美国印第安纳大学视光学院的研究团队发表在美国光学学会期刊的一份文献
摘要
我们的目的是开发一种计算方法，以共同评估刺激亮度和小瞳孔对视觉质量的影响。我们比较了传统的图像质量光学测量方法与那些纳入视网膜照度依赖性神经对比敏感度影响的方法。对于一种老花眼模型眼，在瞳孔直径从7毫米变化到1毫米、刺激亮度从2000cd/m²变化到0.1cd/m²，以及离焦从0变化到-2屈光度的情况下，计算了视觉加权图像质量。该模型包含了量子波动对神经对比敏感度的影响。我们通过测量5周/度的光栅的对比敏感度来测试模型的预测，即5 cyc/deg。与传统斯特雷尔比率和视觉加权调制传递函数下的面积不同，从光学传递函数导出的视觉斯特雷尔比率能够捕捉光学和量子噪声对视觉质量的联合影响。在一个聚焦良好的眼睛中，如果视网膜照度随着瞳孔大小的变化而保持恒定，视觉图像质量大约会随着照度的平方根变化，因为量子波动，但最佳瞳孔大小本质上独立于视网膜照度和量子波动。相反，当刺激亮度保持恒定（因此照度随瞳孔大小变化）时，随着亮度的降低，最佳瞳孔大小增加，从而部分补偿增加的量子波动。然而，在存在-1屈光度和-2屈光度的离焦以及高光环境下韦伯定律适用的情况下，光学像差和衍射主导图像质量和小瞳孔优化。在观察者观看正弦光栅时也观察到了类似的行为。对于聚焦良好的眼睛，随着刺激亮度的降低，最佳瞳孔大小增加，小瞳孔对改善离焦图像质量的益处在光环境和中间光环境中都存在。然而，将瞳孔限制在小于2毫米会导致在低光环境和中间光环境下最佳聚焦视觉显著降低。
1. 引言
瞳孔大小对视网膜图像质量（IQ）的影响由衍射（因为光学带宽与瞳孔直径成正比）和由光学像差产生的模糊共同调节。在没有高阶像差的情况下，离焦导致眼睛的点扩散函数（PSF）的直径与瞳孔直径直接成比例，适用于单色光和复色光。由于高阶单色像差，PSF的进一步恶化也随着瞳孔大小的增加而增加，这种效果在具有较高单色像差的眼中更加明显。因此，随着瞳孔大小的增加，视网膜对比度由于衍射带宽的增加而增加，但由于像差导致的视网膜图像模糊，对比度降低。这种权衡使得在2到3毫米的瞳孔直径下，获得最佳的昼光视觉敏锐度和IQ。
在考虑视觉加权IQ时，还有一个额外的因素，即量子波动，它影响着当视网膜照度下降时衍射和像差模糊之间的权衡。在低于高昼光水平（低于1000特兰兹（td））的所有光照水平下，降低的视网膜照度降低了神经对比度敏感性（CS），这主要是由于量子波动对信噪比（SNR）的影响。光子噪声对对比度检测的影响被称为德·弗里斯-罗斯定律或平方根定律。在德·弗里斯-罗斯范围内，增加瞳孔大小将有益于通过增加视网膜照度来提高检测对比度的SNR。因此，量子波动将瞳孔扩张时提高和降低视觉质量的因素之间的权衡转向更大的瞳孔，最佳瞳孔直径从昼光水平下的小于3毫米增加到中光水平下的约6毫米。
考虑到这些影响不同环境照度下最佳瞳孔大小的多个因素，一个简单的问题出现了。光子噪声增加的影响是否会超过小瞳孔提供的视网膜图像对比度提高的有益效果？由于针对老花眼的手术治疗（将直径为1.6毫米的小型人工瞳孔植入角膜）最近变得越来越相关，这个问题变得更加重要，这种小型瞳孔在低光水平下可能对视觉产生不利影响。
为了探讨上述问题的框架，本报告在传统光学模型的基础上构建，这些模型捕捉了衍射和像差相结合的光学效应，这两种效应都与瞳孔大小有关。这些模型通过添加人类视觉的神经效应（例如，通过计算神经加权图像质量[IQ]）而变得具有视觉相关性。通常，视觉加权光学建模采用某种神经对比度阈值的度量，但它并不显式地包括视网膜照度的效应。本文通过使神经对比度敏感度函数（CSF）显式依赖于视网膜照度来解决这一缺陷。通过这种方法，我们能够研究瞳孔大小在光线水平变化时对视觉加权IQ指标的影响。
