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火箭飞行就是将发动机一个个点燃，提供充足动力和控制力的过程。人类的第一枚火箭V-2为一级火箭，所有发动机均在地面点火。前苏联的科罗廖夫在研制R-7导弹时，对于空中点火没有什么信心，将火箭设计为一级半构型，所有发动机地面同时点火，在空中抛离助推器。R-7导弹于1957年5月发射，8月首次发射成功，10月就马不停蹄地将第一颗人造卫星送上了太空，开启了人类航天新纪元。冷战时代，航天胃口突飞猛进，航天技术同样也一日千里，首发卫星仅仅3个月后，1958年1月底，苏联政府就要求科罗廖夫设计一发能飞上月球的火箭，这个时候，增加一个空中点火的二子级迫在眉睫，这就是1959年1月发射的月球号，二子级采用科兹贝格设计的RD-448发动机，这是苏联第1台在真空环境中点火起动的液氧煤油发动机。美国的火箭从第一天开始就是多级构型，最先飞上太空的是1958年2月冯·布劳恩的丘诺一号，火箭共四级，起飞重量约28吨，运载能力约20kg，火箭上面三级均为固体火箭，点火难度不大。1个月后，即1958年3月，先锋号火箭上天，二子级为液体自燃推进剂，终于完成了液体火箭的人类首次空中点火，只是火箭很小，全箭起飞重量仅10吨，运载能力约20kg。与R-7火箭200多吨的起飞规模，1吨多的运载能力比起来太小了，在克里姆林宫举行的一次苏联——阿拉伯友好会议上，赫鲁晓夫告诉他的客人：美国需要发展许多橘子大小的卫星才能追上苏联。当时美国较大一点的火箭是雷神导弹和宇宙神导弹，起飞重量分别为50吨和110吨，两者都是一级构型，或者说宇宙神是一级半构型，与R-7不同的时，它只有一组贮箱，在空中抛的是助推发动机。为了将“橘子”换成真正的载荷，美国火速开启了积木大法，宇宙神的组合此处不再细表。雷神作为一子级，与先锋号的二三级结合起来的雷神-艾布尔，好歹将运载提升到了122kg，于1959年10月首飞。到了1960年4月，构型进一步改进为雷神-艾布尔星，取消了原固体三级，并将二级扩大，并增加了二次起动能力，将运力提高到了277kg。自此，人类的火箭从1942年地面点火，到1958年3月空中点火，到1960年4月二次点火，火箭技术正式进入二次起动时代。1984年1月，CZ-3火箭首飞，它是中国火箭发展史上的一个重要里程碑，使中国成为世界上第3个掌握低温高能推进技术和第2个掌握低温发动机高空二次起动技术的国家。2006年4月，CZ-4C火箭首飞，它在CZ-4B火箭基础上，三子级发动机采用两次起动工作方式，将600km SSO能力由CZ-4B的2.65吨提升到3.1吨，在中国首次实现了常规推进剂火箭发动机高空二次起动。但进入新一代火箭，除CZ-5的YF-75D外，CZ-6、CZ-7均未采用二次起动，直至CZ-7A和CZ-8才直接使用CZ-3A三子级并进行YF-75二次起动。2015年，CZ-6首飞，在国内测控限制下，火箭700km SSO轨道运载能力500千克，无测控限制下则为1吨。其实，这里的测控限制是有无二次起动的一种委婉表述。2024年7月16日，CZ-12火箭正式进入海南商发开展测试的火箭，火箭采用二次起动。700km SSO一次起动能力约5吨，二次起动达到6吨。那么，二次起动技术是什么？它为什么能提高运力？技术实现涉及哪些环节？技术难点在什么地方？火箭为什么要二次起动？我们常听到的解释是，二次起动像霍曼变轨，能量最省。我不太认同这样的解释，它不直观，是用概念解释概念；其次它不是元解释，因为可以进一步追问为什么霍曼变轨省能量(洞穴之外|“天问一号”走的是最省能量轨道吗？)