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①文中广告，跳过即可，希望不会影响到大家阅读哈~~
②最好使用平板电脑阅读，效果较佳；
③本文中的教学设计目标定位培尖层次。
期末统测成绩出来了，总体跟我的预期差不多吧，前两名的陈同学和钟同学，由于实力过于强悍（当然也与我对他们的辅导分不开![]()
），这次发挥稳定，取得119和118的高分，实在是可喜可贺！
119差一分我就是满分状元之师啦，貌似状元之师总跟我擦肩而过，2017有个学生中考出来见到我跟我说压轴题都做出来了，我心想这次满分应该八九不离十了吧，谁知道最后放榜差那么几分，2022有个实力也过于强悍，我也心想只要正常发挥，应该没有题可以难住这家伙吧，最后还是没有满分，不过人家最后考去了华附，成绩也很优秀。反正努力了就行，有没有满分状元不重要，重要的是我怎么如此的优秀，瞧——2024广东中考数学第22题几何存在性问题的的解与教，截止现在阅读5669，点赞35，转发596，在线看13，留言14，想不到我随手写的一篇教学记录竟广为流传，哈哈~~这说明把数学思维的方式、方法极力地还原并呈现给学生，而不是读答案，照本宣科，受到了大家的欢迎和认可，这将激励着我继续前行，哈哈~~![]()
今天跟大家分享一下我对今年河北中考的第25题的理解。
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2024河北中考数学第25题（如上），难度相当大，记得我第一次做这个题的时候，绞尽脑汁琢磨动点轨迹，但最终无功而返，只得另行其道，今天就该题从“怎么解”和“怎么教”两方面简要说一下我的想法，不当之处望大家批评指正。（1）关键求圆心角∠AOB，故连AO、BO，如下图：
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△ABO为等边三角形
∠O=60°
m(mersure)弧AN=m弧AB=(1/6)π6=π.
（2）构造点B到OA距离BG，过O作OH⊥MN于H，如下图：![]()
四边形BGOB为矩形
BG=OH
在Rt△OHN中，应用垂径定理和勾股定理，易得弦心距![]()
要求x，即BN的长，关键是求BH，由矩形对边相等，可转化为求OG：
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OG=OA-AG=3-√5
BN=BH+HN=OG+HN=(3-√5)+√5=3.
（3）①依题意，AC必过圆心O，过O作OK⊥于K，作图如下：
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△OKC∽△ABC
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我把我的解法方法告诉我的同事时，她有点惊讶，说最后一问参考答案给的是构造一线三直角模型进行求解，我看了反而有点懵，反正我是想不到构造这样的模型来解答的，我个人认为我的思路是比较自然的，但需要有一定的技巧，教学上如何引导学生呢，且听我慢慢道来哈（以下为教学过程中的简要过程）~~
我：同学们，今年河北中考考了一道在圆中求弦心距最值的几何问题，这类问题我们接触得比较少，大家先做一做，等下我们一起来分析。巡堂的过程中，发现大部分同学前两问都做得比较好，主要卡在了第（3）问。我：同学们，前两问大家都做得不错，哪位同学先来跟我们分享一下第（1）问的解答？生：老师，我来！连接AO、BO，得到的△AOB为等边三角形，所以∠O=60°，根据弧长公式，可得……生：因为这样就有了圆心角，求出圆心角的度数以后，就知道了弧长占周长的比例。
我：回答得非常好！那大家知道为什么这一问不求劣弧AM的长吗？学生想了一会儿后，回答道：因为∠AOM不是特殊角！我：对，初中求弧长的问题，弧所对的圆心角往往是特殊角，所以要看它所在的三角形有什么特殊性。现在我们来看第（2）问，大家觉得解答这个问题首先要干什么？
于是，我按学生要求画出如下示意图（过B作BG⊥OA于G）：
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我：同学们，BG所在的Rt△ABG中，仅已知AB=3，无法利用勾股定理求BG？怎么办？哪位同学来说一说！
生：因为平行线之间的距离处处相等，所以将BG挪到OH！我：那你为什么偏偏挪到OH，不挪到其它任何一个位置？
生：因为这个位置比较特殊，是弦心距，会产生“金三角”（注：这是半径、半弦、弦心距构成的Rt△的简称），可以利用垂径定理和勾股定理来求解！我：那下面我们就随便构造一个“金三角”来计算吧，连接ON（如下图）. 哪位同学来说一下求解的过程？![]()
生：由垂径定理知HN=0.5MN=√5，又半径ON=3，所以在Rt△OHN中，由勾股定理可得OH=2.我：很棒！所以点B到OA的距离是2，还有一个x的值要求，即求BN的长，大家有什么想法？生：我是这么做的：在Rt△ABG中，AB=3，BG=OH=2，利用勾股定理算出AG=√5，所以OG=OA-AG=3-√5，所以BH=OG=3-√5.
我：回答得很好，所以BN=BH+HN=(3-√5)+√5=3.