衍射、像差和光子噪声效应之间的权衡可以用两种方式来表述，这两种方式给出了看似不同但相互一致的对瞳孔大小重要性的印象。一种表述是在刺激亮度保持不变的情况下，随着瞳孔大小的变化而产生的权衡，这是大多数实际应用的自然情况。我们的分析将显示，在这种情况下，最佳瞳孔大小随着刺激亮度的降低而增加。第二种表述是在瞳孔大小变化时保持视网膜照度不变，这种方法提供了对潜在机制的更深入洞察。我们的分析将显示，在这些条件下，最佳瞳孔大小与视网膜照度无关。
2. 方法
A. 计算方法
1. 光学模型
我们使用MATLAB R2014b（www.mathworks.com）编写的光学模型量化了瞳孔大小和光线水平对IQ的影响，该模型使用波动光学（WO）理论从瞳孔函数的振幅和相位计算光学点扩散函数（PSF）和光学传递函数（OTF）。为了揭示衍射+干涉的WO效应，结果与仅包括像差效应的几何光学（GO）的类似计算进行了比较。研究的瞳孔大小范围（1-7毫米）涵盖了大多数生理范围。相位函数（即波前误差）包括从第二阶到第六阶的Zernike多项式，代表了老花眼。模型的个别系数是从年轻成人群体平均系数绝对值导出的，这些系数根据报告的年龄对高阶像差的影响进行了放大。多色计算采用了22个可见波长，纵向色差（LCA）以0.1 D的增量变化，LCA设置为适应印第安纳色觉眼模型定义的平均成人眼。对于等能量白光光谱，多色OTF（OTFpoly）和调制传递函数（MTFpoly）计算为多色PSF的傅里叶变换，该PSF是22个单色PSF的亮度加权总和。横向色差（TCA）设置为零。
为了模拟不同的瞳孔大小，表1中的Zernike系数通过Schwiegerling的方法进行了缩放。为了模拟非调节性远视矫正眼睛的目标距离效应，我们通过将离焦水平从-3D到+1D（增量0.1D）纳入相位函数，进行了全程焦点分析。零离焦定义为在无像差模型中，产生参考光源波长（589纳米）峰值成像质量（IQ）的目标聚散度。负离焦意味着眼睛的屈光力不足（即目标比老花眼远点更近）。
表1：我们的模型中使用的7毫米瞳孔的第三至第六阶Zernike像差系数（ANSI标准约定）
行和列分别代表不同的径向阶数（n）和子午频率（m）。
2. IQ指标计算
对于最佳聚焦眼睛的多色点扩散函数（PSF）的质量，在空间频率（SF）域通过三个指标进行了量化。第一个指标是从多色光学传递函数（OTF）确定的视觉Strehl比率（VSOTF），其方式与单色定义类似。
公式1
但是有一个修改：分母中的参考光学传递函数（OTFref）是针对固定的瞳孔直径（3毫米）计算的，并且该度量标准整合了由瞳孔直径决定的衍射极限。这个修改使得VSOTF成为了一个相对于固定标准（分母）的无单位维度的图像质量（分子）的绝对度量。分母中的单色参考光学传递函数来自于衍射极限的眼睛（图2和图8）或典型的有像差眼睛（图3至图7），瞳孔直径为3毫米。在所有情况下，参考光学传递函数都是由WO计算的，以便能够直接定量比较有衍射和无衍射情况下的VSOTF。
图1：不同视网膜照度（0.9、9、90、500、900和9000 td）下的神经调制传递函数（CSF）。注意900和9000 td是重叠的。
图 2：VSOTF 作为瞳孔直径的函数绘制，分别对应几何光学（红色实心符号）和WO（黑色空心符号），在固定的视网膜照度900 td（A）和0.9 td（B）下，对于四种光学场景：衍射极限光学（圆圈），仅单色像差（正方形），仅色差（三角形），以及同时存在单色和色差（菱形）。VSOTF 的值是针对最佳聚焦眼睛，以单色衍射极限3 mm 瞳孔情况为基准进行归一化处理。
