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今年深圳中考数学压轴题感觉难度比往年低一点，但要顺利解答出来，也不太容易，学生需要对平行四边形的情形全面把控，构图要有一定的方法，计算求解时要有一定的技巧，否则运算量可能会稍大。垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边”。
（1）如图1所示，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF=√5，CE=2，则AE=_______，AB=_______；
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（2）如图2所示，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB=BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由；
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（3）①如图3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形. 要求：点A在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值.
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（1）由BC=AD=2AF=2√5和CE=2，知△BCE三边比例，结合△AEF∽△CEB，不难得到AE=1，AB=√17；![]()
（2）思路：将AE和CD集中至某一特殊三角形，或者是两个相关的三角形中，建立某种等量关系。为方便推导，设CD为x，AE=y，则易得DE=(2/3)x，BE=(1/3)x，EF=(1/3)y.
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EF^2=BE×DE
[(1/3)y]^2=(2/3)x×(1/3)x
y=√2x
AF=√2CD
个人感觉此题设问为“求△BCD的三边比”会更好一些，为什么呢？因为在题干条件的约束下，△BCD的形状（或者整个平行四边形ABCD的形状）都是确定的。
由BE⊥AC，结合“垂中平行四边形”的定义，不难发现对角线只有两处位置：AC或BE所在直线。下面逐个情况来分析：
1°当AC为对角线时，则由A、B、C为平行四边形的顶点，知AB、BC为平行四边形的邻边，可构图如下：
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为什么这样构图符合题意呢？因为此时F恰好为AD的中点，符合题意；
2°当BE为对角线上一部分，否则如下图示，不符合A在垂中平行四边形的一条边上：![]()
由A在垂中平行四边形的一条边上，可知A为一边上的中点，该边的位置分两种情况：一种在AB所在直线上，一种与BC平行。情形一：倍长BA至N，以BN和BC为邻边构造平行四边形，为什么这样构图符合题意呢？关键在于而这可由△ABE∽△CME（SAS）得到∠CEM=90°得证；![]()
情形二：过A作l//BC，再以A为中点截MN=BC，得平行四边形BCMN，为什么这样构图符合题意呢？关键在于而这可由△AEM∽△CEB（SAS）得到∠AEM=90°=∠AEB，得证。
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（i）对于AC为对角线的情形，由∠PCA=∠BCA=∠PAC知△PAC为等腰三角形，故过P作PG⊥AC于G，只需求出EG和PG的长，则在Rt△PGE中利用勾股定理即可求得PE的长：![]()
EG=EC-CG=12-9=3
在RtPGC中，由CG=9和cosC=cos∠BCE=12/13可解得
PG=15/4
PE=3sqrt(41)/4.
(39/4)^2-PE^2=6×12
PE=3sqrt(41)/4.
（ii）对于BE为对角线一部分的情形一，类比以上可构造出等腰△PCK，可得Rt△PAE.![]()
由PA=18/12×5=15/2，AE=6，利用勾股定理可得
PE=3sqrt(41)/2.
法二：可证P为MN中点（AB/CM=BE/ME=1:2→ME=2BE，又BE=B'E→MB'=B'E=BE→MP/BC=MB'/BB'=1:2）
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从而MP=0.5BC=13/2，ME=10，又cos∠PME=cos∠CBE=5/13，在△PME中应用余弦定理可解PE（只是运算量稍大）.![]()
由于ME=0.5BE＜BE，故∠MCA＜∠B'CA，射线CB'与边MN无交点，不合题意，故舍去。综上，PE=3sqrt(41)/4或3sqrt(41)/2.
