本题是第十五届“走美杯”数学竞赛中年级组的一道题目。本题虽然不难，但是题目比较新颖有趣，属于创新开放型的找规律问题，因此很值得同学们好好研究。
01
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问题引入
古希腊数学家们将一些自然数按照以下方式与正方形联系起来：
并将这些数称为正方形数。
1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和。比如2=1+1，7=1+1+1+4等。请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形______
02
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分析与解答
要解决本题，首先要理解什么是正方形数，以及正方形数有什么规律。从题目的已知条件中可以看出，正方形数与正方形是有关联的，它可以是1，或者是正方形的顶点个数4，或者是两个正方形重合在一起的点数9，或者是三个正方形重合在一起的顶点数16……，按照这样的规律可以生成无数个正方形数。
除了上述4个正方形数，你还能列出几个正方形数呢？按照图中所示的规律，下一个正方形数应为4个正方形重合在一起的点数，如下图所示。
数一数上图有多少个点呢？答案是：25
接下来的正方形数又是多少呢？如果再这样“先画图后计算点数”就太费事了！其实可以从前面的5个正方形数中寻找规律，进而推算出后面的任何一个正方形数。
首先看一下从正方形数4到正方形数9是怎样变化的。如图所示。
从图中不难发现，下一个正方形数就是将上一个正方形数的点数在横向和纵向上各增加1列和1行。
如图所示，正方形数为4的正方形中包含2×2=4个点，而下一个正方形数对应的两个重合在一起的正方形共包含3×3=9个点。
不难想象，下一个正方形数对应的三个重合在一起的正方形中共包含4×4=16个点。结果是正确的。
接下来的正方形数为：5×5=25，结果是正确的。
……
以此类推，我们可以得到很多的正方形数：1,4,9,16,25,36,49,64,81....
其实正方形数就是平方数，其数列的通项公式可表示为：an=n2，n=1,2,3,...
搞清楚了正方形数的规律，我们再来看一下本题。
从拉格朗日证明来看，任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和。换句话说，任何一个自然数都能表示成4个或小于4个的正方形数之和。题目要我们写出80可以表示成哪几个（小于或等于4个）正方形数之和？现在我们就来看一看如何用小于等于4个的正方形数之和表示80。
很显然，可以用来备选的正方形数为：1,4,9,16,25,36,49,64，因为它们都小于80。现在需要将其中4个或小于4个数相加（数字可以重复）使其和等于80，可以有以下两种表示方法。
80=64+16 （2个正方形数之和）
80=36+36+4+4 （4个正方形数之和）
因此 本题的答案是：80=64+16，80=36+36+4+4。
