引言
CT成像技术就是利用X射线穿透物体的衰减信息进行重建来获得物体的断层图像信息的技术，CT图像重建的核心目标就是利用投影测量数据p进行反向推理计算，从而获得待测物体的衰减系数分布函数μ(l)（即物体的截面图像），是一个从投影重建图像的反问题，因此重建算法是CT的核心理论和基础算法。
CT常用的图像重建算法主要可以分为两类（不包含AI重建）：一类是以Radon变换为理论基础的解析重建算法，另一类是以解方程为主要思想的迭代重建算法。今天和大家简单分享一下解析重建算法。
解析重建算法从Radon变换开始，经过几十年的发展，已形成一套严密和完整的理论体系。根据扫描重建形式的不同，又可以分为二维图像重建和三维图像重建。
在二维图像重建算法中，傅里叶中心切片定理是理论基础。基于该定理进行不同的数学变换，可以得到平行束投影下的两种图像重建方法：直接傅里叶重建算法和滤波反投影算法，从本质上说它是Radon逆变换公式在图像重建中的具体应用。扇形束投影重建算法在平行束投影的基础上，经过适当加权修正或采用数据重排的方式，进行滤波反投影重建。
在三维图像重建算法中，分为近似图像重建算法和精确图像重建算法。近似图像重建算法中以FDK算法为代表，FDK算法是Feldkamp等在1984年提出的第一个实用且众所周知的圆轨迹滤波反投影三维图像重建算法。该算法对小锥角的锥束投影进行适当的近似和修正，采用二维扇束方法进行处理，计算形式简单，便于硬件并行加速，因此在目前锥束CT系统中得到广泛应用，并扩展到螺旋轨迹和其他自由轨迹下的FDK重建算法。但是对于大锥角情况，算法的近似误差较大。
1998年Turbell等提出的PI方法是一种近似性能较好且适用于长物体重建的螺旋锥束重建算法，后来还派生出了一些改进的算法，如PI-slant算法、PI-2D算法等。
三维图像精确重建算法方面，Kirillov于1961年给出了锥束几何复值函数的逆变换公式。基于Kirillov的工作，Tuy、Smith、Grangeat在20世纪80年代分别提出了三种锥束精确重建算法（垂直双圆或圆加直线扫描模式等），其中Grangeat类型的算法将锥束投影数据转换为三维Radon数据，重排数据之后进行三维Radon逆变换，得到精确重建结果。此外，Tuy还给出了三维精确重建的充要条件：每个与重建物体相交的平面都和射线源扫描轨迹至少有一个交点。随后Defrise、Clack等统一了上述的三种算法，提出了更加一般的算法。Kudo改进了Grangeat类型的算法，避免了数据重排，且对扫描轨迹具有很好的适应性。
但是，上述三维精确重建算法都隐含着一个条件：即锥束必须覆盖整个物体，不能解决投影截断（如长物体螺旋锥束扫描）的重建问题。在螺旋锥束CT重建算法发展过程中，真正具有里程碑意义的成果是2002~2004年Katsevich提出的螺旋锥束精确重建算法及其广义算法，基于Katsevich的研究成果，一系列基于标准螺旋锥束扫描和非标准螺旋锥束扫描的算法被提出。其中最有代表性的是Zou和Pan提出的螺旋BPF（反投影滤波）重建算法，该算法成功解决了由沿探测器方向截断投影进行CT精确重建的问题，显然该方法可以用于局部CT重建。随后该方法也被成功应用到了扇束和平行束的情况。
自CT被引入临床以来，FBP算法一直都被作为CT图像重建方法的基础和“金标准”，但该算法要求投影数据完备并且精确定量，并且该算法易受统计波动的影响，投影数据量如果不足时，重建的图像质量就会明显下降，因此为保证完备的投影数据量以保证能重建出达到临床诊断要求的图像，该算法对CT的辐射剂量也要求较高。
此外，FBP算法在数据重建中没有真实还原X射线的采集过程，并且忽略了统计噪声，对数据采集过程做了很多简化和假定，包括：测量信号无光子统计波动和电子噪音；X射线球管的焦点无穷小点；探测器由位于每个小室中心的点构成；重建的体素也是没有几何形状和大小的无穷小点。
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