先看一个经典问题——平均投几次骰子，才能获得6点？
许多同学都知道，答案是6. 有些同学，用“直观”解释；有些用等差比数列求和。事实上，这是经典的几何分布构型.
什么是几何分布？独立地进行成功率为p的实验, 记第一次成功时的实验次数为X，则X服从几何分布，且X的期望为1/p. (读者可以自行验证)
在上面这一问题中，p=1/6, 因此X的期望为6.
用这个简单的方法，就能解决温州一模的第八题。
无论从哪出发，到终点的概率都是1/6. 所以，仍然可以视为独立地进行概率为1/6的实验，X为成功时实验次数. 同上，期望为6.
接下来再看一个经典问题：投骰子，1～6点均出现过则停止。求投掷的平均次数。这类问题，往往拆解成几个几何分布的和。
首先，任意得到1～6点中的一个，所需平均次数为1. 从该状态开始，获得第二种点数所需平均次数为6/5 (因为每次投掷成功概率是5/6). 从该状态开始，获得第三个种点数所需平均次数为6/4 (因为每次投掷成功概率是4/6）. 依次类推，当你集齐k种点数时，平均需要n/(n-k)次投掷才能集齐(k+1)种. 综上，一共需要（6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1)次.
再看下一个问题 （2024浙江预赛）n>3, 从编号1,2,....n的卡片有放回地等概率抽取, 记录每次的编号. 若1，2均出现或3，4均出现则停止，求抽取卡片数的期望.
首先，任意得到1,2,3,4中的一个，所需平均次数为n/4 (每次成功概率4/n). 从该状态出发，得到1,2,3,4中的第二种数字, 所需平均次数为n/3. 此时，有1/3的概率已经成功；有2/3的概率还得继续抽. 假如继续抽，从该状态出发，得到1,2,3,4中的第三种数字, 所需平均次数为n/2，此时一定成功. 综上, 需要的平均次数为1/3(n/4+n/3)+2/3(n/4+n/3+n/2)=11n/12.
再看下一个问题. 投硬币，出现连续的三次为“正正反”则停止. 求投掷次数期望。
该题目比较难直接算，因为不同状态出发时，概率不一样。我们最好列个方程—— 为了方便起见，我们设第0次投掷为反面. 设目前最后一次是反面时出发，所需平均次数为x(状态1)； 目前最后两次投掷为“反正”时出发，所需平均次数为y(状态2)； 目前最后两次投掷为“正正”时出发，所需平均次数为z(状态3). 那么：
x=1(先投一次)+0.5x(这次是反的)+0.5y(这次是正的)；
y=1(先投一次)+0.5x(这次是反的)+0.5z(这次是正的)
z=1(先投一次) +0.5z(这次是正的)
解得x=8，y=6，z=2. 我们默认第0次是反面，因此答案为8.
用该方法，我们可以解决以下问题: (2024北大数院博士生资格考) 一个四面体骰子，四面写着阿，里，巴，巴. 掷骰子，直到出现连续四次依次为 "阿巴巴巴” 时停止. 求此时投掷次数的期望.
当然，该题目用鞅论更快，只是高中生或许不必掌握鞅论的工具。
总而言之——这类用几何分布解决的题目，本质上属于套路概率题。希望大家能够掌握这类套路方法。
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