指数函数图像与性质教材精研
数学组 范淋淋
一、指数函数的图像与性质教材分析
二、指数函数定义、图像与性质
以下是指数函数的几个主要的性质：
1.单调性：当a>1时，函数是增函数，即随着x的增大，y的值也增大：当0<a<1时，函数是减函数，即随着x的增大，y的值减小。
2.指数函数的图像在第一象限和第四象限。
3.指数函数的定义域为全体实数R；指数函数的值域为（0,+∞）。
4.指数函数恒过定点（1,0）。
5.取值分布：其中a>1的情况下，当x<0时,0<y<1；当x>0时,y>1。
其中0<a<1的情况下，当x<0时,y>1；当x>0时,0<y<1。
6.奇偶性：指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
7.指数函数具有反函数对数函数，即对于任何实数a和b,都有logab=x成立当且仅当ax=b成立。
8.当底数互为倒数时，两指数函数图像关于y轴对称。
三、指数图像绘制方法及底数对函数图像的影响
底数a的选择会对指数函数的性质和图像产生重要影响。选择不同的底数a可以使得函数的增减性、极限和导数等性质发生变化。同时,底数a的大小也会影晌函数的值城和定义域。因此,在选择底数a时需要综合考虑这些因素。
我们可以通过以下几个函数的图像进行探究
（做出的图像）：
从左往右以此是
故可以探索到底数不同时，函数图像间的区别与联系：
即函数y=ax在y轴右侧的图像，底数越大，图像越高(底大图高).
同时也为以上指数函数的性质的总结做好铺垫。
四、与其他函数的比较
五、指数函数的图像与性质的应用举例
例一：函数y=ax-1－2 (a>0且a≠1)的图像必过定点：
解：令x－1=0，得x=1，所以当x=1时，y=a0－2=－1，
所以函数y=ax-1－2 (a>0且a≠1)的图像必过定点（1，－1）．
分析：因函数y = ax的图象恒过点（0,1），所以对于函数f (x)=g(x)+b (k，a，b均为常数，且k≠0，a>0且a≠1)，
故若g(m)=0，则f (x)的图象过定点(m，k+b)．
例二：比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5
解：(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
分析：比较幂的大小的方法：
1，同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
2，指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
3，底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
4，当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
在实际生活中有着广泛的应用。例如,在物理学中，描述故射性物质衰变和人口增长等问题的公式中常常涉及到指数函数;在工程学中，电子元件的寿命分布和复利的计算等问题的解决也常常需要用到指数函数;在经济学中，指数增长和指数衰减等问题也需要用到指数函数的知识。因此，学习和掌握指数函数的知识对于实际应用具有重要意义。
六、练习与巩固
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供稿 |范淋淋
编辑 |教务处
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