纪念数学大师诺维科夫：苏联第一位菲尔兹奖得主

2024年6月6日，苏联第一位菲尔兹奖得主谢尔盖·诺维科夫（Sergei Petrovich Novikov）与世长辞，享年86岁。诺维科夫在拓扑、几何、力学、可积系统、数学物理等诸多领域都做出了杰出的贡献，是当之无愧的数学大师。

这一家族的下一代同样出了几位杰出科学家。诺维科夫的异父兄长列昂尼德·克尔德什（Leonid Keldysh）是理论物理学家，也是苏联科学院院士和美国科学院外籍院士。他所创立的克尔德什电离理论是强场物理和阿秒科学的主要支柱之一，是多项诺贝尔奖工作的基础。诺维科夫还有一位哥哥安德烈·诺维科夫（Andrei Novikov），是沙法列维奇（Igor Shafarevich）的学生，专长代数数论，可惜他的科研生涯刚步入正轨时便因意外事故离世。

诺维科夫在战乱中度过自己的童年。他三岁那年，德军逼近莫斯科，诺维科夫一家被疏散。柳德米拉带着三个年幼儿子先行一步，但他们根本没法搭上连开去哪里都不知道的列车。此时幸好柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）出手帮助，说他们是自己的家属，柳德米拉母子才得以乘上火车。诺维科夫一家最终到了喀山，在那里过了两年艰苦卓绝的生活才回到莫斯科。

诺维科夫十三四岁便在数学竞赛中取得优胜，十七岁进入莫斯科大学数学力学系。那时的莫大数力系正处于自己的辉煌时期，有柯尔莫哥洛夫、盖尔范德（Israel Gelfand）、沙法列维奇这样的数学巨人坐镇，学生中则有阿诺尔德（Vladimir Arnold）、西奈（Yakov Sinai）、马宁（Yuri Manin）、阿诺索夫（Dmitri Anosov）等未来的大师。

大二时，诺维科夫需要选择一个研究方向。他在系里看到波斯尼科夫（Mikhail Postnikov）、博尔强斯基（Vladimir Boltyanskii）、施瓦茨（Albert Schwarz）三人贴出的一张海报，其中宣传了他们组织的代数拓扑讨论班，并捎带贬低了点集拓扑学。于是诺维科夫决定选择代数拓扑，导师为波斯尼科夫。

拓扑当时在苏联并非显学，研究代数拓扑的更是凤毛麟角。诚然，苏联有一代拓扑大师庞特里亚金（Lev Pontryagin），但他此时的研究兴趣已经转向控制论，对代数拓扑的最新进展并不了解。另外一位拓扑大师罗赫林（Vladimir Rokhlin）因为政治原因无法在莫斯科大学工作，几年后干脆去了列宁格勒。（罗赫林在二战期间曾被德军俘虏，在战俘营被关了四年，通过隐瞒自己的犹太人身份才得以幸存。战后他又在苏联的甄别营里待了一年半，由于柯尔莫哥洛夫和庞特里亚金的干预才得以出来。）

波斯尼科夫和博尔强斯基都是庞特里亚金的学生，当时已经是教授，施瓦茨则是一名研究生。但在这三人中，资历最浅的施瓦茨对于代数拓扑学造诣最深，已经发表了若干篇论文。施瓦茨的导师P·亚历山德罗夫（Pavel Aleksandrov）研究了一辈子点集拓扑，现在看到自己学生在海报上贬低点集拓扑，十分不满。亚历山德罗夫在莫斯科数学会担任过三十多年主席，是苏联数学界举足轻重的大人物。施瓦茨就此失去了留校任教的可能性。到诺维科夫大四时，施瓦茨毕业离校，去了沃罗涅日国立大学，波斯尼科夫则到中国访问一年，诺维科夫只能单打独斗。

