，在Rt ∆CIO中，可以得到：(R – r2)2= r22 + (d2 + 2r2)2。
令y = r2/R，可知y为小于1的有理数。又有tan(α) = r2/(d2 + R)，即d2/R = cot(α) ∙ y – 1。
所以，(1 – y)2 = y2 + [cot(α) ∙ y – 1 + 2y]2。
整理得到，cot(α) = [√(1 – 2y) + 1 – 2y]/y (方程2)
令u = √(1 – 2x)，v = √(1 – 2y)，将方程1和方程2整理为：
sin(2α) = (u2 + 2u – 1)/2 (方程3)
cot(α) = 2v/(1 – v) (方程4)
由sin(2α) > 0，得到u > √2 – 1。同时，u = √(1 – 2x) < 1，所以，√2 – 1 < u < 1。
从弦和直径的夹角关系，有2α < π/2，从而cot(α) > 1，所以v > 1/3。同时，v = √(1 – 2y) < 1，所以，1/3 < v < 1。
由恒等式sin(2α) ∙ [cot(α) + 1/cot(α)] = 2，将方程3和方程4代入得到：
u2 + 2u – 1 = 8v(1 – v)/(5v2 – 2v + 1)
在方程左边凑成(u + 1)2，对右边关于v的分式整理得到：
(u + 1)2 = 2(v + 1)2/(5v2 – 2v + 1) (方程5)
因为u = √(1 – 2x)，v = √(1 – 2y)，假设u或v为无理数，那么它们只能是形如√s和√t的无理数，其中s和t为有理数。
根据方程3可知，sin(2α)只能是形如a + b√s的无理数。
同理，根据方程4可知，cot(α)也只能是形如c + d√t的无理数。根据共轭根式的性质，cot(α) + 1/cot(α)也只能是形如e + f√t的无理数。
最后根据方程5，在方程两边的根式中，根号下的被开方数应该相等，所以有s = t。因此，x = y，u = v。
代入方程5后，解得u = v = (1 ± √6)/2，不是形如√s的无理数，与假设矛盾。
因此，u和v都是有理数。
再次回到方程5，因为(u + 1)2和(v + 1)2分别为两个有理数的平方，所以(5v2 – 2v + 1)/2也一定是一个有理数的平方。
令(5v2 – 2v + 1)/2 = (p/q)2，其中p和q为两个互质的正整数。
5/2 ∙ v2 – v + 1/2 – p2/q2= 0 (方程6)
方程5整理为：
u + 1 = (v + 1) ∙ q/p (方程7)
考虑方程6这个关于v的一元二次方程的判别式：
1 – 10(1/2 – p2/q2) = (10p2 – 4q2)/q2
因为v是一个有理数，所以这个判别式一定是一个有理数的平方。
因此，10p2 – 4q2是一个完全平方数。
令10p2 – 4q2 = n2。
显然n为偶数， 考虑方程两边对4取模，可知p也为偶数。因为p和q互质，所以q是奇数。
对方程两边对16取模，– 4q2 = -4 (mod 16)。
因为n为偶数，n2 = 0 或者4 (mod 16)。
类似地，因为p为偶数，10p2 = 0 或者8 (mod 16)。
易知，当且仅当p和n都是4k + 2类型的偶数时，上式才可能成立。
考虑到R取最小值，x和y写成最简分数时其分母的最小公倍数最小。可以视为x和y取最大值，u和v取最小值，由方程7，p和q取最小值。
考虑p可取的最小的几个4k + 2类型的偶数。
1) 当p = 2时，40 – 4q2 = n2。令n = 2m，10 = m2 + q2。
解得p = 2，q = 1，n = 6，或者p = 2，q = 3，n = 2。
当p = 2，q = 1时，从方程6得到v的两个根为 -1和7/5。因为1/3 < v < 1，所以这两个根都应舍去。
当p = 2，q = 3时，从方程6得到v的两个根为1/15和1/3。同理，这两个根都应舍去。
2) 当p = 6时，360 – 4q2 = n2。令n = 2m，90 – q2 = m2。
解得p = 6，q = 3，n = 18，或者p = 6，q = 9，n = 6。在这两个解中，p和q都不互质，舍去。
3) 当p = 10时，1000 – 4q2 = n2。令n = 2m，250 – q2 = m2。
解得p = 10，q = 13，n = 18，或者p = 10，q = 9，n = 26。
当p = 10，q = 13时，从方程6得到v的两个根 -1/13和31/65。舍去-1/13。
从v = 31/65，得到y = 1632/4225。通过方程7，得到u = 23/25，x = 48/625。（这种情况下，D位于O右侧，d2取负值。）
R = lcm(625, 4225) = 105625。对应的两个内切圆半径为r1 = 105625x = 8112，和r2 = 105625y = 40800。这是一个可行解，但R的取值不是最小。
当p = 10，q = 9时，从方程6得到v的两个根 -17/45和7/9。舍去-17/45。
从v = 7/9，得到y = 16/81。通过方程7，得到u = 3/5，x = 8/25。
R = lcm(25, 81) = 2025。对应的两个内切圆半径为r1 = 2025x = 648，和r2 = 2025y = 400。
综上，符合题意的半圆其半径的最小值为2025。
2025年新年快乐！
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