四年级上册数学 63 个必背考点知识梳理总结
一、大数的认识
（1）数位顺序表从右往左依次是：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位…… 相对应的计数单位是：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿…… 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。
（2）读大数时，先分级，再从高位读起，一级一级地读。亿级和万级的读法与个级类似，读完后分别加上 “亿” 字和 “万” 字。每级末尾不管有几个 0 都不读，其他数位上有一个 0 或连续几个 0，都只读一个零。
（3）写大数时，先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上快照 0。
二、公顷和平方千米
（4）边长是 100 米的正方形面积是 1 公顷，1 公顷 = 10000 平方米。
（5）边长是 1 千米的正方形面积是 1 平方千米，1 平方千米 = 1000000 平方米 = 100 公顷。
三、角的度量
（6）线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。射线和直线都是无限长的，线段有固定长度。
（7）从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角通常用符号 “∠” 来表示。
（8）度量角的工具是量角器，量角器把半圆平均分成 180 份，每一份所对的角就是 1 度的角，记作 1°。
（9）角的大小与角两边的长短无关，与两条边张开的程度有关，张开得越大，角越大。
（10）锐角是大于 0° 小于 90° 的角；直角是等于 90° 的角；钝角是大于 90° 小于 180° 的角；平角是等于 180° 的角；周角是等于 360° 的角。1 周角 = 2 平角 = 4 直角。
四、三位数乘两位数
（11）三位数乘两位数，先用两位数的个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。
（12）因数末尾有 0 的乘法，可以先把 0 前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个 0，就在乘得的积的末位添上几个 0。
五、平行四边形和梯形
（13）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形具有不稳定性。
（14）平行四边形的特征：对边平行且相等，对角相等。
（15）梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。梯形的上底和下底是平行的，两腰不平行。
（16）等腰梯形的两腰相等，两个底角也相等；直角梯形有两个直角。
（17）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。梯形的高是两底之间的距离，从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是梯形的高。
六、除数是两位数的除法
（18）除数是两位数的除法，先看被除数的前两位，如果前两位比除数小，就看被除数的前三位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面，每次除得的余数必须比除数小。
（19）试商时，可以把除数看作和它接近的整十数来试商。
（20）被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变，这是商不变的规律。
七、条形统计图
（21）条形统计图的特点：能直观地看出各种数量的多少。
（22）制作条形统计图的步骤：（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线，作为纵轴和横轴；（2）在横轴上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔；（3）在纵轴上根据数据大小确定单位长度，并画上刻度；（4）根据数据的大小，画出长短不同的直条，并注明数量。
八、数学广角 —— 优化
（23）沏茶问题：合理安排时间，明确做事的先后顺序，能同时做的事情尽量同时做，以达到最省时的目的。例如，想要沏茶，洗水壶要 1 分钟，烧开水要 10 分钟，洗茶杯要 2 分钟，拿茶叶要 1 分钟，那么先洗水壶 1 分钟，接着烧开水 10 分钟（在烧开水的同时洗茶杯、拿茶叶），总共只需 11 分钟。
