一不小心把针线盒掉在地板上，缝衣针散落一地，这绝对是一件令人抓狂的事情，尤其对于养有宠物的家庭来说，不仅收拾起来麻烦，而且还留下了安全隐患。
不知道生活在18世纪的法国博物学家布丰伯爵（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）是否也曾有过类似的烦恼，或许正是因为家里佣人们曾经多次打翻了针线盒，反而给了他更多启发和延伸的思考空间。
概率论中著名的“布丰投针实验”或者“布丰投针问题”就是对这种意外的一个数学抽象，进一步得出了这个随机过程和圆周率π的密切关系。
假设地板上有无数条间距为d的等距平行线，当长度为L的针随机地落在地板上，它和某一根平行线相交的概率是多大？
布丰是第一个对这个问题进行研究的学者，他得出了这个概率和π之间的关系；在布丰的身后，意大利数学家拉萨里尼（Mario Lazzarini）曾经尝试用实验的方法验证布丰的结论，他一共抛出了3408根针，分别统计了与平行线相交和不相交的次数。不过，因为拉萨里尼的结果过于精准，反而有不少学者认为他的统计中有不少水分。
回到布丰投针问题本身。
假设针AB的中点M到最近的平行线的垂直距离为h，AB与平行线之间的锐角夹角为θ。根据对称性，可知h在闭区间[0, d/2]之间均匀分布，θ在闭区间[0, π/2]之间均匀分布。注意，这里可能有个伯特兰悖论（Bertrand paradox）问题，我们下次专门讲讲这个悖论，在这里略过。
显然，当半根针BM在垂直方向的投影长度L/2 ∙ sinθ 小于h时，针和平行线没有交点；当投影长度L/2 ∙ sinθ 大于等于h时，针和平行线有交点。
因此，问题转化为：在由h和θ张成的二维平面上，h的闭区间[0, d/2]和θ的闭区间[0, π/2]构成一个长方形，由函数f(θ) = L/2 ∙ sinθ定义的正弦曲线下方的部分表示针与某条平行线相交，问题待求的概率等于正弦曲线下方部分的面积与长方形的面积之比。
这里有两种情况。
如果L > d，即针长大于平行线间距，对应于上图中橙色反斜线填充的小长方形。这种情况下需要求得正弦曲线和长方形上边界的交点，再进一步求得正弦曲线下方的面积。计算相对复杂，留给读者朋友。
如果L ≤ d，即针长不大于平行线间距，对应于上图中蓝色斜线填充的大长方形。这种情况下可以直接计算正弦曲线下方的面积SI，以及长方形面积SR。计算相对简单，留给我自己。
因此，针和平行线相交的概率等于2L/(dπ)。
特殊地，当L = d，即针长等于平行线间距时，P = 2/π。
换句话说，π = 2/P。所以，如果我们可以进行完全无偏的随机性实验，那么在足够多的实验次数后，我们从有限次实验中统计和计算得到的估计值P*就可以足够接近于真实的P，从而得到对圆周率π足够精确的估计。
以下是利用计算机模拟布丰投针实验，在投出999根针后得到π的近似值为3.142016。
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