什么样的教学才是真正的以生为本——以直线截抛物线的弦长公式的教学设计为例（2）

文摘 2024-07-28 16:44 广东

今天分享上次在《什么样的教学才是真正的以生为本——以直线截抛物线的弦长公式的教学设计为例》中提到的过教学设计。

我的教学设计以及教学意图如下：

首先，从一道简单的例题出发：

例1 求抛物线y=2x^2+6x+1与x轴相交两点之间的距离.

此例都是常数，绝大部分学生都是令y=0，求出与x轴两交点的横坐标，再作差求出它们之间的距离，根的不特殊性恰好可引导学生观察、发现根的“同项”部分互相抵消；

只有极个别学生从两点距离公式|x1-x2|出发，构造两根和、积结构，利用韦达定理求解两点之间的距离，课堂上可以让学生分享展示自己的解法，树立自信。假如没有学生从这个角度来解决问题，那么教师就要自己介绍这种典型做法。

教师要点评两种解法的优劣：法一属直接法，求交点坐标，容易想但往往计算的结果较为复杂，运算量可能会比较大；法二属间接法，先假设与x轴交点的横坐标为x1和x2，把两点之间的距离|x1-x2|表达出来，再设法转化，从整体角度求解，即设而不求，技巧性较高，思维量较大，但运算量往往比较小。

其次，出示变式1：已知抛物线y=2x^2+6x+c与x轴相交两点之间的距离为2，求c的值.

上题是给定抛物线，求抛物线截x轴的弦长，此题恰好相反，给定抛物线截x轴的弦长，求抛物线（参数c的值），目的是让学生模仿上题的两种解法进行解答。

教学过程中，要注意引导学生思考：（一）什么情况下抛物线与x轴有两个交点？（二）用直接法进行求解，哪个根较大？为什么？

第三，有了前面的简单示例以及变式应用，学生初步地掌握了算这样的“距离”的方法，那么现在就推广到一般的情形，尝试用一般的公式来表示这样的“距离”：

变式2：若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长.

让学生自主推导，化繁为简，最后提炼出抛物线截横轴的弦长公式——

AB=√△/|a|

随堂练习可挑战一道改编题，改编自2024广州中考数学压轴题——

参考答案：a=1，k=2√2.

至此，教师可再针对公式AB=√△/|a|画示意图进行说明，进一步引出将横轴变为一条斜线的更一般性的问题，教学设计依旧遵循从具体到一般。

例2 已知抛物线y=x^2与直线y=x+4相交于A、B两点，求线段AB的长.

学生常见的思路是联立方程组，求出交点的坐标，再构造Rt△，利用勾股定理求出斜边长，但是计算量比较大！如何降低运算量？转化思想登场：能否将斜线段AB转化为平线段AC？斜→直（摆平），自然构造的Rt△ACB（如下图），不难发现该三角形恰为等腰Rt△，故而AB=√2|x1-x2|，后续求解的方法可类比“例1”。

由此，是否可以猜测斜线段AB的长是在平线段AC的长的基础上打了一个“折扣”？更确切地说，BC与AC存在什么数量关系，√2又是怎么来的？学生可以大胆猜测！

进而将“例2”推广到一般情形：

变式：若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与直线y=kx+m相交于A、B两点，求线段AB的长.

最后，随堂练习可挑战一道改编题，改编自2022广州中考数学第24题——

参考答案：（1）y=-x+7；（2）所截线段长为√2/2.

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1MzE2MTU0NQ==&mid=2651329474&idx=1&sn=95c23d8d54d1a5284d0d06db3120aeb0

大佬说数学

初中数学老师，曾被聘广州某区中心组成员，擅长命题、解题、讲课……记录、分享教学的点滴思考，立足广州、放眼全国，哈哈~~

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