音乐逻辑的拓扑几何（下）
音乐的作曲、表现、分析和演奏在逻辑上共享着一些重要的基本结构，这些结构可以用格罗滕迪克的函子代数几何学和劳威尔的拓扑逻辑理论来描述。本文将介绍这些理论之间的联系，并讨论和展示它们在音乐软件中的形式化和实现。在这个背景下，有三个特别有趣的问题：首先，格罗滕迪克的重要见解——“点是态射”——同样适用于音乐：基本上，音乐实体是变换而不是固定的。其次，音乐概念具有很强的循环特性，这意味着音乐对象的空间往往是通过自我参照来定义的。第三，拓扑逻辑几何化的音乐逻辑意味着所有与音乐的理性互动都会逐渐呈现出几何特征，特别是在计算机环境的图形界面上实现时。这或许已经是“新时代”的数学了。
局部与全局组合子的范畴
虽然所有指示符的类别已经定义 [30]，我们将重点关注经典的局部组合子类别。这些是形式为 的幂类型指示符 。更具体地说，我们将讨论 A 地址的指示符，其坐标 ，其中形式 称为 的环境空间（ambient space）。如果存在一个集合 使得 ，则称该局部组合为对象性的（objective），否则，我们称其为函子性的（functorial）。
给定两个局域组合 和 ，一个态射 包含一个前层的态射 和一个地址变化 ，并且存在一个形式态射 使得以下前层图表交换：
这就定义了局域组合的范畴Loc。如果 和 都是对象性的，并且 ，则可以通过表达式 定义集合 和 上的态射，即 是一个集合映射，使得存在一个形式态射 使得以下集合图表交换：
这就定义了对象性局域组合的范畴ObLoc。每个对象性态射 都会以显而易见的方式诱导出一个函子态射 。这就定义了一个函子 。
这个函子是完全忠实的（fully faithful）。此外，每个函子的局域组合 会产生它的对象迹（objective trace） ，其中 。如果我们固定地址 并将地址变化限制为恒等 ，我们得到子类别 和 ，以及对应的完全忠实嵌入 。在这种情况下，对象迹可以规范地扩展为 的左逆函子 。此外
命题 2 态射 和 构成一个伴随对 。
因此，在固定地址上，对象性和相关的函子局域组合几乎是一样的。但是，当允许地址变化时，会有一个显著的区别。这与通用构造有关：
定理 1 [30] 类别 Loc 是有限完备的。
如果我们允许一般的地址变化，对象性局域组合的子类别不是有限完备的，存在一些例子 [30] 的图表 的对象性局域组合，其纤维积 不是对象性的（固定地址的对象迹函子的右伴随性仅保证了固定地址的极限的保留）。因此，如果坚持有限完备性，地址变化 - 这是通向完全 Yoneda 观点的门户 - 强制要求函子局域组合。然而，如果必须定义 Grothendieck 拓扑（见下文），这一要求是至关重要的。
对偶情况则不那么简单：在 中没有一般的余极限。这就是为什么在数学音乐理论中引入全局组合（即由有限图册定义的“流形”，其图表示局域组合）[18,23]。更具体地说，给定一个地址 ，一个全局组合 是一个前层 ，它被一个有限的子层图册 覆盖，这些子层 同构于 地址的局域组合（的函子），并在交集 的逆像上具有过渡同构 。这个概念的重要区别在于覆盖 是全局组合的一部分，即，不允许通过图册细化来取极限。对于音乐来说，这是一个符号学上重要的信息，因为音乐作品的覆盖是理解其重要部分的一部分 [20]。实际上，全局组合的典型构造始于一个局域组合，然后用一组子函子覆盖其函子，并且诱导的规范限制图册称为解释(interpretation)。在 Loc 中没有余极限可以理解为存在一些全局组合，它们并不是解释的同构（全局组合构成一个范畴，态射由局域态射粘合定义，参见 [23,30]）。