，其实二次起动和霍曼变轨比较像平行的东西，它们的原因还需要往前推。找原因，可以先感性再理性，先形象再抽象，先用例子算算，找找规律和感觉，有了感性认识后再找背后的原因。关于弹道，可以做简单的数学推导。轨道高度不高时，火箭飞行高度和航程远小于地球半径，分析时可简单假设大地为水平面，重力为常值，简化火箭运动的动力学方程为式中u,v,y分别为火箭水平速度、垂直速度和垂直高度，θ为发动机推力方向与水平面夹角，我们借用一下弹道设计里的术语，称之为程序角（真实定义与之不同），μ为推进剂流量，Isp为发动机比冲，m0为二级箭体初始重量。火箭飞行，就是在给定初始条件，给定发动机推力情况下，调节程序角θ，使火箭到达预定轨道。弹道仿真是已知程序角，求末轨道问题，这是一个简单的初值问题，在matlab中用ode45直接求解上述常微分方程即可，每个人计算的结果都是一模一样的；而弹道设计，是已知末轨道，反求程序角，这是一个边值问题，由于程序角随时间变化为无穷维，有人能算出来有人算不出来，有人算出来运力大有人算出来运力小，这里就体现了设计的灵活性和内涵。怎么求程序角呢？有没有最优的θ？还真有。可以采用变分法导出其最优值，设目标函数为推进剂耗量最小，即 最小，则满足动力学方程约束系统的目标泛函因此在动力学方程约束下，为满足消耗推进剂最小，变分法给出了最优的程序角规律：程序角的正切函数随时间线性变化。这样，程序角的优化就变成了m,n两个数的优化。在连续推力状态下，方程共有三个，m,n再加上飞行时间tf，三个数，正好成为一个适定的参数优化问题。因此，弹道设计变成了已知初末轨道，求三个待定参数的过程，但这里仍有一个小问题，就是在计算机程序中，积分时间不好作为变量。因此对求解做一个小小的变通：已知飞行终了时间tf，求解m,n和μ三个待定参数，使火箭能飞到末轨道。求解中，用fsolve去寻找着三个变量的值，而寻找过程就是通过ode45函数反复求解初值问题。最终可以得到任何一个tf对应的m,n，以及μ。arctan(m-nt)就是程序角。采用《总体设计（上）》一书4.7节中的初始参数，即火箭一级飞行段后的u0、v0及y0为2676m/s、834m/s和54.4km，要求火箭二级进入近地点175km，远地点480km的轨道的近地点，即入轨u1、v1及y1分别为7887m/s、0m/s和175km。计算后得到约束条件下发动机推力随飞行时间变化曲线，以及火箭关机点质量随发动机推力变化曲线，从图中可以看出，当发动机推力为510kN时，发动机工作187s，关机点质量可达5900kg，而发动机推力为807.4kN时，发动机工作120s，关机点质量为5414kg，火箭运力小了约500kg。![]()
图 不同推力对应飞行时间和关机点质量（175km近地点）
画出飞行时间与垂直速度曲线和高度见下图。当推力较大时，火箭在垂直方向先加速再减速，显然耗费能量，但如果慢慢地减速，则由于飞行时间过长，重力损失大。![]()
图 不同飞行时间对应垂直速度（175km近地点）![]()
图 不同飞行时间对应高度（175km近地点）再看不同推力对应的程序角，先看蓝色曲线，对应984kN推力，发动机推力大，工作时间短，火箭开始上抬使劲往上爬，到了70s后，就需要使劲把速度方向往下压，才能准确入轨。这样一抬一压浪费了能量，导致运力低，比较容易理解。直观上我们容易想象，最好莫过于火箭全程没有下压动作，这样是不是能量最省运力最大，但结果并不是这样。图中没有下压大约对应384kN，运力并非最优，而最优运力对应511kN推力，在飞行后期仍有一定的下压动作，这点有人让人费解。![]()
