最近找到了一个用于线性变化可视化的在线visualization，很好玩，分享给大家：
https://visualize-it.github.io/linear_transformations/simulation.html
大家可以自己去玩玩，然后我也借助这个可视化工具做一期有关特征根和特征向量的教程。我接下来的教程内容，在英文的线性代数教学内容中属于是司空见惯的东西，我可能只是通过我自己的理解整合了多个教程的内容。但是，在中文的线代教程中，还尚未完全普及。
我并不打算系统地做线代教学，但通过这期教程，是想让更多读者看到，线代可以教得十分直观易懂！
1 换一种视角看待矩阵乘法与线性方程组求解
对线代有基本认识的读者都会知道，对于一个如下的线性方程组：
我们可以将其表达为Ax的形式，其中：
我们可以用多种不同的方式来理解Ax这个矩阵和向量的乘法运算，最为大家所熟知的是行*列的算法：
也就是说A中的第一行依次为两个未知数x的系数，所以我们将A中的第一行与两个未知数依次相乘，形成第一个方程的左半部分（结果矩阵的第一行），第二行也类似……这种乘法方式被称为“点积”运算法，具体为何如此命名由于篇幅我们在此不赘述。
我们还可以用一种不同的方式来理解这个乘法运算，如下：
这种运算的结果和上述是一样的，但是运算的过程不一样。它代表了整个方程组的左半部分是通过x1倍的A的第一列和x2倍的A的第二列相加得来的——这个运算也同样十分直观，符合我们对方程组构建方式的认识。通过这种理解视角，我们会发现一个矩阵乘以向量，就是根据向量中的元素大小，来对矩阵中的列进行相应比例的线性组合。
【练习：到这里我们先停一下，请你自己尝试着写一个3*3的矩阵A，与一个3*1的向量x，然后先用“点积”运算法计算一下结果，然后再用新的“列的线性组合”的方式计算一下。希望你和我一样获得了相同的计算结果，但是会觉得，两种计算带给你的感觉是不一样的！】
我自己做矩阵乘法的口算时很少会使用最基础的“点积”算法，因为它需要一个个元素遍历计算，这无疑是对我大脑计算资源的一种浪费（学过“分布式计算”相关编程概念的同学会更理解我在说什么）。
另一方面，“列的线性组合”的乘法算法能提供给我们一种新的视角来理解线性方程组。上述的“列的线性组合”，实际上就是在说一组列向量（通过一列数字表示的向量）的线性组合，它在视觉上意味着什么呢？
我们可以把两条向量先在坐标系中描绘出来：
让我们将这两条向量命名为a1和a2。依据高中学的向量“平行四边形加法法则”，可知我们能够通过对两条向量进行一定比例的“加和”，也就是x1 a1+x2 a2，来获得相对应的任意二维平面上的向量：
现在，再回过头来看我们用来举例的二元一次方程组，我们已经知道它可以被如此简写：
所以这个求解这个线性方程组，实际上在视觉上，就是在求解：我们该如何对a1和a2进行配比加和（找到对应的x1和x2），才能获得目标向量b=(8, 5)。
【练习1：请通过你既有的解二元一次方程组的知识，解出这个线性方程组，然后根据方程组的解x1和x2，在坐标系中画出相应的平行四边形加法的可视化，验证加法结果，也就是平行四边形的对角线，是不是就是方程组中的b】
【练习2（选做）：将你在最初一个练习中找的矩阵和向量写成一个三元一次方程组，然后通过“列的线性组合”的方式来理解这个方程组，并在三维坐标系中描绘出对应的列向量。接下来，请你自行求解出该方程组的解，依据解的值，我们可以对刚才可视化出来的三条列向量进行线性加和。请观察，加和得到的目标向量，是否对应于方程组中的b】
2 换一种情境理解Ax
我们刚刚已经介绍了通过“列的线性组合”的方式来理解Ax，在这种视角下，假如A是一个m*n的矩阵，我们可以将其看作一个蕴含了n个m*1向量的矩阵，而Ax这一乘法就是对这n个向量进行线性组合，来获得1个m*1的向量。
需要注意的是，在上述求解线性方程组的情境下，我们其实默认地将A看作某个特定的矩阵，其所包含的列向量也都是给定的。而x是可以变动的，我们尝试将A中的列向量通过任意x中的元素组合，来获得目标向量b。
如果我们从烹调料理的角度来理解这个乘法，我们可以将A理解为某种食材，x理解为不同的调味料，我们尝试向食材中加入的调味料，从而将食材烹调成我们期待的料理。
现在，让我们再来引入另一种情境：假如现在有一个Ax的乘法，其中x是固定的，而A是变动的呢？这时，我们的“烹调方式”有所转换：x变成了某种食材，而A变成了不同的调味料。但这其实只是一种情境上的切换，我们仍旧可以通过“列的线性组合”来理解Ax背后的含义。
我们先来看一种最简单的情况，当A=I，也就是单位矩阵的时候。我们可以把Ax看作：
而它实际上就是x本身（这时候我们就是在对一个长度为1的x轴上的向量和一个长度为1的y轴上的向量进行线性组合，这也是我们构建任意标准二维坐标系中向量的方式）！但是假如我们将A中的第一个元素改为2：
这时，通过“列的线性组合”，Ax现在变成了：
可以看到，x的第一个维度被拉伸了两倍，现在让我们将x想象为一个二维坐标系中的向量，Ax乘法的过程其实可以被可视化为下述的过程：
