在正在进行的2025年澳大利亚网球公开赛中，中国选手郑钦文和白俄罗斯选手萨巴伦卡被抽到了同一个1/4分区。这意味着如果两位选手都一路晋级的话，她们将在1/4决赛时就相遇，争夺一个半决赛名额。
现世界排名第一的女子网球选手，同时也是澳网卫冕冠军的萨巴伦卡无疑是郑钦文在网球赛场上最大的“苦手”之一。在两人职业生涯迄今为止的5次对战中，萨巴伦卡5战5胜，占有绝对的优势；而且在这5次比赛中，郑钦文仅仅在2024年的武网上赢了萨巴伦卡1盘，在其余4次比赛中她均以0:2的战绩落败。
赛场上这种“不是冤家不碰头”的概率究竟有多大？
我们来计算一下这个概率。
在计算概率之前，我们将网球比赛的过程抽象成以下数学模型：
假设一项网球公开赛共有2n名选手参加。比赛采取淘汰制，即只有获胜的选手才能进入下一轮；同时，每一轮结束后组委会将对晋级的选手重新进行抽签，决定下一轮选手们的对阵。注意，这个规则和现实中大多数的比赛不同，大多数比赛在第一轮比赛开始前即通过抽签决定了以后各轮的对阵情况。假设在任意一场比赛中，两名选手获胜的概率各为1/2。那么，如果郑钦文和萨巴伦卡参加了这项赛事，她们
1) 在第一轮就相遇的概率有多大？
2) 在决赛中相遇的概率有多大？
3) 在整个赛事中相遇的概率有多少？
解决第1问比较容易，解决第2问和第3问稍微需要动一动脑筋。最后我们会发现一个有意思的结果：尽管假设每个选手获胜的几率为1/2显得那么地无厘头（否则哪有苦手的存在？），但特定的两名选手是否在赛事中相遇或者在哪一轮相遇的概率似乎并不取决于选手在每一场比赛中获胜的概率。
以下是解答。
我们用Z表示郑钦文，S表示萨巴伦卡。
1) 因为抽签完全随机，和世界排名无关，所以我们可以先把S放入一个赛位，那么在剩下的2n– 1个赛位中，Z恰好被抽入S对位的概率为：
2) 如果S和Z在决赛相遇，那么有两个条件：一个条件是她们必须赢下之前所有轮次的比赛；另一个条件是她们不能在决赛之前相遇。对于第k轮，她们没有抽在一起的概率为：
在第k轮双双赢球的概率为(1/2)2，所以符合以上两个条件的概率为：
然后，我们计算从第1轮到第n – 1轮，每一轮都符合上述两个条件的概率：
我们也可以用一个更为巧妙的方法来得到答案：因为每一对选手之间并无差别，所以每一对选手在决赛相遇的概率是相等的。从2n位选手中选出一对选手的可能共有C(2n, 2)种，所以待求的概率即这个可能总数的倒数：
3) 我们可以先计算S和Z在每一轮相遇的概率，然后再将它们加起来。
S和Z晋级到第k轮的概率，等于在第2问中连乘的上限为k– 1的情况，即
S和Z在第k轮相遇的概率，等于她们晋级到第k轮的概率与她们在第k轮抽到一起的概率的乘积，即，
这样，S和Z在赛事中相遇的概率，就等于上述S和Z在第k轮相遇的概率对k= 1到n的求和：
和第2问类似，解决第3问也有一个巧妙的方法：赛事从2n个选手开始，每一场比赛淘汰1名选手，最后剩1名冠军，所以赛事从第一轮到决赛一共有2n– 1场比赛。同时，因为淘汰赛制，每一对选手最多相遇1次。所以，每一场比赛对应、且只对应于于一对选手的相遇，这样，所有2n– 1场比赛一一对应于2n– 1对选手的相遇；而赛事一共有C(2n, 2)对选手，所以，对于特定的一对选手，比如Z和S，她们在赛事中相遇的概率即，
往期精彩文章：
数学科普：
数学竞赛：
数学教育：
数学文化：
敬请关注“唯思客俱乐部”，分享、点赞、在看我们的文章：
