伪逆矩阵（Pseudoinverse）是一个我最近才学习的线代概念，最一开始的时候，我在对于伪逆的理解方面碰到了一些困难，今天再重新阅读教科书后才想通了对伪逆的直观理解。如果你也对伪逆矩阵似懂非懂，或者不满于自己目前对其的理解水平，不妨来看看我的这篇总结笔记吧！
1 直观理解矩阵和逆矩阵
我在之前的文章中已经提到过，任何矩阵A都可以看作是某种“线性变换”。具体来说，当我们用A左乘x，也就是Ax时，其实就可以把A看作是一种“扭曲射线”，它将x所在的整个空间进行扭曲，所以也顺带着将x进行变化。如果你无法理解我上述的比喻，可以先看看公众号中的《【可视化理解特征向量】线代老师教不明白的，我来教！》。
那么逆矩阵是什么呢？逆矩阵A-1就是A这一“扭曲射线”的解药！当我们对x所在的空间施加矩阵A对应的扭曲射线时，x被连带着扭曲成了Ax；紧接着，我们对这一空间施加解药A-1，空间复原，x也变回了A-1Ax=x。当然，你也可以把向量x想象成柯南，那么某特定矩阵A就是把他变成小学生的毒药，而对应的逆矩阵A-1就是让他变回大人的解药！
我们也可以通过动画来看看矩阵和逆矩阵的功效，假如有如下矩阵A及其逆矩阵A-1，以及向量x：
我们可以可视化线性变换/“空间扭曲”过程Ax：
以及“施加解药”的过程A-1Ax：
以上就是对矩阵和逆矩阵的直观理解，我们知道，并非所有的矩阵都可逆，确切来说，只有当某m*n矩阵为方阵（m=n）并且满秩（r=m=n）时，该矩阵才可逆。那么，我们如何直观理解一些不可逆矩阵呢？
2 直观理解不可逆矩阵
不可逆其实是一个我们在中学时期生物课就学过的概念，生物老师在课上曾经提到：蛋白质的热变换是不可逆的。用大白话来说，就是生鸡蛋可以煮成熟鸡蛋，但熟鸡蛋不能反生。
我们可以把这个“不可逆”的概念过渡到对不可逆矩阵的理解中来：给定矩阵A与向量x，当我们对x施加A的变换/扭曲后，如果我们无法找到某个特定矩阵，使其复原，这时我们就说A（这一线性变换）不可逆。
那么怎么样的变换会是不可逆的呢？我们先给出答案：“降维打击”是不可逆的。现在我们具体来看什么是“降维打击”：
上述动图完美描述了一次“降维打击”：原先的二维空间（由x轴和y轴张成），被变换成了一根数轴，也就是说被降维成了1维空间。而原先躺在二维空间中的一条向量，也被压缩进了一维空间中——降维打击导致它某个方向的分量缩减为0。而比较遗憾的是，在线性代数中，这个变为0的部分是无法挽回的，或者说我们没有办法把已经降维了的空间重新抬升回原来的维度。所以我们无法找到这次“降维打击”对应矩阵A的逆矩阵，矩阵A不可逆。
以上是对不可逆的直观理解，接下来我们就可以来看看，如何直观理解某不可逆矩阵A的伪逆矩阵A+。
3 直观理解伪逆矩阵A+
由于缺乏比较好的可视化工具，并且我自己今天比较懒得手动绘图，所以以下文字描述可能会有一些抽象。看完后希望有更清晰的可视化呈现的读者可以给我留言，我可以再出一期可视化的呈现（也可以一个知识点写两期推文哈哈哈）。
我们刚刚提到，某个矩阵A不可逆，是由于当我们进行Ax变换时，A将x的某个分量降低为0，这个“降维”的过程是无法挽回的。但是想象一下，还是在一个二维空间中，假如某个向量x被打击的分量本身就为0（比如，它就是一个躺在y轴上的向量）。这时，即使我们进行Ax变换，我们无非只是使原来就为0的分量保持为0。换句话说，我们并没有做出某些无法挽回的变换，夺去x原来有的某个部分（因为这个部分原来就没有）。所以反过来说，我们做的变换是可以挽回的，而这个挽回的过程就是A的伪逆矩阵A+。
总结一下，对于某不可逆矩阵A，我们可以将其理解为某种“降维打击”，这种降维打击施加的影响往往是不可逆的！但我们总是可以找到一些向量，这些向量因为本身就“躺”在特定的空间里（这个空间实际上就是A的行空间，具体原因不在此赘述），它们对A所施加的“降维”是免疫的。而这时A对它们的变换由于失去降维的特性，也就可逆了，这一可逆的变换就蕴含在A+中。
如上，就是关于可逆矩阵的直观理解的所有内容。如果你希望我做一期可视化呈现的话，请在文章底部给我留言，谢谢！
