主成分分析（Principal component analysis, PCA）是一个在统计以及机器学习领域十分常用的方法，很多偏应用的文章和视频已经很好地讲解了PCA的几何解释，以及具体在做什么。这篇文章我来写一下PCA方法的数学推导。
首先，我们知道，PCA尝试从数据集中逐一提取方差最大的成分（Components），直到保留的成分能够解释数据大部分的方差/变异，同时这些保留的成分数量往往又远小于原始变量的数量（因为大多数数据集中的变量都存在比较强的相关），从而达到降维的目的。
那么我们如何获得这样的成分呢？假设我们有一组随机变量x1, x2, …, xp，那么我们将成分定义为它们的线性组合：
我们想要做的是使这个组合出来的新成分的方差最大。现在有一个显而易见的答案摆在我们面前，就是将所有⍺值设置为无限大，这样就可以获得方差无限大的成分了！这显然不是我们想要的结果，所以我们需要对⍺的值施加一些限制，设置如下：
如上，我们保证⍺1向量的模为1，这样就保证了各个⍺的平方和始终为1，我们在这个限制下调整成分中每个x变量的配比，从而使获得的成分的方差最大。
现在我们需要求这个成分的方差，我在《【线性代数】二次型转化的小技巧与应用》的文章中讲过如何求一组变量线性组合的方差，结果如下：
接下来我们需要在⍺1T⍺1=1的限制条件下，去最大化这一项，我们该如何做呢？我在《透彻解析拉格朗日乘数法》中提到了我们可以用拉格朗日乘数法，将上式改写为：
然后，我们就可以对该式进行求导，将其等于0来获得最大值的情况：
（上述过程中涉及到了Matrix Calculus，是我尚未更新过的内容，我会根据这期内容的读者反馈，阅读量以及点赞量来决定是否更新）
从求导后的结果，我们发现，⍺1向量及为所有x变量协方差矩阵的特征向量。我们还可以利用该结果回过头来计算对应成分的方差即为特征根：
所以，如果我们要方差最大的成分，仅需将所有x变量按照最大的特征根（方差）对应的特征向量进行线性组合，然后我们可以选取第二大的特征根对应的特征向量进行线性组合，获得方差第二大的成分，依此类推……
同时，由于协方差矩阵是对称矩阵，我们很容易知道它的各个特征向量相互正交，进而可以得出每个主成分相互独立（协方差为0），或者说相互正交：
上述的过程是PCA的一种数学推导以及计算方式，实际上，我们也可以用奇异值分解来完成PCA，同时我们能够通过奇异值分解的方法洞见更多有关PCA的性质，关于这一点，我会在后面的文章中慢慢总结。如果这篇文章对你有帮助的话，欢迎点个赞和在看，你的支持是我更新最大的动力！