全局组合理论是指示符和形式更局部理论的适当扩展。局部组合承认任意有限极限，这意味着全局组合的范畴 也是如此。因此，我们可以在 上通过覆盖族定义一个 Grothendieck（预）拓扑。全局组合 的覆盖族是生成 函子的有限态射集合 。可以将各种 Čech 上同调群（Verdier 意义上的 [13, expose V]）与这种有限覆盖 Grothendieck 拓扑的覆盖族联系起来 [30]。全局组合的仿射函数层用于全局组合分类理论。该理论已经应用于具有局部自由地址的有限秩的客观全局组合 [30, 第15章, 定理18]，关于零地址的早期版本见 [23]。展示了一个局部射影分类方案，其有理点代表全局组合的同构类。对于来自有限模的环境空间，Fripertinger 使用 Pólya 和 de Bruijn 的枚举理论 [7]，得出了关于选定全局组合（如和弦、动机、十二音列、马赛克）同构类数量的组合结果 [10]。
和声对位的「统一理论」
在本节中，我们将简要介绍一个具体的音乐学情景：和声与对位法，解释为什么引入了一些上述的概念。传统，数学音乐理论工作在音级类空间 上。接下来，我们将通过“纯五度圈”自同构 对其稍作调整，即考虑同义形式
这意味着音级指示符现在用五度的倍数表示，这是和声中的常见观点。在这个音级空间上，需要进行两个扩展：扩展到音程和扩展到和弦。第一个扩展通过一个新形式空间实现
与音级模 上的双数模 。显然的形式嵌入为
在此扩展中，我们应注意零地址音程指示符的解释
这意味着 具有固有音高 和以五度倍数表示的音程量 。例如，音程坐标 表示从基本音高（假设零对应于音高“C”）起的五度音高（如“G”），以及 的音程，即大七度（这里为“B”）。对位法中的和谐音程集 由坐标 的零地址指示符给出。不和谐音程集 则由剩余的指示符 给出。
数学音乐理论中的对位模型 [20] 与 Fux 的传统规则 [11] 高度一致，该模型由一个独特的仿射自同构，即音高空间上的自补全对合 推导而来：我们有 ，。可以证明 [20,32]，这个独特的对合以及 是一个乘法幺半群的事实，在所有924种数学上可能的6-6二分法中唯一地表征了和谐与不和谐的二分法。这个模型的对合也在人体深度脑电图（EEG）[26] 的神经生理学研究中得到认可。考虑和谐稳定子 。它在以下意义上与 Riemann 和声理论有规范关联。
在他的博士论文中，Noll 成功地基于“自地址和弦”重构了 Riemann 和声。这意味着我们考虑音级指示符
而不是通常的零地址音级指示符，后者通过零地址变化 表示，即常数音级。自地址和弦(self-addressed chord)定义为具有环境空间 的局域组合，Noll 的观点是用自地址和弦取代零地址和弦。图12.1显示了在音级形式 中的一个零地址和一个自地址三和弦。
在 Riemann 的理论中 [34-36]，常数属三和弦 和常数主三和弦 之间的和声“和谐视角”由幺半群 定义，这是由所有态射 的传递集生成的自地址和弦。
这个自地址和弦与上述稳定子相关，如下所示： 考虑张量乘法嵌入
然后我们有一个“大统一”定理（[32]，更多细节见 [33]）：
定理 2 用上述记号，我们有：
这意味着 Fux 和 Riemann 理论通过指示符理论紧密相关。目前尚不清楚这种结构关系在从对位复调音乐到和声同调音乐的历史发展中起到了多大作用。
真与美
到目前为止，这个说明涵盖了一个强大的概念框架，包括循环空间和点概念，以及详细的局部和全局音乐对象类别理论，通过 Grothendieck 拓扑及相关层拓扑斯的代数几何参数化进行分类。然而，这种风格仍然偏向几何，且逻辑评估尚未明确提及。
