拉格朗日乘数法是在推导主成分分析时重要的数学技巧，今天这篇文章就来总结一下我对拉格朗日乘数法的学习。
我们先来一个简单的例子，假如x是一个长度为D的向量，其中包含了x1,…,xD个随机变量。现在又有一函数f(x)，我们想知道当x12+…+ xD2=1，也就是xTx=1时，f(x)的最大值是多少。
假如没有这个约束条件，那么我们可以能会选择对f(x)求一阶导使其等于0，然后我们这些拐点用二阶导验证其是否为Local maximum，最后比较得出Global maximum。
这个方法有两个问题，第一个最直接的问题就是没有考虑到约束条件xTx=1；其次，如果f(x)关于x单调递增，那么直接求导将没有办法帮助我们找到需要的结果。
所以，为了找到满足约束条件的前提下的f(x)的最大值，我们需要使用拉格朗日乘数法。
在具体讲解拉格朗日乘数法如何解决本例子之前，我们先来看一个更普适性的例子，假如我们有以下函数：
【函数1】
其中λ为我们新引入的变量。大家可以想象，如果这时我们想要寻找该函数的极值，需要使两个偏导都等于0：
关于λ的偏导是十分容易的，它就等于g(x)，也就是说对于所有满足g(x)=0的x，其中有一个x能够使整个函数1取到最大值。而由于g(x)始终为0，所以这个最大值也是当g(x)=0时，f(x)的最大值。
上面的逻辑有一些tricky，大家可以多读几遍消化一下。总得来说，我们通过在f(x)后面添加一个新项，保证我们求出来了当g(x)=0时，f(x)的最大值。大家肯定发现了这个结果与我们前述情境的目标完美契合（我们想知道当x12+…+ xD2=1，也就是xTx=1时，f(x)的最大值是多少）。我们可以令g(x)=1-xTx，那么遵照前述的方法，我们就可以计算出当1-xTx=0，也就是xTx=1时，f(x)的最大值。
这一方法就被称为拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method），而其中新加项的λ即为相应的拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier）。
我们来将上述方法运用到具体的实例中，假如：
那么我们可以运用拉格朗日乘数法，添加一项新项：
对其关于x求导：
将结果等于0即可得出：
所以，通过拉格朗日乘数法，我们发现了所有矩阵S的特征向量能够使f(x)=xTSx达到极值。那么我们如何判断哪个特征向量能够使其取到最大值呢？我们可以在方程两边左乘xT，即可还原出f(x)：
所以，我们只需要选取最大特征根对应的特征向量，即可使f(x)达到最大值。
上面都是关于拉格朗日乘数法的讲解和应用，实际上，如果掌握了这一方法，PCA的推导也将变得十分简单。如果你觉得你还是对拉格朗日乘数法一知半解，我可以在提供一幅维基百科上的插图辅助理解：
如图，我们可以把虚线看作f(x, y)的“等高线”，也就是在位于同一条虚线上，所有x, y的取值组合都会导向相同的f(x, y)值。同时，这个f(x, y)是一个“盆地”，也就是中间低，两边高的架构。而拉格朗日乘数法在做的，就是当x, y满足某种关系g(x, y)=c时，寻找满足条件下的f(x, y)的最大or最小值（这里的图示似乎是一个寻找最小值的例子）。
如上，就是有关拉格朗日乘数法的全部内容，如果你觉得本文章对你有帮助，也请不要忘记给个二连（赞和在看，在看一定要点啊！）。