图3： VSOTF作为瞳孔直径（单位：毫米）的函数绘制，针对三个固定的亮度水平：2000（黑色空心圆圈）、10（黑色空心正方形）和1 cd/m²（黑色空心三角形）。为了进行比较，我们还绘制了在固定的视网膜照度水平0.9 td下的VSOTF（红色粗线），SROTF则以蓝色实心正方形表示。
图 4：为我们的老花眼模型绘制了一系列瞳孔直径（1至7毫米）下的多色区域调制传递函数（MTF）（A）和（B）以及视觉系统光学传递函数（VSOTF）（C）和（D）的样本调焦曲线。这些曲线分别对应高亮度（1000 cd/m²，（A）和（C））和低亮度（0.1 cd/m²，（B）和（D））条件。绝对度量值以7068 td（1000 cd/m²）下3毫米瞳孔产生的最佳多色图像质量为基准进行了归一化，得到的归一化系数为22.97（区域MTF）和900.51（VSOTF）。
图5：显示了瞳孔大小对VSOTF视网膜成像质量的影响，该影响针对三个离焦水平（0、-1D和-2D，分别用黑色、蓝色和红色表示）和三个亮度水平[1000 (A)、20 (B)和0.1 (C) cd/m²]进行了绘制。
图6：多色VSOTF作为视网膜照度（以特兰德为单位）的函数绘制，显示了三种离焦水平：0 D（A）；-1 D（B）；和-2 D（C）。通过使用五种刺激亮度（1000、100、10、1、0.1 cd/m²），调整视网膜照度，为每个离焦水平产生了五组数据。此外，通过改变瞳孔大小（1、1.2、1.6、2、3、4、5、6和7毫米），也改变了视网膜照度，这产生了由线连接的九个数据点的集合。红色实线斜率为+0.5，黑色虚线斜率为0，分别代表光子噪声斜率预测和韦伯定律预测。每组最右侧的数据点对应7毫米瞳孔，最左侧的数据点对应1毫米瞳孔。VSOTF等于1.0是对于通过最佳（3毫米）瞳孔形成的高视网膜照度（7068 td）的清晰视网膜图像的最大预期值。斜率=0.5的实线是通过眼睛拟合到每组数据中最左上方的符号。这条参考线既作为数据的包络线，同时指示了在de Vries-Rose域中VSOTF的预期行为，在该域中光子噪声导致对比度敏感度与视网膜照度的平方根成正比。这两条参考线的交点位于视网膜照度为500 td，这与文献中报道的从韦伯定律到de Vries-Rose定律的转变照度（介于90和900 td之间）相呼应。
图7：在5 cpd下的NVC（A）和CS（B和C）作为视网膜照度函数绘制，针对聚焦（黑色正方形）和-2D离焦（红色三角形）的格栅刺激，在三个照度水平（0.2, 20, 2000 cd/m²）下，对于一系列瞳孔直径（具体瞳孔大小见正文）进行展示，数据点集通过线条连接。两条斜率分别为+0.5和0的线分别代表光子噪声和韦伯法则的预测。在（A）中的每个组内的视网膜照度水平范围依次反映了10个不同的瞳孔大小（1, 1.2, 1.6, 2, 2.6, 3, 4, 5, 6和7毫米），而在（B）中的第一个受试者和（C）中的第二个受试者分别是8个瞳孔大小（1, 1.3, 1.6, 2, 2.5, 3, 4, 和6毫米）和9个瞳孔大小（1, 1.3, 1.6, 2, 2.5, 3, 4, 6, 和7毫米）。在（A）中的模型模拟具有7毫米瞳孔的+0.6微米球面像差，这接近我们两个老花眼受试者的SA。
图 8：视网膜照度对三种光学模型视网膜 IQ 指标 VSOTF 的影响。虚线参考线的斜率为 0.5（瞳孔直径 = 3 毫米）。