在有了如此精美的可视化后，让我们再来回忆一下我们刚才做了什么！当A=I的时候，Ax就是x本身，它就好好“躺”在一个标准的二维坐标系上。当A中的第一个元素变换时，整个坐标系也发生了变换，我们可以将其理解为一个空间扭曲的过程，而在这个扭曲的过程中，处于这个空间内的x也被连带着扭曲了！
我们将这个扭曲的过程称为“线性变换”，任何矩阵都可以是一道“扭曲射线”，当它打在x上（也就是Ax）时，x所处的整个空间会产生扭曲，导致x也跟着被扭曲。
我们还可以来做一个更有意思的线性变换，假如这时A为如下矩阵，x为如下向量：
我们来看看这个“空间扭曲”，或者正式地说，线性变换的可视化是怎么样的：
【练习：自己打开文章开头的网址，尝试不同的矩阵A，来观察左乘矩阵A后对整个二维空间的影响】
3 真正理解特征根与特征向量
我们在前面提到，矩阵A可以被理解为某种线性变换，当它左乘x时，可以对x所处的空间施加某种“空间扭曲”，进而促使x产生变化。那么显而易见的是，在这个扭曲的过程中，不仅x变化了，该空间中其他的向量也由于空间的扭曲而产生了变化。
所有线代教材在讲到特征根与特征向量时，都会给出如下的公式：
其中x是特征向量，λ是特征根。结合上述“空间扭曲”/线性变化的知识，这个公式到底意味着什么呢？
这个公式意味着，当A这道“扭曲射线”降临时，存在某条向量x，在整体空间扭曲的情况下，虽然它的长度被改变了，但它的方向没有变化，仍旧能够“保持本色”！
比如，给定如下的矩阵和其特征根与特征向量：
我们可以将Ax可视化为如下的过程：
我们可以看到，在A扭曲整个空间的过程中，x只是被拉伸了（刚好放大了两倍），方向并没有变化。
这条“坚挺”的向量x就被我们称为A的特征向量，特征向量的英文为“eigenvector”，而eigen为德语，对应“自身的”意思。所以x是A的eigenvector，实际上就是说x在经过A的线性变换后，仍旧能够保持自身。而经过变换后缩放的幅度，相对应的就被我们称为“特征根”，也就是eigenvalue。这里中文的翻译实际上也存在一定误导，英文直译应为“特征值”，之所以翻译为“特征根”，大概率是因为我们实际求eigenvalue的过程中会涉及到方程根的求解。
【练习：结合你手头的线代教材，掌握求解一个矩阵A的特征根与特征向量的基本算法。然后自己给定一个矩阵A，求出它的特征向量与特征根，在文章开头给的可视化工具中，尝试可视化出特征向量“保持自身”的过程】
如上，就是用可视化方式真正理解特征根和特征向量的全部内容，以下是我的个人吐槽，你可以选择不读，或是消化完知识以后再读，对我的读者来说，学习是第一的！
4 线代的教学真有那么难吗？
我之前就提过国内高校很多线代课很“拉胯”，实际上只要用心，配上一些教学能力，一个老师完全可以在多年授课经验的帮助下，很清楚地教授很多知识点。本教程就是一个例子，在对比本教程与你所接受的高校线代教育时，应注意如下几点区分：
1） 阅读本教程的读者大多已接受过基本的线代课程，对相关概念已有一定认识，此为本教程较高校线代课程占优；
2） 本教程只能够通过文字和图片，不能够面对面教学，此为本教程占劣；
3） 高校线代课程更加系统，有更充足的时间铺垫，本教程需要通过一篇3000字的文章讲清楚课程行进末段中的重难点，此为本教程占劣；
以上仅仅简单罗列，实际上还有很多本教程的潜在劣势。虽然本教程的劣势在数量上占多，但并不见得实际上就占劣，只是希望读者在对比时能够注意到这些区分。
上篇文章评论区有人提到，线代课程没有我说的那么不堪，很多东西老师都讲了，而是学生第一次学习不理解。我自己曾经是学过线代课，所以在面对这种观点时，不仅不赞同，更感到愤怒。因为我的线代老师讲得就是很烂，花了半个学期讲行列式，讲矩阵以后连坐标系都没画过，叫人怎么理解？而我听说的有的老师可能会提，但并不会通过各种方式来帮助学生更好地理解。
我知道这里有个不能“以偏概全”的问题，而我所知道的永远是“偏”。但是我相信我自己的经历，和我描述的现象是有代表性的——国内很多学生都有过类似的经历，而关注我的粉丝可能绝大多数都遭遇过类似的老师。
所以，我也希望大家能够更多地在评论区理性地交流自己的经历和观点，或许你们的发声不能够改变现实的情况，同时你们说再多，或许也说服不了那些看不清现实的人。但是不管你们支持还是反对我，这至少有两个直接的好处：1）让我知道我用心更新各种教程是有意义的，有一部分人也确实需要用心编排的教程，2）看到有意义的话题被讨论和思考，能够改善我的情绪和精神健康。
最后，我知道我上述的教程也仍有很多可以改进的地方，我也会在未来的时光里不停地去改善，因为教程的修改和我对学科概念理解的深入是同步的。同时，我的教程并不全面，并没有涉及很多计算的细节。但是我一直坚信，传授知识没有必要把所有知识都塞给学生，知识的理解是没有办法硬塞的，这种主动权永远在学生自己身上。而好的教程应该是启发性的，它帮助学习者在抓住最本质最核心的东西的同时，促发学习者对相关议题的兴趣，从而使其能够自行探索和学习一些更简单和机械化的“周边”内容。