就在这一年，21岁的诺维科夫做出了他的第一个数学工作：对配边环的计算。配边理论是由法国数学家托姆（René Thom，1958年菲尔兹奖得主）建立的，配边环是其中出现的一个重要代数结构。诺维科夫创造性地将托姆的工作和亚当斯（Frank Adams）所引进的一个谱序列结合起来，计算出了几种配边环的结构。由于当时苏联与西方交流不畅，诺维科夫并不知道美国数学家米尔诺（John Milnor，1962年菲尔兹奖得主）稍早时候已经宣布了类似的结果，而且使用的是同样的方法。尽管如此，数学界仍然承认诺维科夫独立于米尔诺做出了这一工作，并把相应结果称为米尔诺-诺维科夫定理。诺维科夫从此在拓扑界声名鹊起。

1960年，诺维科夫成为苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所的一名研究生，此时他已经站在了拓扑学研究的最前沿。次年夏天，米尔诺、希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）、斯梅尔（Stephen Smale，1966年菲尔兹奖得主）等西方拓扑学家访问莫斯科，诺维科夫自然而然地成为他们想要会见的人。当时斯梅尔跑到斯捷克洛夫数学研究所，要求见诺维科夫。研究所的工作人员花了好一阵子才把人找来，结果来的是老诺维科夫，这时人们才发现斯梅尔想见的是他儿子。这件事令领导们印象深刻，让诺维科夫的处境得到很大改善。一颗耀眼的新星正在数学的天空中冉冉上升。

在上世纪60年代，诺维科夫的主要研究方向是拓扑学。他在代数拓扑和微分拓扑的许多领域都取得了令人瞩目的成果。他发展了手术和谱序列的技巧，极大推动了高维单连通流形的分类以及稳定同伦群的计算，在叶状结构领域也做出了奠基性工作。他所建立的亚当斯-诺维科夫谱序列，至今仍然是研究稳定同伦群所必不可少的工具。例如2016年希尔（Michael Hill）、霍普金斯（Michael Hopkins）、拉夫纳尔（Douglas Ravenel）几乎完全解决Kervaire不变量问题，以及近年来王国祯、徐宙利等人对于球面稳定同伦群计算的突破，亚当斯-诺维科夫谱序列都是证明中的主要环节。

诺维科夫在拓扑上最重要的成果，无疑是证明有理系数的庞特里亚金类是拓扑不变量。

示性类是拓扑学中的一大主题。常见的示性类有三种：施蒂费尔-惠特尼类、陈（省身）类、庞特里亚金类，它们是空间的上同调群中的某些元素。其中陈类是复流形的不变量，而施蒂费尔-惠特尼类和庞特里亚金类是通常的微分流形的不变量。

从定义来看，施蒂费尔-惠特尼类和庞特里亚金类先验地依赖于流形的微分结构。然而，一个拓扑流形上可能有不同的微分结构。这就带来一个自然的问题：这两个示性类是否是拓扑不变量，也即是说它们是否依赖于微分结构？更进一步，它们是否是同伦不变量？

对于施蒂费尔-惠特尼类，托姆证明了它们是同伦不变量，稍后吴文俊的“第一吴公式”给出了具体从同伦型信息计算施蒂费尔-惠特尼类的方法，前述问题得到圆满解决。

对于庞特里亚金类，吴文俊在1953年到1955年间率先研究了它们的拓扑不变性，证明了模3和模4的庞特里亚金类是拓扑不变量。托姆、罗赫林和施瓦茨在1957年证明了有理系数的庞特里亚金类在分段线性同胚下保持不变。但米尔诺在1963年找到例子，说明整系数的庞特里亚金类不是拓扑不变量。米尔诺发现的是一个拓扑流形上的两个不同的微分结构，其中一个的庞特里亚金类是0，另外一个的庞特里亚金类则是一个非零的挠元素。这意味着如果采用有理系数，米尔诺例子中的庞特里亚金类就都是0了。所以这个例子并不能排除有理系数的庞特里亚金类是拓扑不变量的可能性。