在等式(1)中，NCSFL表示针对视网膜照度L（以特兰德为单位）的径向对称神经对比敏感度函数（neural CSF），OTFPoly是针对某特定瞳孔大小的像差眼睛的多色光学传递函数（OTF），NCSF7KTD表示7000 td下的神经对比敏感度函数。VSOTF指标与高对比度目标下的黄斑视力敏锐度高度相关，并且它强调了高空间频率（SFs），因为在等式(1)中的元素面积dfxdfy等于空间频率步长元素的平方。
图像质量（IQ）的第二项指标是面积调制传递函数（area MTF），定义为径向平均MTFpoly（多色调制传递函数）与神经阈值（NT）（即神经对比敏感度函数的倒数）之间的面积。
公式2
其中ρ是径向斯特雷尔比（SF）。这个度量标准强调低斯特雷尔比的原因有两个。首先，积分是在一维斯特雷尔比频谱上进行的，直到视敏度截止点，因此基本步长是一个线性距离，而不是面积。其次，神经加权被表述为差值，而不是像公式 (1) 中的乘积。在这里，参考值再次设定为固定的3毫米直径瞳孔，并且神经对比度阈值是在高光照水平下观察到的。
第三个度量标准是SROTF，即从多色光学传递函数（OTF）计算的传统斯特雷尔比。
公式3
这个指标被包含在内是因为它使用了与VSOTF相同的 光学组件，但是没有通过神经CS进行加权。与VSOTF一样，这个指标在由瞳孔直径设定的衍射极限内进行积分。当亮度和瞳孔大小变化时，VSOTF和SROTF之间的差异因此归因于由量子波动引起的神经CS的变化。这些图像质量指标的更多细节在其他地方有描述。
为了便于与使用单频光栅（而不是连续光谱）以及可变方向的心理学实验进行直接比较，我们对公式(1)进行了修改，以产生针对单个空间频率SFf的归一化视觉对比度（NVC）度量，定义为：
公式4
3. 神经CSF（对比敏感度函数）
坎贝尔和格林在1965年研究中发表的神经常规阈值曲线，是在视网膜照度为500 td时获得的，广泛应用于视觉视网膜成像度量计算中。然而，当光照水平从500 td降低或升高时，由于量子波动，神经对比阈值会增加或减少，这一点通过范内斯和布曼的心理学实验以及班克斯等人和罗瓦莫等人对正弦光栅的计算机模拟得到了证实。因此，我们的模型通过使NTL
依赖于视网膜照度，纳入了光子噪声效应。从对光级敏感的改进型全眼模型中提取了神经对比阈值函数。第一步是去除模型的光学部分，通过将模型的对比阈值乘以模型的光学MTF（调制传递函数）。然后，我们将500 td下预测的神经CSF（对比敏感度函数）调整到与坎贝尔和格林报告的实验观察到的神经CSF相匹配。如图1所示的神经CSF，确认了模型在最高光照水平和最低空间频率下遵循韦伯定律。该模型还在所有较低光照水平和除最低空间频率外的所有频率下展现出平方根定律行为（曲线随照度的平方根垂直移动），这与人类视觉相符。
B. 心理物理学CS（对比敏感度）测试
心理物理学光栅CS与光学图像对比度成正比，并且当光子噪声决定灵敏度时，与视网膜照度的平方根成正比，因此提供了一种直接评估光学和神经因素对人类视觉综合影响的方法。在现实世界中，小瞳孔会影响光学质量（减少像差，增加衍射）和NTs（由于视网膜照度降低，增加光子噪声效应）。我们同时检查了瞳孔大小变化对这两个效果的影响，通过保持固定的刺激亮度，而不是更常见的通过保持视网膜照度固定来隔离瞳孔大小变化的光学效果，或者通过保持瞳孔大小固定来隔离神经变化的效果。