当试图区分数学上相关的对象和具有音乐或音乐学事实性的对象时，逻辑视角介入。例如，参数化贝多芬九部交响曲的指示符是事实，而另一种同一形式的指示符——假设我们有一个称为“交响曲”的通用形式——可能描述贝多芬的“第十交响曲”，则纯属数学虚构。为了理解数学潜力与音乐学事实性之间的差异，我们引入了所谓的文本谓词，这些概念与 Agawu 在音乐符号学上的工作有关 [2]，其研究基于 Jakobson 在现代诗学研究中的传统 [15,16]。
文本谓词是外延的，并与 Agawu 在 Jakobson 术语中称为内向符号学（introversive semiosis）相关（Agawu 的外向符号学（extroversive semiosis）与我们称之为旁文本谓词的内容有关。这些谓词涉及超越狭义音乐符号系统的符号。Agawu 称它们为“话题宇宙”。话题是具有超越文本意义的符号。我们在此不涉及这种内涵符号过程。），即基于内文本符号的意义生产，“结构宇宙”。例子包括：Schenker 的“Ursatz”（起始/中间/结尾），Ratner 的和声功能模型，当然还有所有表示度量、节奏、动机、和声等结构的基本符号。内向符号学可以说是文本意义的生产，因为文本是内向符号学的相关参考层次。
为了控制文本符号学的多样性，必须建立一个适当的事实性标识机制系统。假设已选择了一个确定的指示符类别 ，例如上述讨论的局域组合类别 。用 表示由所有正笛卡尔积组成的类别。选择一个“真值”模块 ，并设
由此，一个文本符号学是一个映射
在名称集合 的子集 上，这个子集也称为表达式集合，其元素称为文本表达式。如果 是任何这样的文本表达式，并且 是任何 元组的指示符或态射（通常将对象与恒等态射识别），我们将 表示为 的值。
这种评估与事实性有关，即“事情的真相”（回想一下维特根斯坦的起始命题：“Die Welt ist alles, was der Fall ist.”，见其《逻辑哲学论》[39]）。如果值 确定为 ，我们有一个筛子 。
在特殊情况下，当 时，即零环上的零模，筛子 确定为一个真值箭头 ，因为最终元素 1 确定为 ，并且根据 Yoneda 引理，。因此，我们从拓扑理论中得到了经典的真值，包括 和 作为假和真箭头。在真值模 的特殊情况下，任何半开区间 定义了一个真值指示符
在普通模糊逻辑中， 表示假， 表示真。但这里我们实际上是在接近局域组合理论的对象。事实上，环境空间 通过包含 包含了子空间 。这将零地址和弦 视为离散模糊真值 相对于圆群的客观对应物。
像往常一样， 中 地址的真值的完备 Heyting 代数 恢复了逻辑运算（否定、蕴涵、合取、析取、上确界和下确界用于全称量词）。
这一视角的核心是：
原则 1 真值指示符是普通的局域组合，因此我们可以将它们作为音乐对象的一种特殊项目嵌入到局部和全局组合的一般理论中，即描述美，而不是描述真理的对象。
从这一点出发的文本谓词理论关注的是从给定谓词构造新谓词的方法。基本上，原子谓词通过（1）数学公式，（2）初见谓词（对应于真正的内向符号学），以及（3）由任意用法定义的移位谓词来定义。它们通过逻辑和拓扑理论构造相结合，构建符号学上有动机的谓词，详见 [25,28-30]。这种方法的一个特例是 Orlarey 将 lambda 演算应用于作曲软件的想法，如在 OpenMusic 或 Elody 中实现的那样 [38, 第2,3章]。其关联在于一个指示符 可以解释为具有谓词 ，其中 是通过相对于特定数学公式的抽象生成的。换句话说，这个想法是，作曲家取一个具体的音乐对象 ，然后将其提升为谓词扩展，并且可以通过取另一个对象 使得 来进行变换。通过这种方式，音乐创作与分析、抽象表示与事实性正走向统一的真正美的领域。
一个美丽的真理。
参考资料
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