1965年，诺维科夫证明有理系数的庞特里亚金类的确是拓扑不变量，震惊了拓扑界。这一结果的意义不仅仅是解决了一个难题，它还第一次揭示了拓扑与分段线性这两个范畴之间的相似之处。受此启发，柯比（Robion Kirby）等人彻底解决了高维拓扑流形上何时存在分段线性结构的问题，而柯比证明中最为关键的“环面技巧”，其雏形已经出现在诺维科夫的论文中。

有理系数的庞特里亚金类并不是同伦不变量。不过，希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）著名的符号差定理说，4n维流形的符号差可以用庞特里亚金类的L-多项式表示。符号差是同伦不变量，所以这些庞特里亚金类的L-多项式是同伦不变量。作为类比，诺维科夫把基本群到其余离散群的同态跟庞特里亚金类的L-多项式结合起来，定义了流形的高阶符号差。他猜测，流形的高阶符号差也是同伦不变量。这就是诺维科夫猜想，被誉为拓扑学里最重要的问题之一。

1967年诺维科夫因在庞特里亚金类拓扑不变性和高维流形方面工作获得列宁奖。

诺维科夫在1970年法国尼斯举办的国际数学家大会上获得了菲尔兹奖，成为第一位获奖的苏联数学家。大会上介绍他工作的是阿蒂亚（Michael Atiyah，1966年菲尔兹奖得主）。

然而，诺维科夫未能到场领奖。究其原因，可以追溯到两年之前。1968年，苏联数学家和诗人叶赛宁-沃尔品（Alexander Esenin-Volpin）因为政治活动而被强制关入精神病院。叶赛宁-沃尔品是大诗人叶赛宁（Sergei Yesenin）的儿子，对点集拓扑和数理逻辑都有卓越的贡献。他的博士导师正是老诺维科夫。当时99名苏联数学家签署了一封公开信，要求释放叶赛宁-沃尔品。参与签署的有许多著名数学家，包括诺维科夫和他的父母。在这一事件被外媒报道后，苏联当局迫于压力释放了叶赛宁-沃尔品。然而，很多参与签署公开信的人后来遭到报复，像诺维科夫就被禁止离境，未能前往法国领取菲尔兹奖。他在1971年才拿到奖章和奖金。

除了菲尔兹奖以外，诺维科夫在2005年获得沃尔夫奖。他是仅有的11名同时获得这两项大奖的数学家之一。

受阿诺尔德、盖尔范德、以及自己的兄长列昂尼德（可称为三德）等人的影响，诺维科夫从1965年开始学习物理。他花了五年时间学习朗道（Lev Landau）和栗弗席兹（Evgeny Lifshitz）所著的十卷《朗道理论物理学教程》，并阅读爱因斯坦等人的经典论文。到1970年，他干脆加入朗道理论物理研究所，从此将研究兴趣转向数学物理。

在那个年代，数学与物理的前沿研究已经分道扬镳几十年。老一辈的苏联数学家，除了盖尔范德以外没人懂现代物理。到了60年代末，随着规范场论的发展，物理学家们已经越来越意识到现代数学的重要性。尤其是朗道学派，他们迫切需要一名一流数学家来提供帮助，而诺维科夫适时地扮演了这个角色。

一天，波利亚科夫（Alexander Polyakov）向他请教示性类，诺维科夫告诉他示性类可以用微分形式来表示，并给他写出了一个四维的例子。波利亚科夫十分兴奋：“这是二次的！”第二天，他告诉诺维科夫，他发现了杨-米尔斯方程的一个特殊情形，即自对偶方程。自对偶方程的解是杨-米尔斯方程的一类特殊解，后来被命名为“瞬子”（instanton）。示性类中包含的拓扑信息描述了瞬子空间不同的连通分支。