我们在控制瞳孔大小和亮度水平的情况下，使用每度五个周期（cpd）的光栅进行了心理物理学CS测试。这个中等空间频率（5 cpd）的刺激被选用来展示光子噪声、离焦和像差的综合效果。由于在低光照水平下和/或在显著离焦时不可见，没有用更高的空间频率进行CS测试。自由软件（FrACT）CS测试[40]在iMac（苹果公司，库比蒂诺，加利福尼亚州）上运行，将正弦光栅刺激显示在背投屏幕上，使用DELL数字光投影仪。通过简单地离焦投影仪，将5 cpd的光栅对比度降低到原来的0.1倍，这会以相同的因子降低所有显示的5 cpd对比度。所有光度校准都是使用Photo Research 0.25度点光度计进行的，该光度计聚焦于采样光栅刺激1毫米直径的区域。光学衰减的选择是为了显示低至0.10%的5 cpd对比度，从而使用8位D/A投影仪测量低于1%的人类对比阈值（实际对比阈值是0.1×0.1×FrACT报告的阈值）。显示亮度通过FrACT程序提供的工具进行了线性化和空间频率校准。对比阈值通过三个重复的18次试验四选一强制选择QUEST阶梯法确定。
CS在0.2、20和2000 cd/m^2的照度下进行了测量，以代表通常遇到的环境光照水平。瞳孔大小通过八个人工瞳孔（1、1.3、1.6、2、2.5、3、4和6毫米）控制，这些人工瞳孔通过包含两个望远镜的光学系统投射到瞳孔平面，每个望远镜都具有单位放大倍数。通过向距离矫正中添加试验镜片，以随机顺序测试了两个离焦水平（0 D和-2 D），这些离焦水平是通过同一望远镜将距离矫正成像到瞳孔平面中体验到的。这两个离焦水平是经过距离矫正的老花眼患者在观看远距离和50厘米刺激时体验到的。离焦是在高光照明条件下，通过白光和自然瞳孔获得的最佳距离矫正基础上添加的。在实验开始之前，受试者至少在暗适应25分钟，然后按照升序排列光照水平和人工瞳孔，以确保视网膜在实验过程中逐渐适应光照。
我们测试了两位没有眼部或系统性疾病且缺乏调节能力（年龄超过50岁）的受试者。我们还使用了一个开放视场自动验光仪（Grand Seiko，日本）[43]来确认每位受试者在注视近距离目标时没有可测量的调节（即屈光不正没有可观察到的变化）。通过COAS波前仪测量的眼部球面像差（C04在微米中），在受试者#1和#2的眼中分别为+0.5和+0.6微米。为了达到本研究所需的长期瞳孔扩张效果，使用了2.5%的苯肾上腺素和1%的托吡卡胺的初始滴眼液。在实验过程中，检查了瞳孔大小，如果接近7毫米，则添加一滴1%的托吡卡胺。实验方案得到了印第安纳大学机构审查委员会的批准，遵守了《赫尔辛基宣言》的原则，并要求每位受试者提供知情同意。
3. 结果
A. 作为视网膜照度函数的最佳瞳孔
通过评估在固定的视网膜照度水平下的视觉IQ，研究了瞳孔大小变化时衍射和像差之间的影响权衡，没有包括瞳孔大小对光子噪声的影响。通过比较无像差模型，或者包含单色像差、色散像差，或者同时包含单色和复色像差的模型，评估了像差的作用。为了孤立像差和衍射的作用，将WO计算与GO光线追踪模型（图2）进行了比较。在这些计算实验中，神经CS不随瞳孔大小变化，因为视网膜照度保持在900[图2(A)]或0.9 td[图2(B)]。
图2通过GO（红色实心圆圈）和WO（黑色空心圆圈）计算的无像差配置的VSOTF值之间的差距，图形化地显示了衍射和干涉对视网膜IQ的影响。对于WO解，当衍射效果减弱时，瞳孔直径从1增加到2毫米会显著增加VSOTF，但瞳孔直径的进一步增加只会提供更小的增加，因为较大瞳孔带来的带宽增加主要有利于视觉极限之外的SFs。对于无像差模型，当WO解渐近地接近GO解时，衍射效应在最大瞳孔尺寸下被有效地消除。
当典型的单色像差水平存在时，对于GO解决方案（红色实心方形），VSOTF随瞳孔直径线性下降，因此最小的瞳孔也是最佳瞳孔。然而，WO解决方案（黑色空心方形）表明，存在一个最佳瞳孔直径约为3毫米，这是由于折衷产生的：较小的瞳孔产生衍射惩罚，而较大的瞳孔产生像差惩罚。有趣的是，当瞳孔较大时，WO解决方案的VSOTF值超过了GO解决方案。这个结果提出了这样的可能性，在某些情况下，衍射加上干涉可能部分保护眼睛免受像差引起的图像退化影响。
