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数涵妙理总堪寻，道通功成浅亦深！大家好，我是麒麟子，我和我的数学故事都还在路上！
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问题引入：数学中的向量与物理中的矢量
高中数学和物理应该是联系最紧密的一对学科，高中物理在计算过程中大量使用数学中的知识，例如受力分析经常用到三角函数的性质。其实在我看来，数学本身是抽象的，注重逻辑思维的，而物理就像是给数学工具富赋予了实际意义，让我们更容易感受和触摸。当然了物理绝非这么简单，也并不是数学的附庸品，同时数学也并不是枯燥无聊，也有自己的独特美学，今天我想聊聊数学和物理中都存在的一个概念——矢量（向量）。
在有些人眼中，向量不就是上面那一堆剪头，有什么可研究的，如果你这么想，那可就太低估向量的魅力了。
高中生都很熟悉了，物理学中我们需要用到各种矢量，例如力、位移、速度等；而对应数学中我们学了平面向量的知识。那么你有没有思考过这两个概念之间有什么区别和联系呢？
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数学向量VS物理矢量
受力分析：首先先来看一个物理学中一个经典的受力分析模型——粗糙斜面上有一物块。
具体的受力分析大家学过物理肯定很熟悉，物块一共受三个力：竖直向下的重力、沿斜面向上的摩擦力、垂直于斜面向上的支持力。三力平衡，如图所示可以将重力分解到斜面方向和垂直于斜面方向，两个方向合力为0。
对于“力”这个物理量，对应有三元素：大小、方向、作用点。上面示意图中，三个力的作用点均在重心位置，然而这种画法只能“示意”，并不能完全反映物体最真实的受力情况，之所以用上图，是我们觉得在该模型下物体的形状和大小不影响我们的分析，所以可以将其视为一个“质点”，故三力的作用点都放到重心位置。
实际上，该物体是有大小的，因此图中的力都有其精确的作用点，重力的作用点一定在重心上，摩擦力的作用点一定在物体与斜面的接触面上，三力平衡的一定是共点力，也就是三个力所在直线汇聚到一点，因此可推得斜面支持力的作用点，如下图：
通过个物理学中的经典受力模型可以得出，力这个矢量在分析中除了大小和方向，还需要讨论它的作用点。
高中数学中对应有平面向量，可以用一条有向线段进行表示，箭头指向代表其方向，线段长度代表其大小。如果将物理学中的矢量和数学中的向量俩概念进行对比，好像差不多，二者描述的都是既有大小也有方向的量，那么你觉得这两个概念是等价的吗？
其实从刚才的受力分析中也能发现，物理学中的矢量在分析中除了大小和方向之外，还需要强调其作用点；而数学中的向量我们不关注它的起点，甚至可以对向量进行随意平移，对于数学中的向量我们只在意其大小和方向。为了更好让大家理解，可以看下面两个例子：
首先是数学中的向量，下图中的三个向量是相等的，因为它们方向相同，大小相等，起点不同但对向量来说没有任何影响，这就是数学中的“自由向量”，数学中的向量可以随意平移。
其次我们看一个物理中的例子——杠杆原理。在力学里，典型的杠杆是置放连结在一个支撑点上的硬棒，这硬棒可以绕着支撑点旋转。大家都听过阿基米德的名言——“给我一个杠杆，我可以翘起整个地球”。
当杠杆静力平衡时，其动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，可以透过改变动力臂或阻力臂长度，使输入力放大或缩小，有着相当实用的功能，古希腊人将杠杆归类为简单机械。
根据杠杆原理，杠杆在达到静态平衡时，满足：
很容易看出，上面示意图中左边情形杠杆平衡，但是一旦我们将力
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向量完整版总结
向量的严格定义除了具有大小和方向之外，运算还需要满足平行四边形法则。比如电流这个物理量，有大小，有方向（逆时针、顺时针），但电流的运算就是普通的加法，不满足平行四边形法则，因此电流是标量。在这个定义之下，向量还可以分为固定向量和自由向量，物理中研究的大多数是固定向量，如力；数学中更多研究的是自由向量，具体如下图所示：
所以关于我们开头的问题——数理中的矢量和数学中的向量的关系，你搞明白了吗？
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