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匿名爸,热爱奥数,研究了市面上众多小奥资料,对小奥学习有自己独到的见解,相关文章请参考专栏#匿名爸奥数
《高思导引》有三至六年级共四本,之前已经写过三至五年级导引的学习心得如下:
前言
六年级导引是《高思导引》系列最后一本,也是最难的一本。这篇文章迟迟没有动笔的原因就在于:绝大部分人用不到。如果有人在网上宣称学完了整套导引,但没有详细的做题记录,我一般都不会相信,毕竟我认识的有实力的家长大多都是非常低调的,并不需要用这个来证明自己。
家长的理想情况是:孩子拾级而上,各年级导引无缝衔接。而现实情况是:三年级基本都能水一遍,刷完四导的人数开始断崖式下跌,在小升初前能刷完五导已经很优秀,能够完整刷完六导的绝对是少之又少。也就是说:四、五年级导引会拦住绝大多数孩子,根本不用等到六导出手。
不过,为了这一小部分人,也为了本系列文章的完整性,我还是完成了这最后一篇,希望能帮助到那些想完整结束小奥的孩子。如果家长感兴趣,也可以与我交流,共同探讨。
01
六导的特点
一、难度极大:我们都知道,导引难度是1-5星,但不同年级导引的难度不是完全对应的。下面分别是三导的5星题和六导2星题的对比,大家感觉哪个更难?
7.★★★★★★一些奇异的动物在草坪上聚会,其中有独脚兽(1个头、1只脚)、双头龙(2个头、4只脚)、三脚猫(1个头、3只脚)和四脚蛇(1个头、4只脚)这四种动物。如果它们共有58个头、160只脚,且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍,那么其中独脚兽有多少只?
三导第17讲《鸡兔同笼问题二》超越篇
9.★★请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列。
六导第20讲《数论综合二》拓展篇
明显六导的更难,我相信绝大部分家长面对三导的题目至少有思路,也是能做出来的,并且可以验证是否正确。但是六导这道题目就比较难有清晰的思路。(本题答案为16、24、36、54、81)。
二、难题比例增加:六导的1星题目几乎消失(只有零星讲次有),2星也比较少,其中有些讲次,比如第22讲《构造论证二》,兴趣篇直接3星起步。
兴趣篇
1.★★★如图22-1所示,在6×6的警戒方格内,每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格,再建立一个哨所,使得所有的方格都被监视到。
图22-1
2.★★★(1)把1,2,3,…,8,9按合适的顺序填在图22-2第二行的空格中,使得每一列上、下两数之和都是平方数。
(2)能否将1,2,3,…,10,11按合适的顺序填在图22-3第二行的空格中,使得每一列上、下两数之和都是平方数。
图22-1
图22-2
六导第22讲《构造论证二》兴趣篇
前2道题目
三、5星题比例增加:六导超越篇8道题目里面有5道5星题是正常现象,甚至很多拓展篇都开始出现5星题,比如第13讲《计数综合四》,超越篇共6道5星题,拓展篇最后两题也是5星题。很多讲兴趣篇的最后题目已经是4星难度。
13.★★★★★一个长方体的各边长都是整数,并且它的体积是2310,那么这样的长方体有多少个?(如果两个长方体经过旋转可以重合,则认为它们是同一个长方体)
14.★★★★★用4种颜色为一个正方体的6个面染色,要求每个面只能用1种颜色,且相邻面的颜色必须不相同。如果将正方体经过翻转后颜色相同,就认为是同一种染色方法,那么共有多少种不同的染色方法?