在其他像差不存在的情况下，色差对眼睛的影响（三角形）与上述单色像差的影响相似，同样导致最佳瞳孔直径约为3毫米。对于较大的瞳孔，仅存在色差时，视觉质量（IQ）略高于仅存在单色像差时，而当两种像差都包含在模型中时，视觉质量更差，这与实验证据[2]一致。当两种像差都存在时，最佳瞳孔直径从3毫米减少到大约2毫米。
上述所有观察和结论适用于高[图2(A)]和低[图2(B)]视网膜照度水平，尽管图2(A)和2(B)的纵坐标刻度非常不同。因此，我们可以得出结论，量子波动随着照度的降低，显著降低了固定瞳孔大小的视觉质量，大约与照度比值的平方根成比例（即，图2中的√1000）。这个结果在数学上是预期的，因为根据Rovamo模型，在大部分空间频率谱中，神经对比度敏感度（CS）与照度的平方根成正比（图1）。因此，我们得出结论，只要视网膜照度随瞳孔大小的变化保持恒定，最佳直径基本上独立于视网膜照度，并且对于我们的老花眼模型保持在2到3毫米之间。从机制上讲，这意味着优化中等大小瞳孔的WO现象（衍射和干涉）与GO现象（光学像差）之间的折衷，在很大程度上独立于量子波动，尽管神经CS随光线水平剧烈变化。
B. 作为刺激亮度函数的最佳瞳孔
上述结果适用于实验室环境，其中实验者调整目标亮度，以使瞳孔大小变化时视网膜照度保持恒定。在实验室之外，瞳孔大小变化时亮度通常是固定的，视网膜照度与瞳孔直径的平方成正比。因此，每个瞳孔大小下的视觉质量与不同光线水平下的神经对比度阈值函数相关，这些光线水平由平方根定律决定神经CSF。这种范式变化的影响如图3所示，该图比较了恒定亮度（1 cd/m2）和恒定照度（0.9 td）下的VSOTF。对于1.5毫米瞳孔直径，这两种条件下的视网膜照度相同，因此VSOTF相同，两条曲线相交。随着瞳孔大小的增加，固定亮度条件下视网膜照度的增加导致神经CS升高，因此VSOTF增加，尽管由于像差导致图像对比度衰减更大。对于非常小的瞳孔，与视网膜照度降低相关的神经CSF降低，加剧了衍射的负面影响，导致固定亮度条件下VSOTF的更大下降。最终结果是，在这个例子中，最佳瞳孔直径从2毫米加倍到4毫米。
图3还将视觉质量指标VSOTF与纯光学指标SROTF进行了比较，以说明量子波动的有害影响。在最高亮度（2000 cd/m2）下，韦伯定律将适用于所有瞳孔直径，因此神经CSF不会随瞳孔直径变化。因此，VSOTF和SROTF之间的差异反映了神经加权在没有变化的量子波动影响下的效果。对于小瞳孔，神经加权保护了因衍射导致的IQ损失，而对于大瞳孔，神经加权保护了因像差导致的IQ损失。SROTF指标更容易受到小瞳孔的衍射和大瞳孔的像差的影响，因为它包含了不可见的、非常高的空间频率。
随着刺激亮度从2000降至10 cd/m2，由于量子波动引起的神经对比度(CS)降低，视觉系统调制传递函数(VSOTF)下降。VSOTF在瞳孔较小时比瞳孔较大时下降更多，这是由于小瞳孔导致的视网膜照度降低。例如，当亮度从2000降至10 cd/m2时，1毫米瞳孔的VSOTF下降0.82对数单位，而3毫米瞳孔的下降仅为0.45对数单位，7毫米瞳孔的下降小于0.1对数单位。当刺激亮度从10进一步降至1 cd/m2时，VSOTF在所有瞳孔大小下都减少了大约相同的值(0.5对数单位)，这预示着在整个神经CSF中，对于10和1 cd/m2下的所有瞳孔直径，光子噪声都是限制因素。