教学至此，我发现了“新大陆”，BN竟然与AO相等！因此，我继续延伸开来。
我：同学们，BN=3这个数据，大家有没有发现它的特殊性呀？我：OA对吧！由此，可以联想到该图中必产生什么特殊图形？我：很好！那么我们能否通过证明四边形ABNO为平行四边形来说明BN=3呢？大家思考一会儿！![]()
学生***展示自己的思路：已有BN//OA，目标是证明平行四边形，由BN=OA=3是未知结果，所以不能考虑一组对边平行且相等的判定，我是想考虑证明AB//ON，但是目前只有AB=ON=3这个数量关系，平行的位置关系暂时还没想到破解的办法。
我：***思路很清晰呀，掌声鼓励！大家先回忆一下常见判定两线平行的方法有什么？我：对！从BN//OA出发，我们可以得到∠A=∠ABM，若要AB//ON，必需具备什么条件？我：其实也可以避开全等，大家看大佬的，sinA=2/3=sinN→∠A=∠N！用三角形函数实现了边角跨越！我继续补充道：求角困难要看边！好了，现在我们来看大家都做得比较吃力的第（3）问，先来看①问，解题的第一步是画图吧，哪位同学来展示一下你的“作品”，并简要说明画图思路。![]()
我追问道：为什么呀？很多同学就没有发现AC必过圆心，所以就只能干巴巴瞎着急了！我补充道：***的几何直觉很好，但理由的表述还不够准确，我把她刚刚的意思重新表述一下，大家看对不对——看下图，我们知道过切点的半径垂直于切线，即OA⊥l，再看题干条件，“过A的切线与AC垂直”，说明AC⊥l，因此我们可以得到A、O、C三点共线，则AC必过圆心O！大家知道背后的原理是什么吗？![]()
学生异口同声的喊出：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直！我：面对几何问题，大家一定要大胆猜想，小心求证！好了，现在图形出来了，大家会求O到BC的距离d了吗？
学生基本都能构造相似三角形来计算d的长度，详见第一部分“怎么解”中的过程，此处略去。
我：现在大家来看最后一问，大家都束手无策了哈，别着急，耐心一点，其实这个题很简单，只需要灵活转化+一点点技巧。我们先来看下面这个图（作出d→OK）：
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生：因为BC的位置会变化，所以OK的长度也会变化，因此可能存在最值。我：很好，这点大家都懂，按我们之前解决动点、动线段等几何动态问题的常规思路，应该先重点关注什么？
我：很好，大家时间允许的情况下不妨多画几个K点出来探究，你将会发现K的轨迹既不是线型，又不是圆弧型，而是一条不规则的曲线，老师用几何画板给大家演示一遍，如下图示：![]()
学生捶桌，喊道：“哎呀！被骗了！凉拌！炒鸡蛋！”![]()
我：淡定、淡定、请淡定！既然难以发现并利用K的轨迹来解答问题，那么这个时候我们就要学会变通，把OK转化为其它线段来表示。大家看看有什么方案？学生各抒己见：连OB，则OK=sqrt(OB^2-BK^2)；连OC，则OK=sqrt(OC^2-CK^2)……
我：大家都找到了OK所在的几何“背景”，很好，但是大家来看这两种方案，还是有一定区别的：OK转化为OB和BK来表示，起码B点的运动轨迹我们是清晰的，但如果OK转化为OC和CK来表示，我们对C点的轨迹一无所知，所以相比之下，我们优先采用第一种方案来尝试分析。大家现在思考一个问题：当B点从N→M移动时，OB和BK的大小是如何变化的？生：OB先变小，再变大，但BK不太确定，应该是也是先变小再变大吧。我：对，OB的变化规律是显然的，关键是BK，但退一步讲，即便OB和BK两线段先变小再变大，也难以说明OK的变化规律吧！特别是BK这条线段，既然不好判断，能不能把它替换掉？学生专注地思考着，没有什么方向，于是我再提示道：记不记得我在第（2）问的时候提到过“求角困难要看边”，反过来，“求边困难要看角”！
学生恍然大悟：OK=OB×sin∠OBK！
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我继续乘胜追击，问道：那么∠OBK的大小随B的移动（N→M）而发生怎样的变化？为什么？
我补充道：这里需要用一点点技巧，连OA之后（如下图），大家看△AOB是什么三角形？∠OBK还可以怎么转化？![]()
生：△AOB为等腰三角形！∠OBK=0.5∠OAB！我：对！非常好，现在大家可以判断∠OBK随B的移动（N→M）而发生怎样的变化了吧？
我：行，既然如此，那么显然，当OB最小时（此时OB⊥MN，B与H重合），sin∠OBK的值也是最小的，因此OK的值也取得了最小！如下图示：![]()
则OKmin=OH×sin(0.5∠OAB)=2×1/3=2/3.
以上就是我针对此题的解与教。时间仓促，以上内容难免有误，欢迎批评指正！