六导第13讲《计数综合四》拓展篇
四、多模块知识点综合:因为六导有很多讲次是“XX综合”,所以需要多个知识点综合运用才可以,而不像其他年级只需要掌握一个知识点即可。这个特点在五导开始出现,到了六导更加普遍。
五、新知识点密集出现:很多人以为六导主要是用来复习用的,其实这是一个误区,六导绝大部分的章节都是前面导引没有出现过的。很多家长经常在群里问某个知识点在导引里面找不到,说明他手里肯定没有六导。如果不刷六导,很多知识点体系是不完整的,并且这里面有很多高年级重要的知识点,本文后面会具体说明。
六、解析过于简略:题目难度越高,需要解析的细节就越多,六导的解析水平很高,但过于简略。有的题目关键点或者具体步骤一带而过,读者可能看不懂解析,给自鸡带来较大困难。
02
整体框架
六导按模块分类如下表所示,7大模块共23讲。接下来按模块分别梳理,分析每讲的难度、涉及知识点以及刷题建议。
六导框架
03
具体内容
一、计算模块:只有两讲,仅在超越篇有较难的题目,从六导整体来说,计算模块是难度最低之一,但常见考试的计算题难度远低于这两讲。
第1讲:分数数列计算
本讲知识点主要为分数的裂项,也就是裂和与裂差,题目极其经典,刷完后分数裂项基本不会有问题,建议必刷。本讲兴趣和拓展难度足以应对择校和分班考,但是如果走竞赛或者考某些机构的jxd,超越篇题目还是很有必要刷的。
第2讲:计算综合二
本讲特点和名字一样,考察的内容非常综合,既有新知识点,也有对低年级导引的复习,具体知识点包括:繁分数、连分数、比较与估算、定义新运算、裂项、换元法和数列。难度以3星、4星为主,5星题共7道。如果想综合复习小奥的计算模块,本讲是非常好的选择。
二、应用题模块:共5讲,虽然内容较多,但是总体不难。我个人对于学习顺序的建议是:将比例和方程这2讲放到四导更加合适,因为这2讲难度不高,分别对应算术法和方程法,提前学习会对后面的应用题和行程模块有较大帮助,特别是行程模块。因此,在做完四导应用题模块后,直接刷六导这两讲。其余3讲放在六导刷就可以了。
第3讲:比例解应用题
第4讲:方程解应用题
这两讲属于基础知识点,难度都不高,只有超越篇最后的题目有难度,基本和计算模块难度持平,建议提前到四年级来刷。
第5讲:浓度问题与经济问题
这两个知识点是导引应用题模块最难的,水平要求比较高,如果方程法掌握很熟练,无论多么复杂的情况都能算出来;或者算术法很扎实,很快能到等量关系,都能化解。但是如果两种方法都会一点,但是都不熟练,就会比较痛苦了,所以无论哪种方法,关键是理解原理。
本讲题目都非常经典,并且这两个知识点是高年级考察重点,建议必刷。
第17讲:应用题综合一
第18讲:应用题综合二
这两讲内容也和名字非常相符,是小奥应用题模块的总复习,知识点包括:和差倍分、还原问题、阵列问题、工程问题、比例问题、方程解应用题、浓度问题、经济问题,甚至还有行程问题,题型非常全面,难度中等偏上。如果想系统性复习小奥的应用题模块,可以把这两讲除了行程的题目都做一遍。
三、行程模块:只有1讲,个人认为如果能拆成两讲会更好。四导和五导的行程都很难,六导这讲和五导行程难度一致。
第14讲:行程问题六
本讲知识点非常多,包括:变速问题、扶梯问题、间隔发车、往返接送、中途加油、中途埋油和柳卡图,这些都是高年级行程问题考察的重点,难度适中,题型非常经典,建议必刷。
唯一遗憾的就是每个知识点分配到的题量有限,做完后有种意犹未尽的感觉,可以补充《大白本》或者《明心资优》的题目。
四、几何模块:共3讲,1讲新知识点+2讲复习。
第9讲:立体几何
本讲难度在六导范围内都是最低的一档,没有太难的题目。这讲可以根据自己实际情况选择。
第10讲:几何综合一
本讲知识点包括:长度、角度、平行线分线段成比例以及几何模型,难度比四导和五导明显高了一个档次,建议必刷,否则只刷四导和五导的几何,难度是不够。
第11讲:几何综合二
本讲知识点包括:一半模型、几何模型、勾股定理、圆与扇形和立体几何,难度其实没有第10讲“几何综合一”高,除了个别超越篇题目外,难度基本和五导几何模块持平。
五、计数模块:共3讲,全是新知识点,既是重点,也是难点,建议必刷。
第12讲:计数综和三
本讲主要讲递推计数,知识点包括:递推计数、传球法、几何图形分平面等,难度偏高。我看过很多机构的讲义,基本讲到递推计数这讲,都会直接引用本讲原题或者进行改编,题型经典程度不言而喻。建议所有题目都做一遍(包括超越篇)。
第13讲:计数综和四