C. 高亮度和低亮度下离焦对最佳瞳孔大小的影响
上述结果是在最佳聚焦条件下得出的，这是通过计算一系列离焦值的图像质量(IQ)来确定的，如图4中的两个指标(VSOTF和面积MTF)所示。这些通过焦点的曲线说明了量子波动如何影响瞳孔优化和景深(DoF)。这两个指标都包括人类CS/阈值数据以及OTF或MTF，但它们对低频和高频空间频率(SF)的强调不同(见第2节，方法)。韦伯法则适用于高亮度条件[1000 cd/m2，图4(A)和4(C)]，而在低亮度条件[0.1 cd/m2，图4(B)和4(D)]下，量子波动导致瞳孔大小减少时神经CSF下降。
在没有由于高阶像差(HOAs)引起的模糊的情况下，我们预期对于等能量白光的多色点源，峰值IQ将出现在略微负的目标离焦处，这是由于V-λ曲线中的555纳米峰值(我们的眼睛模型在589纳米处为正视)。我们在小瞳孔(例如，1毫米直径，VSOTF在-0.12D处峰值)的通过焦点曲线中看到了这一点。此外，由于眼睛模型中包含了显著的泽尼克球面像差，内嵌的负r^2项在最佳焦点处引入了小范围的远视位移，随着瞳孔大小的增加而增长。这种行为在图4的所有四个面板中都得到了体现，随着瞳孔大小的增加，曲线峰值的右移，如前所述。这些通过焦点的曲线还确认了小瞳孔提供的景深增加超过了伴随大瞳孔的球面像差(SA)水平升高可能导致的景深扩展。随着瞳孔大小的减小，曲线变得更为平坦，这意味着在较大的离焦范围内几乎保持了最大IQ。然而，随着瞳孔的变小，绝对IQ也下降，对于VSOTF指标和暗光条件下尤其明显[图4(D)]。
将刺激亮度降低4个数量级(从1000降至0.1 cd/m2)，面积MTF的峰值值大约降低了一半，无论瞳孔大小如何[注意图4(A)和4(B)中不同的纵坐标尺度]。相比之下，对于大瞳孔，VSOTF降低了25倍，对于最小瞳孔，几乎降低了60倍。后一个值接近德维里-罗斯平方根定律预期的100倍降低，强调了VSOTF，而不是面积MTF，揭示了低亮度下增加光子噪声效应对CS的影响。这个结果在意料之中，因为VSOTF是由OTF和CSF的乘积计算得出的，因此任何由于光子噪声增加而导致的对比度阈值增加都会成比例地反映在VSOTF中。对于基于MTF和对比度阈值之间线性差异的面积MTF指标来说，情况并非如此。因此，如果光子噪声将某个SF的阈值从0.01增加到0.1，而对于一个MTF为1.0(即低SF)的SF成像，VSOTF的贡献将降低10倍，但这个SF对面积MTF的贡献只会改变100%*[(1-0.01)-(1-0.1)]/(1-0.01)，或者说只改变了9%。此外，由于VSOTF被定义为OTF和神经CSF乘积的两维积分，它将主要由高频SF主导，尽管被积函数相对较低。对于面积MTF来说，情况恰好相反，它计算的是径向平均MTF和神经对比度阈值函数之间差异的一维积分。这个积分对所有SF给予相同的权重，而被积函数对于低SF较大，因此面积MTF指标主要由低SF主导。
图4中的部分数据在图5中重新绘制，以显示在恒定离焦水平下IQ如何随瞳孔大小变化。对于零离焦，随着刺激亮度的降低，最佳瞳孔大小增加。在中等亮度下，4-5毫米瞳孔中存在的像差引起的模糊部分被较高视网膜照度带来的神经CS增加所补偿，导致最佳瞳孔直径在4到5毫米之间。然而，当通过添加-1D的离焦放大图像模糊时，情况则相反。在这种情况下，通过减小瞳孔来减少光学模糊可以改善IQ，尽管小瞳孔的神经CS较低。当离焦增加到-2D时，无论刺激亮度如何，最小瞳孔总是产生更高的视网膜图像视觉质量。
