今年北京高考数学试卷最后一题如下（第三问回忆版，这里对部分字母做了修改）：
设集合
对给定正整数数列：，和序列：，其中,．
定义变换：将数列的第项加，得到数列；将数列的第项加，得到数列；……重复上述操作，得到数列，记为．
若为偶数，求证：“存在，使得为常数列”当且仅当“．
分析：
：只需注意到每次变换是将和中一个数加，故为定值．而最后为常数列，即所有的都相等，于是变换前也相等，即
：即构造一个满足题意的序列．为方便叙述，将写成一个的矩阵
尝试进行构造：
为使和在变换后相等，我们很自然地希望第一列中有个和个，这样．同理第二列中有个和个，依次类推．
然而，上面的不一定满足“为偶数”这一条件，下面我们对和为奇数的行进行调整．
首先，由题意知，为偶数，而，于是也为偶数，这样矩阵中所有元素之和也为偶数．因此元素和为奇数的行共有偶数个．
对两个元素和为奇数的行和，如果和的奇偶性不同（即），则交换和的位置，这样这两行的元素和均变为偶数，且不改变最终的和．的情况也同理．
此时元素和为奇数的行已被调整至全部相同，且一共有偶数行，设共有行，它们均为．
这时候无法再通过交换同一列的两个元素来进行调整，因此我们再添加一些行：
添加行（即前两个数不变，后两个数改变），和行，这些行的元素和也为奇数．
将行中的与中的交换；行中的与中的交换．
此时矩阵中所有行的元素和均为偶数，满足题意．且第列中恰有个和个．
将这个矩阵对应的作用于，可得中都每一项均为，证毕．
