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②本文中的教学设计目标定位培尖层次。
昨天在与大家交流2024广东中考第22题第（3）问这儿提了两个问题，下面这个题怎么解？又怎么教？今天略谈一二，个人观点，不当处请批评指正。
（一）怎么解？
不妨设存在这样的G点，使得∠AGD+∠CGE=180°，如下图：
下面说明这样的G点是如何构造出来的？
为方便，记∠AGD=α，∠CGE=β，则β=180°-α. 在△ADG和△CEG中应用正弦定理，有
从而，
R1:R2=3:5.
这说明，分别以AD、EC为弦的两圆，且半径比为3:5，若它们有交点，则交点为合意点G.
而这样的两圆是存在且不唯一的，其中等腰△AO1D∽等腰△CO2E，且相似比为3:5，如下图：
以上为点G构造方法！
（二）怎么教？
如果你对于正弦定理的内容以及它的作用比较熟悉的话，那么这个问题的解答思路还是比较自然的。但是，对于初中生我们该如何教？具体地讲，教什么内容、方法？要渗透什么数学核心思想？
可能有些人会这样想，那先把正弦定理铺垫一下，这个问题自然迎刃而解！行不行呢？当然不行，原因有二：第一，增加初中生的学习负担；第二，没有把解决问题的精彩的思维过程展现出来。所以，个人认为：
与其教超前的知识来解决低一级的问题，不如站在较高处，以高观点来审视这个问题，深挖背后的解题逻辑，并引导学生经历这个思维过程，感受数学的思维之光！
以下分享我今天的教学设计，具体教什么内容、方法，渗透什么数学思想，我就不一一细说啦！
我：同学们，周一广东省中考数学开考，据说整卷的难度较大，下面这道题是第22题的最后一问，比较有意思，难度虽然有点大，但我觉得大家还是可以试一试挑战一下，我给大家一点时间思考一下吧。
学生认真审题，尝试解答。可是，几分钟过去了，同学们还都只是对着自己画的草图目瞪口呆，毫无想法，不知道从哪里突破……于是我开始了一番启发——
我：同学们大都能根据题意，在四边形ADEC内部画出一个G点作为代表来思考，这非常好！（如下图）但别忘记我们现在要解决问题是如何找到这样的G点，使得∠AGD+∠CGE=180°！
接着大家都没有思路了，大家遇到什么困难？
生：∠AGD+∠CGE=180°这个条件有点怪，不知道怎么用！
我：是的，这个条件很抽象，只告诉了我们这两个角的关系是互补，当我们面对这样的问题没有思路的时候，我们要有一种探究的思维，即从特殊着手分析，看能不能从解决特例的过程中受到启发，把一些好的方法迁移到解决一般性的问题中来。
没等我讲完，学生已经跃跃欲试……
生：∠AGD=45°，∠CGE=135°；60°和120°，90°和90°……
我：很棒！已经有很多具体方案了，那我们取其中一组特殊角来分析吧，譬如∠AGD=60°，∠CGE=120°，它有一定的代表性，先明确一下现在的问题是什么？
学生回溯思考，进一步理清问题。
生：“怎么找到这样的G点，使得∠AGD=60°，∠CGE=120°！”
我：很好，那大家就着手思考这个具体问题！
过了一会儿，我看大家还是没什么头绪，可见“轨迹”思维还是稍显薄弱！于是，我进一步提示。
我：同学们，在△AGD中，有什么信息是确定的？
生：∠G=60°和AD=32/5.