（24）烙饼问题：当饼的数量是双数时，两张两张地烙最省时；当饼的数量是单数时，先两张两张地烙，最后剩下三张，采用交替烙的方法最省时。比如，有 3 张饼，正面记为 A，反面记为 B，先烙 A1、B1，再烙 A2、C1，最后烙 B2、C2，每次烙 2 分钟，共需 6 分钟。
（25）田忌赛马问题：在比赛或竞争中，了解双方的情况，合理安排策略，以弱胜强。比如，齐王的上等马、中等马、下等马都比田忌的相应等级的马跑得快，但田忌用下等马对齐王的上等马，输一局；用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马，赢两局，最终以 2:1 获胜。
九、综合拓展
（26）数的改写：把整万数改写成用 “万” 作单位的数，去掉个级的 4 个 0，再加上 “万” 字；把整亿数改写成用 “亿” 作单位的数，去掉个级和万级的 8 个 0，再加上 “亿” 字。例如，50000 = 5 万，1200000000 = 12 亿。
（27）求近似数：通常采用 “四舍五入” 法。省略万位后面的尾数求近似数，要看千位上的数，千位上的数小于 5 舍去，大于或等于 5 向万位进 1；省略亿位后面的尾数求近似数，要看千万位上的数，千万位上的数小于 5 舍去，大于或等于 5 向亿位进 1。例如，123456 ≈ 12 万（千位是 3，舍去），1289000000 ≈ 13 亿（千万位是 8，进 1）。
（28）计算器的使用：认识计算器各键的功能，能正确使用计算器进行四则运算、开方等简单运算。如计算 123 + 456，依次按下 1、2、3、+、4、5、6、=，即可得出结果 579。
（29）用字母表示数：可以用字母表示数、数量关系、运算定律等。如加法交换律 a + b = b + a，用字母表示路程 s、速度 v、时间 t 的关系为 s = vt。
（30）乘法分配律的拓展：(a + b)×c = a×c + b×c，不仅适用于整数乘法，也适用于小数、分数乘法。例如，(2.5 + 3.5)×4 = 2.5×4 + 3.5×4 = 20。
（31）角的分类拓展：优角是大于 180° 小于 360° 的角；劣角是大于 0° 小于 180° 的角，其中锐角、直角、钝角都属于劣角。
（32）平行四边形与长方形、正方形的关系：长方形和正方形是特殊的平行四边形，它们具备平行四边形的所有特征，且长方形的四个角都是直角，正方形的四个角都是直角且四条边相等。
（33）梯形与等腰梯形、直角梯形的关系：等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形，它们都满足梯形只有一组对边平行的定义，且等腰梯形两腰相等、底角相等，直角梯形有两个直角。
（34）除法运算中的余数问题：在有余数的除法里，余数一定要比除数小，且被除数 = 商 × 除数 + 余数。利用这个关系可以进行除法的验算。例如，17 ÷ 5 = 3……2，验算：3×5 + 2 = 17。
（35）三位数乘两位数积的位数：最小的三位数 100 乘最小的两位数 10，积是 1000，是四位数；最大的三位数 999 乘最大的两位数 99，积是 99801，是五位数，所以三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数。
（36）因数与积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大或缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的倍数。例如，2×3 = 6，若 2 不变，3 扩大 2 倍变为 6，则积变为 2×6 = 12，也扩大 2 倍。
（37）商与除数、被除数的关系：被除数不变，除数扩大几倍，商缩小几倍；除数缩小几倍，商扩大几倍。例如，12 ÷ 3 = 4，若除数 3 扩大 2 倍变为 6，则商变为 12 ÷ 6 = 2，缩小 2 倍。
（38）平行四边形的高：平行四边形有无数条高，从平行四边形一条边上的任意一点到对边引垂线，这点和垂足之间的线段都是平行四边形的高。不同边上的高长度可能不同。
（39）梯形的高：梯形也有无数条高，因为两底是平行的，从上底的任意一点到下底引垂线，这点和垂足之间的线段都是梯形的高，且这些高的长度都相等。
（40）数的大小比较：先比较数位，数位多的数大；数位相同，从最高位开始比较，最高位大的数大，若最高位相同，依次比较下一位。例如，1234 > 999，因为 1234 是四位数，999 是三位数；1234 和 1224，最高位相同，比较第二位，3 > 2，所以 1234 > 1224。
（41）时钟问题：分针每走一圈（60 分钟），时针走一大格（1 小时），即分针的速度是时针的 12 倍。例如，3 点时，时针和分针的夹角是 90°，再过 15 分钟，分针走了 15 分钟，时针走了 15÷60×30 = 7.5°，此时夹角为 90 - (60 - 15)×6 - 7.5 = 7.5°。