图 不同推力对应飞行时间和程序角（175km近地点）这是因为飞行时间长重力损失大。若下压造成能量损失小于重力损失，可以适当下压，直到达到一个平衡点，此时取得最佳运力。当继续增大推力，此时继续下压损失已大于重力损失，还不如利用重力减速。为验证重力影响这个假设，我们在模型中让g=0消除重力影响（同时将末点的垂直速度由0提高到1330m/s）。期待中最大运力对应的程序角应不会穿过0。运行程序得到运力与程序角见下图。可以看出，推力较大时，火箭先上抬后下压，然后变成一直上抬，并逐渐变成先下压再上抬，而运力最大点全程上抬无下压。将时间点局部加密，发现运力最佳时对应约5°的常值程序角。![]()
图 不同推力对应飞行时间和关机点质量（无重力）![]()
图 不同推力对应飞行时间和程序角（无重力）常值程序角表明，在没有重力时，运力最佳时，火箭是直线斜着飞出去的。直线就是最好的，真是大道至简。怎么达到直线斜飞呢？它需要一种巧合，就是推力正好处在一个值，这个时候，当火箭水平和垂直速度到达给定值时，高度也达到给定值。推力更小时直着飞，水平和垂直速度到了，高度却超了，为降低高度，速度得先慢后快，即前程爬慢点，后程快速爬升；推力更大时直着飞，水平和垂直速度到了，高度又不够，为提升高度，速度得先快后慢，即前程爬快点，后程快速下压。这也是给定起飞重量下，火箭推力大小影响运力的原因，是因为速度和高度的平衡，最佳运力时推力正好，不需要那么使劲地爬(重力损失大)，也不需要那么快速地下压（推力损失大），水平和垂直速度到了，高度就正好到了。那么，若发动机推力较大，为避免先爬升再下压的损失，飞行过程中发动机关机一段时间，火箭利用这段时间无推力爬升去补高度损失，避免先爬再压的能量损失，能否提高运力？这个答案并不明显，因为无推力爬升延长了飞行时间，带来的重力损失是否比节省的能量损失少呢？现在用同样的火箭直接发射至480km远地点。也许我们会说，没有区别啊，先打到近地点关机，然后火箭会直接滑行到远地点，运力应该一模一样，但别忘了，我们现在考虑的是发动机全程工作情况，没有这里面的滑行过程。根据前面分析，由于轨道高度增加了，按之前分析，最优运力需要更低的发动机推力，而在原最优推力时，火箭关机点质量非常小（由于二级本身重量，这个火箭其实已经无运力了，此处不纠结这个事情）。![]()
图 不同推力对应飞行时间和关机点质量（480km远地点）从程序角看，由于飞行高度更高，需要前程快速爬升，后程快速下压，能量消耗大。![]()
图 不同推力对应飞行时间和程序角（480km远地点）现在增加滑行段，首当其冲的疑问是增加滑行段后最优程序角是否还符合正切线性规律，考虑变分方程，推导过程和推力大小无关，因此全程程序角仍符合此规律。采用510kN固定推力和固定流量，并设置二次工作时间固定为10s，将滑行时间作为变量，这样在不同的飞行时间时，可以计算得到滑行时间和对应关机点质量。从下图可以看出，随着滑行时间增长，运力渐增，当滑行时间为198.6s时，关机点质量达到5139kg。这个运力比发射到近地点要低，这是因为二次工作时间固定为了10s，对于这种近远地点，显然二次工作时间为0运力越高。如要在远地点进一步圆化轨道，对于本例需要提供86m/s的速度增量，发动机也仅需点火不到0.7s而不需要10s。也许你还会问，怎么才滑行200s，霍曼变轨火箭要跑半个轨道，怎么也得40min啊。这也是因为首先我们使用了无限大平面假设，其次二次点火时间比自然变轨长，加速了变轨过程。![]()