本讲主要讲对应计数,重点是阶梯标数法和插板法,这两个原理看似很简单,但其实是非常难掌握的知识点。
简单的标数法在四导第11讲“加法原理与乘法原理”里面就有,其实标数法还有很多变形,比如动态标数,本讲只讲了其中最难的一个,就是阶梯标数法。如果自鸡,本讲大概率看不懂一些题目的解析,最好找专门的课程学习一下。
插板法不是难在知识点本身,而是能够知道哪些题目需要插板法,本讲的题目都非常经典,但是题量还是小了一些,建议学有余力再补充其他练习册的题目。
第23讲:概率初步
大家不要被名字迷惑,虽然叫做“初步”,其实本讲难度很高。特别是超越篇,如果不会做非常正常,如果解析看不懂也非常正常。本讲能够顺利做完,完全取决于计数模块的基本功如何,基本功扎实刷起来就相对容易,如果计数模块不扎实,建议暂时放一放。
六、组合模块:有4讲,难度大(组合比数论难是正常的),并且和其他模块都有交集,属于令人望而却步的模块,如果五导的组合刷起来费劲,这几讲建议暂时放一放。小奥最难的模块无疑就是组合和数论,数论的体系会更完整一些,而组合就比较松散了,特点是没见过的基本不会,见过的也不一定能做对,短期内很难提升,等做到这里,相信家长就更能体会到“天赋”在奥数中的重要性。
第6讲:逻辑推理二
本讲基本只有一个知识点:体育比赛的推理,除了需要运用逻辑推理本身的假设、列表、连线等方法,还需要排列组合的基础,此外还需要进行大量的枚举,因此这一讲的题目都很耗时。不过,由于整讲都是同一个知识点,所以题量是有保证的,建议必刷,本讲做完后就不用再去额外补充其他题目了。
第7讲:最值问题
本讲内容很杂,因为最值问题本来就涉及多个模块,几何的最值有最短路线(比如将军饮马)、面积、体积的最值,数字谜的最值等。需要用的解题思想主要有:枚举法、局部调整法、和同近积大、一笔画、极端思想、最不利原则、排列组合等。本讲最难的是需要论证出最值是多少,其次才是构造。总之就是一个字——“难”,做过的都懂。
第16讲:数字谜综合二
本讲为数字谜的综合复习环节,只出现一个新的知识点:“埃及分数”,知识点本身不难,但学习前最好学过因式分解(最基础的即可)。
本讲和数论联系非常紧密,如果数论不扎实,建议暂时放一放。
第22讲:构造论证二
很难的一讲,需要的知识点有:整除特征、抽屉原理和比较与估算,这几个知识点本来就比较难,放在一起更难。另外本讲有一个新知识点:棋盘染色,这个知识点的难度适中,可以单独做一下这部分的题目,剩下的内容就量力而行吧。
七、数论模块:共5讲,是六导讲次最多的模块之一,前2讲是新知识点,难度适中,后3讲是综合复习,难度较大。
第8讲:不定方程
第19讲:进位制与取整符号
这两讲难度不高,与五导数论相当,题目非常经典,我看过很多择校或者杯赛的题目,涉及这些知识点的题目,要么是原题,要么就是原题改数,所以建议必刷,题目都做完(包括超越篇)已经足够了。
第15讲:数论综合一
第20讲:数论综合二
第21讲:数论综合三
我在《五年级高思导引学习心得》里面说过,五导的数论模块总体不难,另外上面提到的六导第8讲与第19讲也不难,是因为这些都是“开胃菜”,数论真正的“正餐”集中在这3讲,难的数论题目很少只涉及单独某个知识点,都是综合考察。这3讲都是数论各个知识点的综合运用环节,难度是较高的。
如果你的目标仅仅是常见杯赛或者分班考,这么这几讲完全不用做(其实也做不动),如果你的目标是冲击集训队或者走竞赛路线,我建议还是要做,难度和题量都是足够的,并且做完之后对数论模块会有一个全新的认识。
有不少家长说孩子数论学不明白,其实就是天赋不够、难度不够、题量不够。
04
总结
经常有家长问我:学习奥数到底是为了什么?我的回答是:在小学阶段给孩子安排足够深度的思考训练,从奥数中真正应该学到的是,如何用简单的工具解决复杂问题的能力。
奥数本身没有什么问题,关键在于如何学习奥数。
如果把导引看成一座大山,那么三导就是山脚,几乎所有学过奥数的人都来过,也有很多人轻松翻越。四导和五导在半山腰,距离山顶有很远的距离,能够爬到山腰的人已经比较少了,并且开始体力不支,最后能达到山顶六导的可以说是寥寥无几。
可以用记套路、背口诀的方式水完一遍三导和四导,但是不可能用这些方式继续学到五导和六导。一个人刷完三导不代表什么,但能把六导完整刷完的,无一不是具备了完整的思维体系、缜密的推理能力和强大的抗压能力,天赋很重要,努力和毅力也同样重要。具备了这些能力,擅长的就不仅仅是数学了。无论政策怎么变,也无论时代怎么发展,未来需要的依然是会学习的人。