（42）路程问题：路程 = 速度 × 时间，速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。这三个公式相互关联，在解决行程问题时经常用到。例如，一辆车以 60 千米 / 小时的速度行驶 3 小时，行驶的路程为 60×3 = 180 千米。
（43）植树问题：分为两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽三种情况。两端都栽时，棵数 = 间隔数 + 1；两端都不栽时，棵数 = 间隔数 - 1；一端栽一端不栽时，棵数 = 间隔数。例如，在一条 100 米长的路的一侧每隔 5 米栽一棵树，两端都栽，则棵数 = 100÷5 + 1 = 21 棵。
（44）鸡兔同笼问题：可以用假设法、列表法等方法解决。假设法：假设全是鸡（或兔），算出脚的总数，与实际脚的总数比较，求出兔（或鸡）的数量。例如，鸡兔同笼，头共 20 个，脚共 60 只，假设全是鸡，则脚有 20×2 = 40 只，比实际少 60 - 40 = 20 只，每把一只兔当成鸡少算 2 只脚，所以兔有 20÷2 = 10 只，鸡有 20 - 10 = 10 只。
（45）年龄问题：两人的年龄差始终不变，年龄和随着时间的推移逐年增加。例如，爸爸今年 35 岁，儿子今年 10 岁，年龄差为 35 - 10 = 25 岁，5 年后，爸爸 40 岁，儿子 15 岁，年龄差还是 25 岁，年龄和变为 40 + 15 = 55 岁。
（46）盈亏问题：把一定数量的物品平均分给一定数量的人，根据盈亏情况求物品数量或人数。例如，把一些苹果平均分给小朋友，每人分 3 个，多 2 个；每人分 4 个，少 3 个。设小朋友有 x 人，则 3x + 2 = 4x - 3，解得 x = 5，苹果有 3×5 + 2 = 17 个。
（47）方阵问题：方阵的行数和列数相等，方阵的总人数 = 行数 × 列数。例如，一个方阵有 5 行 5 列，总人数 = 5×5 = 25 人。方阵最外层人数 = （行数 - 1）×4 或（列数 - 1）×4。如上述方阵最外层人数 = （5 - 1）×4 = 16 人。
（48）容斥问题：涉及多个集合的交叉情况，用容斥原理解决。例如，一个班有 30 名学生，喜欢语文的有 20 名，喜欢数学的有 25 名，既喜欢语文又喜欢数学的有 15 名，那么只喜欢语文的有 20 - 15 = 5 名，只喜欢数学的有 25 - 15 = 10 名，喜欢语文或数学的有 20 + 25 - 15 = 30 名。
（49）找规律：在数列、图形等方面寻找规律，预测下一个或下几个元素。例如，数列 1，3，5，7，… 是奇数数列，下一个数是 9；图形规律如三角形依次增加一个，下一组图形应该是 4 个三角形。
（50）平均数问题：平均数 = 总数 ÷ 份数，总数 = 平均数 × 份数，份数 = 总数 ÷ 平均数。例如，一组数 2，4，6，8，10，平均数为 (2 + 4 + 6 + 8 + 10)÷5 = 6，总数为 6×5 = 30，份数为 30÷6 = 5。
（51）和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数。可以用公式：大数 = （和 + 差）÷2，小数 = （和 - 差）÷2。例如，两数之和为 15，两数之差为 3，则大数 = （15 + 3）÷2 = 9，小数 = （15 - 3）÷2 = 6。
（52）和倍问题：已知两个数的和以及它们的倍数关系，求这两个数。例如，两数之和为 18，其中一个数是另一个数的 2 倍，设较小的数为 x，则较大的数为 2x，x + 2x = 18，解得 x = 6，2x = 12。
（53）差倍问题：已知两个数的差以及它们的倍数关系，求这两个数。例如，两数之差为 6，其中一个数是另一个数的 3 倍，设较小的数为 x，则较大的数为 3x，3x - x = 6，解得 x = 3，3x = 9。
（54）百分数问题：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。例如，25% 表示 25 是 100 的百分之二十五。在计算百分数时，如求一个数的百分之几是多少，用乘法；已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法。例如，100 的 25% 是 100×0.25 = 25；已知一个数的 25% 是 25，这个数是 25÷0.25 = 100。
（55）折扣问题：折扣是指商品按原价的几折出售。例如，打八折就是按原价的0.8倍。