图 不同滑行时间对应飞行时间和关机点质量（480km远地点）再看程序角，擦去滑行段部分，可以看出，当滑行时间较短时，初始程序角需快速爬升然后快速下压；增加滑行时间，程序角爬升和下压速度逐渐平缓，运力也持续增加直至最大值；滑行时间继续增加，此时程序角缓慢爬升并且不再下压以弥补滑行段重力损失，此时运力不升反降。即火箭推力较大时，通过滑行段，降低速度同时提高高度，达到速度高度平衡，从而提升运力。这个解释也许比一句霍曼变轨要好得多，因为霍曼变轨的原因也与之一致，当发动机一直工作时，速度到了，高度远远不到，这时只能通过程序角耗散能量，还不如先推一下然后关机，火箭自己滑行直到高度到了，再推一下加速以节省能量。
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图 不同滑行时间对应飞行时间和程序角（480km远地点）我们也有一丝好奇，在滑行状态下，最佳滑行时间是不是对应常值程序角呢？不是，从图中看，最大运力在滑行199s处，而滑行168s和滑行228s两个程序角都是逐渐减小的，并不是常值程序角。由于二次起动，引入了滑行时间、第二个工作段发动机工作时间等变量，问题自由度更多，我们也好奇，这些变量是否存在最优解呢？仍将前述泛函对m和μ变分，得出来的方程较为复杂，很难求解，也就很难直观给出规律，只能诉诸于数值方法。最后，我们开展一点模型检验工作，确认火箭在无限大平面上飞行这个假设是否成立。对于一次工作段，发动机工作时间180s左右，水平速度最终达到约8km/s，假设平均速度4km/s，二级关机点火箭水平航程约600km，高度约175km，与地球6378km直径相比较小，因此无限大平面假设尚可成立。当引入滑行段后，火箭飞行时间延长到600s，此时航程增大到了2400km，已经达到地球半径的1/3，无限大平面假设的计算偏差已经相当可观了，就需要将方程写为有心力场下形式，并大量应用数值方法去摸索相应规律。综上，本文通过分析给出了火箭二次起动提高运力的原因：
因为速度和高度的平衡，火箭推力较大时，水平和垂直速度到了，但高度不够，连续工作时弹道只能先快速爬升再急速下压，内耗了能量。二次起动通过引入滑行段提升高度，达到速度和高度平衡以减少内耗，从而提升了运力。也即二次起动的原因：让子弹飞一会儿，程序角更平稳，而不再快速上抬再下压，减少了能量内耗。正所谓二次起航，平稳输出，摆脱内耗，走向高效。
因此从运力角度提出了二次起动需求，那么发动机和增压输送系统等怎么实现二次起动呢？我们将在下篇探讨。
回顾整个分析过程，由于火箭弹道涉及程序角变化趋势，使得优化十分复杂，也难以宏观把握规律。好在我们可以通过变分法给出关于程序角的最优取值，将之转化为寻找m和n两个参数，从而以上分析可以顺利开展。中学时，我们学习函数，y=f(x)，表示自变量x变化时y的变化。大一时，我们学习微分，知道在f’(x)=0时，f(x)取极值。后来我们学习泛函，知道z=J(y(x))，这里函数不再作用在自变量上，而是作用在自变函数上，也即泛函是函数的函数。看到这儿，有人也许会说，把y(x)展开，这不还是一个关于x的函数吗，为什么非得创造一个概念？这里J的取值既不取决于自变量x的某个值，也不取决于函数y(x)在某个x的值，而是取决于函数y(x)本身。譬如一类最简单的积分型泛函这里x进行积分，J和具体x取值无关，而与y函数本身有关。泛函也可以求极值，它的极值出现在一个特定的y函数，这个函数只要变化一点点，J就会增大或缩小。变分法就用于求特定y(x)函数，对于上述最简积分型泛函，变分法给出了欧拉-拉格朗日方程，从而给出了y(x)函数。
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