在这一想法的基础之上，波利亚科夫、施瓦茨等四人发现了最早的一类瞬子，被称为BPST瞬子。随后，许多数学家开始研究杨-米尔斯理论。阿蒂亚、辛钦（Nigel Hitchin）、辛格（Isadore Singer）、德林菲尔德（Vladimir Drinfeld，1990年菲尔兹奖得主）、马宁、博特（Raoul Bott）等人很快取得大量成果。这方面最著名的工作当属唐纳尔森（Simon Donaldson，1986年菲尔兹奖得主）利用瞬子构造出了光滑四维流形的不变量，由此引发低维拓扑、复几何和辛几何领域的一系列革命。而这一切，都要感谢当初诺维科夫与波利亚科夫的对谈。

诺维科夫本人于1974年做出了一项重大突破。他发现对于物理中广泛出现的KdV方程（以荷兰数学家Diederik Korteweg和Gustav de Vries命名），在周期边界条件下，其解（通常被称为周期性孤立子）对应的斯图谟-刘维尔算子的谱构成一个黎曼曲面，从而将孤立子理论跟代数几何联系起来。这一想法可以用在很大一类可积系统中，带动了许多后续工作。诺维科夫在1978年国际数学家大会上就这一主题做了全会报告。

1981年，诺维科夫意识到，理论物理中许多作用量并不是单值函数，但是其变分可以视作环路空间上的1-形式。他将这一思想运用于二维共形场论，对这种拉格朗日量进行了分类。许多物理学家在此前后也独立做出了类似的发现。相应的二维共形场论被称为WZW模型或者WZNW模型。这里的N就是诺维科夫，而其中的第二个W是著名物理学家威腾（Edward Witten，1990年菲尔兹奖得主）。诺维科夫还用同样的想法推广了微分拓扑里经典的莫尔斯理论，得到莫尔斯-诺维科夫理论。这一推广在后来的弗洛尔（Andreas Floer）同调理论中起到了关键作用。

可以说，在诺维科夫那一代的苏联数学家里，数学跟理论物理结合已经成为潮流。例如阿诺尔德不满意朗道和栗弗席兹写的《力学》，干脆自己写了一本《经典力学的数学方法》。马宁除了瞬子方面的工作，还是1980年最早提出量子计算机的人之一。施瓦茨是拓扑量子场论的先驱，在弦理论中也有重要成果。

诺维科夫与福克斯（Dmitry Fuchs；左二）参加盖尔范德（左一）70岁生日聚会。

1985年至1996年，诺维科夫担任莫斯科数学会主席，成为苏联/俄罗斯数学界实至名归的领袖人物。1991年苏联解体后，他访问过许多西方数学机构，并从1996年起在美国马里兰大学任教。

诺维科夫的经历在20世纪后半期的苏联/俄罗斯数学家中可谓非常典型。他们通常在年轻时就展露出非凡的数学才华，赢得了国际声望；他们精通数学的多个领域，在物理上造诣也极深。由于政治原因，他们难以跟西方同行交流，很多成果都没有及时得到西方承认。苏联解体后，他们大批移民西方，在国际数学界取得了显要地位。

不过，跟许多完全移民国外的俄罗斯数学家不同，诺维科夫在俄罗斯本土扎根更深。他在莫斯科大学数学力学系、斯捷克洛夫研究所、以及朗道理论物理研究所都保留着职务。在斯捷克洛夫研究所，诺维科夫长年主持一个“几何、拓扑与数学物理”讨论班，培养了大批人才，出版的系列论文集产生了广泛的国际影响。

苏联解体后，曾经十分辉煌的俄罗斯数学毋庸置疑是在逐渐衰落中。这一时期虽然许多俄罗斯数学家获得了菲尔兹奖或沃尔夫奖，但除了已经退出数学界的佩雷尔曼（Grigori Perelman，2006年菲尔兹奖得主），无一人获奖时在俄罗斯本土全职工作。诺维科夫的逝世，或许正是俄罗斯数学在这动荡年代的一个缩影。

[1] Michael Atiyah, The work of Serge Novikov, Actes du Congr. Int. des Math., 1970. Tome 1, p. 11 à 13.