引言
CT常用的图像重建算法主要可以分为两类（不包含AI重建）：一类是以Radon变换为理论基础的解析重建算法，另一类是以解方程为主要思想的迭代重建算法。今天和大家简单分享一下迭代重建算法。
迭代重建算法将图像数据视为未知图像矩阵，将在任何投影角处收集的投影数据与图像初始猜测解进行比较，通过比较结果更新模拟图像，直至模拟图像逼近原始图像。
迭代重建算法的原理是首先设置一组模拟图像矩阵，从不同角度采集数据，并与实际采集的投影数据进行比较。通过反向投影比较结果来更新模拟图像，并且可以重复获得重构图像，直到满足迭代结束条件。每次迭代由测量的投影数据建立一组未知向量的代数方程式，通过方程组求解未知图像向量，也就是每次迭代都只考虑一个辐射的影响和贡献，通过一定次数的迭代逐次近似所需图像。
迭代重建算法分为代数迭代重建算法和统计迭代重建算法两大类。代数迭代重建中典型的算法有代数重建算法(algebraic reconstruction technique，ART)、联合代数重建算法(simultaneous algebraic reconstruction technique, SART) 等。统计迭代重建典型的算法有期望最大法EM(Dempster)、最小范数法、最大后验概率算法MAP等。
1、代数重建算法(ART)
ART算法最初是由Kaczmarz于1937年在求解相容线性方程组时提出的，随后由Tanabe进一步阐明，Gordon、Bender、Herman等于1970年将其引入图像重建领域，Hounsfield的第一台CT机实际上用的就是ART算法。
ART算法是基于Kaczmarz最先提出的“投影方法”，其基本思想是给定重建区域一个初值，一般为零，再将所得投影值残差一个个沿其射线方向均匀地反投影回去，不断地对图像进行校正，直到满足所需要求，然后结束迭代过程。
经过多年的理论研究与实践，证明迭代重建法在某些方面有着变换法所不及的许多优点，特别适用于投影数据不足、投影角度缺失，以及投影间隔不均匀等场合。
2、联合代数重建算法(SART)
1984年，联合代数重建算法作为代数重建算法的主要改进由Andersen提出。SART和ART的主要区别是：ART每一次修正只考虑一条射线，SART是利用在一个像素内通过的所有射线的修正值来确定对这一个像素的平均修正值；另一个区别是：SART是所有射线通过方格网以后，才算完成一次迭代，这样取平均修正值可以压制一些干扰因素，而且计算结果与资料使用的次序无关。ART在计算一条射线过度到另一条射线时就对各该射线所通过的像素值进行一次修正，这样计算的结果与资料使用的次序是有关的。
SART算法一个迭代过程中的子迭代过程数要远少于ART算法一个迭代过程中的子迭代过程数，这也就使得SART比ART具有更加平滑的重建图像，可以更好地压制带状伪影 (stripping artifact)。
3、统计迭代重建算法
统计迭代重建算法是基于观测数据统计模型的一类估计迭代算法的总称。统计迭代重建以优化理论为基础，从投影测量过程的随机性观点出发，把图像重建看成是一个参数估计问题，通过设计合理的目标函数寻求使目标函数达到最优值的参数向量。在图像重建领域中，被认为较为合理的观察数据模型是泊松分布以及近似高斯分布模型，用泊松分布来刻画观察数据的统计特性是最为贴近实际情况的模型。泊松模型已经成为图像重建领域中的标准模型，伴随该模型提出了一种经典的图像重建算法——最大似然期望值最大算法 (maximum likelihood expectation maximization MLEM)。
3.1 最大似然估计理论
最大似然估计是随机信号处理的参数估计中最常用和最有效的估计方法之一 (Browne，1992)。其基本思想是：在对被估计的未知参量（或参数）没有任何先验知识的情况下，利用已知的若干观测值估计该参数。因此，在使用最大似然估计方法时，被估计的参数假定是常数，但未知，而已知的观测数据则是随机变量。
3.2 ML-EM算法
1977年，EM算法由DemPster、Laird和Rubin首次提出。1994年，EM算法被成功地应用于图像重建，成为研究不完全数据（即观测数据）极大似然估计的一种方法。EM算法由于收敛解非负，迭代形式便于计算机实现，在一定的迭代次数内有较强的抑制噪声的能力等优点，已成为随机图像重建的有力工具。
图像重建的极大似然模型和EM算法是由Shepp Vardi (1982) 和Lange (1984)分别独立发展起来的。该模型是建立在假定X射线发射的光子束是服从泊松分布的基础上。为求解方便，在EM算法中引入完备数据的概念。
在一般的情况下，EM算法的结果只能保证收敛到后验分布密度函数的稳定点，并不能保证收敛到极大值点。因为EM算法在迭代时是没有规定迭代顺序的，从所有迭代的最终结果来看，算法是非常稳定的。
MLEM算法稳定，收敛性比较好，而且该算法具有很好的抗噪声能力，尤其是在数据采集过程中受到严重噪声干扰时，更能显示出它相对于解析法的优越性。该算法使求解统计重建问题成为可能，开创了统计重建领域的先河，但是其主要缺点是计算量比较大，收敛速度慢，一般需要多次迭代才能得到满意的结果图像。后来出现的OS(ordered subsets) 加速技术，可以只通过几步迭代就能够得到较好的重建图像，大大加快了重建算法的计算效率，使统计重建算法步入实用阶段。
3.3 OSEM算法
虽然统计迭代重建的CT图像质量较好，但其计算效率较低，即重建图像收敛速度较慢，很难应用到实际的临床研究中，这就使得算法的快速实现的研究显得非常重要。为了减少计算时间，Hudson等提出了有序子集(OS)算法。有序子集方法在数学中应用较多，是数值计算中一种常用的加速方法。
在OS方法中，将投影数据分解成T个经过排序的投影数据子集，这些投影数据的子集称作有序子集，并且定义子集划分数目为子集的级别(OS level)。每次重建时使用一个子集内的投影数据同时对各像素进行校正，重建图像更新一次，这样所有的子集都对像素校正一次，即图像更新T次，称完成一次迭代。与传统的迭代算法相比，在近似相同的时间和计算量下， 重建图像被刷新了T次，从而大大加快了图像重建速度，缩短了重建时间。
迭代重建算法相比于解析重建算法最主要的区别就是将重建的图像进行模型化。在解析算法中，图像是连续的，而在迭代重建中，图像是离散的。迭代重建算法的实质是解一个线性方程组，而它的优势是能将真实的成像几何结构与成像物理效应模型化，因此与解析算法相比可以解决更实际的成像问题，得到更准确的重建图像。
解析重建算法的优点是重建速度快；缺点是抗噪声性能较差，对数据的完备性要求较高。迭代算法的优点是抗噪声性能强，可加入先验知识，对数据的完备性要求不高；缺点是计算量大，重建速相对较慢。
注：相关数学推导公式此处不过多赘述，有兴趣的话可后台私信。
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