引言
首先说个题外话：什么是图像？什么又是图象？
图像是指各种图形和影像的总称，是对客观对象的相似性描述或写真，是自然景物的客观反映，强调自然再现。
图象指的是画成、摄制或印制的形象，强调的是形象的表示，常用于数学领域，表示图形、点、线、面、坐标等空间概念，是现实物体在数学领域的抽象表示。
今天和大家分享的便是图像中的一种：CT图像，但这里主要讨论的是CT图像生成的过程，也就是成像过程。
成像其实在日常生活中与我们密不可分，我们的眼睛就是使用最多的可见光成像系统，其利用可见光在物体上的反射获得物体表面的颜色、纹理、明暗等信息。实际上，不单是可见光，大多数的物质波都可以用于成像，比如：红外成像、生物发光成像、 荧光成像、Thz波成像、超声波成像、X射线成像等。所成的图像就是物质波和被成像物质相互作用结果的可视化。显然，不同的物质波与被成像物质的相互作用是不同的，因此，各种成像模态所成像的结果也是不同的，它反映了检测物体对该物质波所具有的某种特性的分布。
X线实际上是一种波长极短、能量很大的电磁波，具有穿透性、荧光效应和感光效应。医学上应用的X线波长约在0.001~0.1nm之间。其成像的基本原理便是利用穿透性、荧光效应和感光效应，以及人体组织之间的密度和厚度差异来形成影像。当X线穿过人体不同组织时，由于不同组织的密度和厚度不同，X线的吸收程度也不同，导致X射线在物体内部发生不同程度的能量衰减，到达荧光屏或胶片上的X线量有差异，从而在荧光屏或胶片上形成明暗或黑白对比不同的影像。
一般情况下，X射线穿透物体的衰减过程可以用Lambert-Beer 定律描述，当初始射线强度为I0的X射线穿过均匀且厚度为l的物体时，物体对X射线的吸收衰减过程如图所示：
当X射线穿过任意非均匀材质时，可通过将物体细分为具有极小宽度li的单元来计算总的衰减系数，物体对X射线的吸收衰减过程如图所示：
注：相关数学推导公式此处不过多赘述，有兴趣的话可后台私信。
因此，X射线成像的缺点是对三维物体进行成像得到的物体内部的图像是二维的，在深度方向上的信息重叠在一起，一方面无法判断具体的位置信息，另一方面降低了对比度。
为了能够利用叠加的信息恢复出物体内部的三维信息，断层成像技术应运而生，即通过对物体进行不同角度的射线投影测量而获取物体横截面信息的成像。
断层成像的概念最早由挪威物理学家Abel在1826年针对轴对称物体的横截面信息恢复而提出。奥地利数学家Radon在1917年发展了Abel的思想，使成像对象扩展到任意形状的二维截面。Radon提出了投影图像重建的基本数学理论，为CT成像技术建立了数学理论基础，并指出任何物体均可用无限多个投影来表示；反之，如果知道无限多个投影，便可重建出该物体对象。从数学上证明了某种物理参量（如一个切面衰减系数的分布）的二维分布函数，由该函数在其定义域内的所有线积分完全确定。如图所示，二维平面内一条直线L，原点到L垂线的长度为s，与X轴的夹角是θ，对于直线上的一点(x,y)可以用极坐标表示为(r,θ)。
注：Radon变换及Radon反变换相关公式此处不过多赘述，有兴趣的话可后台私信。
由于70年代以前尚未发现Radon的论文，当代投影图像精确重建的数学方法是由美国物理学家Cormack确立的。1963年，Cormack首先提出用物体的多方向投影重建断层图像的代数计算方法，基本解决了投影图像重建的数学问题。
综上所述，CT成像技术就是利用X射线穿透物体的衰减信息进行重建来获得物体的断层图像信息的技术，CT图像重建的核心目标就是利用投影测量数据p进行反向推理计算，从而获得待测物体的衰减系数分布函数μ(l)（即物体的截面图像），是一个从投影重建图像的反问题，因此重建算法是CT的核心理论和基础算法。
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