我：对，只有这两个已知数量，它们的位置又怎样呢？
学生惊喜，并抢着回答道：相对着的……哦！根据圆周角定理，所有的G都在同一圆弧上！
我：棒！非常棒！这个圆弧就是动点G的轨迹，怎么找到这个轨迹呢？
生：圆心和半径！
我：对！谁能告诉我圆心在哪？半径又是多长？
学生思考片刻后，回答我：圆心在AD的中垂线上，且∠O1=120°！
我：为什么必须是120°？
生：因为∠G=60°，根据圆周角定理，圆心角∠O1必然为120°！
准确示意图（圆弧只取在四边形ADEC内部部分）如下：
我：同学们，由以上的分析，我们可以得到第1个结论，那就是G必在这条弧上，那是不是这条弧上的所有点都满足我们的要求（∠AGD=60°，∠CGE=120°）呢？
学生立刻回答：不是！
我：那还有什么约束条件？
生：还要满足∠CGE=120°！
我：那现在大家知道怎么找到这样的G点了吗？
生：so easy！
我稍等片刻，学生们都画出了以下的示意图：
我追问道：G点在哪里？
生：在两段弧的交点处？
我：为什么呢？
生：因为满足∠AGD=60°的点G在上面那段弧上，而满足∠CGE=120°的点G在下面那段弧上，所以G必在两圆弧的交点处！
此处，掌声四起！大家都恍然大悟了，原来如此！
我进一步简化图形，突出要点，如下图：
接着，我继续追问：同学们，你们怎么就知道这种情形的两圆一定有交点呢，万一是作图产生的误差导致的假象呢？所以，为了严谨地说明这一点，接下来我们要干嘛呀？
学生：证明！
我：对，从代数角度来进行严谨的证明，只需要证明圆心距
O1O2＜O1A+O2C
学生马上动笔计算……展示算法：
易求得，KT=4
所以
四边形DKTE为矩形
所以
SK=SD×tan∠SDK=(16/5)×(4/3)=64/15
又
SO1=AS×tan∠SAO1=(16/5)×(√3/3)=16√3/15
所以
O1K=SK-SO1=(64-16√3)/15
类似的，可求得
O2K=4+16√3/9
又
∠O1KO2=180°-∠B
所以在△O1KO2中，应用余弦定理，可知（由于部分运算量较大，果断借助软件计算）
我继续乘胜追击，问道：同学们，我们刚刚是从一组特殊角60°和120°出发进行分析，分两个步骤：第一，找到了符合题设要求的G点，并且从图上可以看出有两个，不唯一，这叫“定性分析”；第二，通过代数计算，证明我们的作图是准确无误的，这叫“定量分析”。
现在我们把这个特例推广到一般情形，即∠AGD+∠CGE=180°的情形，为简便我们记为α+β=180°吧！如何找到这样的G点，使得α+β=180°，刚才的这一番分析，能给你带来什么启发？各抒己见！
“∠O1=2α，∠O2=360°-2β”
……
其中有一位同学笼统地说道：“只要构造出这样的两个圆，它们的交点就是G！”
我：刚才***说到点子上了，但是还很不严谨，请问这样的两圆满足什么关系？总不能随便画出两圆，然后取交点吧！大家再仔细思考一下！给大家一个重要提示：紧抓“圆心”和“半径”两大要素！
经过一段思考，一位学生讲道：两个圆心角满足∠O1=∠O2，两半径满足3:5！
我：此处应该有掌声！……你能不能跟大家解释一下你是怎么发现的？
生：因为α+β=180°，所以∠O2=360°-2β=360°-2(180°-α)=2α=∠O1，而这两个三角形（△AO1D和△CO2E）都是等腰三角形，所以它们相似，并且相似比为AD:CE=3:5！
我：说得非常好！刚才***讲的其实就是找G点的要领，即分别以AD、CE为底边构造两个相似的等腰△（注意方位，关系为旋转相似），且它们的相似比为3:5，再以此为基础作两圆，若两圆有交点，则交点即为G！这就是辅助线的构造思路！
此时，学生已经轰动起来！欣喜若狂，原来这么想的！
我：还没完，接着我们要干什么呢？
生：定量！
我：对，但是由于一般情形下的代数证明运算量极大，且超过了初中范畴，所以我们暂不作要求。
以上就是我针对此题的解与教。时间仓促，以上内容难免有误，欢迎批评指正！