尽管离焦IQ随着瞳孔的变小而继续改善，但在低亮度下的增益小于在高亮度下的观察到的增益。例如，对于1毫米瞳孔，-2D离焦下的VSOTF是7毫米瞳孔在1000、20和0.1 cd/m2下的103.8倍、26.9倍和4.1倍。图5中的三条曲线在1毫米瞳孔处收敛，表明在小瞳孔下离焦对IQ的影响可以忽略不计。小瞳孔在低亮度下的优越性保持不变，这表明小瞳孔增加的景深超过了由于光子噪声和衍射引起的损失。
从前面的叙述中可以得出一个重要的方法结论，即量子波动在确定视觉加权IQ方面起着重要作用。除了在光照水平高，韦伯法则适用的情况下，量子波动的影响由视网膜照度水平决定，而视网膜照度水平又由刺激亮度和瞳孔大小决定。因此，为了揭示视网膜照度对IQ的影响，我们在图6中将VSOTF数据重新绘制为刺激亮度5个对数单位范围内的函数，作为视网膜照度的函数。由线连接的数据组代表单个亮度水平和一系列瞳孔大小。由于德维里-罗斯定律，我们期望在IQ中看到量子波动的特征，表现为平方根定律，正如在CS中一样。这个预期的结果在清晰聚焦的眼睛的VSOTF值中最为清晰[图6(A)]，其中每组数据中的几个数据点(实心符号)位于斜率为+0.5的虚线参考线上。这一系列特殊的点形成了一种类型的“主序”，借用天文学和眼动文献中的术语，在当前背景下，展示了由VSOTF测量的量子限制IQ。除了1000 cd/m2的刺激亮度之外，每个刺激亮度都为这个主序做出了贡献，我们将其解释为光子噪声是我们通常遇到的视网膜照度范围内影响视觉质量的主要因素的证据。对于较小的瞳孔，数据开始略微偏离参考线，我们将其归因于衍射的影响。在每组数据中，对于较大的瞳孔，VSOTF再次下降，我们将其归因于像差引起的额外光学模糊效应。在这种情况下，大瞳孔的像差增加的模糊效应可以克服改善信噪比的益处，导致VSOTF降低，尽管视网膜照度增加。
对于两个最高级别的刺激亮度（100，1000 cd/m2），峰值VSOTF=1，表明视网膜照度超过大约500 td的过渡值后，增加没有好处。这是韦伯定律的标志，由IQ指标VSOTF揭示。在这个韦伯域中，超过最佳值的瞳孔大小增加会产生成本（由于像差）而没有好处（由于增加的视网膜照度），因此由于像差，图像对比度降低，但由于改善了光子信噪比，没有补偿性的好处。
对于−1 D的离焦[图6(B)]，VSOTF值总是低于为聚焦良好的眼睛建立的主序列线[图6(A)]，强调除了量子的波动外，其他因素在确定视觉质量方面起着主要作用，在这种情况下是增加的离焦。这种解释与添加离焦导致平衡点移动，从而产生更小的最佳瞳孔大小的观察结果一致。当离焦增加到−2 D [图6(C)]时，平衡点的移动更为显著。例如，在1000 cd/m2 (+符号在图6中)，VSOTF在瞳孔从3增加到7 mm时，分别以2.6×、4.4×和4.6×的因子降低，对于聚焦和−1 D、−2 D离焦的老花眼模型。
在较低亮度下，当瞳孔直径从3扩大到7 mm时，VSOTF的下降在离焦存在时保持不变，例如，对于聚焦、−1 D和−2 D条件，VSOTF在1 cd/m2下分别下降1.3×、2.2×和3.0×，在0.1 cd/m2下分别下降1.1×、1.7×和2.0×。
D. 模型结果的心理学测试
我们通过测量人类在三个亮度水平、两个离焦水平（0，−2 D）和一系列瞳孔大小下的中等空间频率（5 cyc/deg）的对比度敏感度（CS），测试了从我们的计算模型中得出的结论。两个受试者的结果在图7中作为视网膜照度的函数显示，格式与图6相同。正如预测的那样，对于聚焦良好的眼睛（黑色正方形），我们在第2节方法中通过计算确定的归一化视觉对比度[NVC，方程式（4）]在5 cyc/deg下显示出主序列的点，斜率为0.5，表明量子限制的IQ [图7(A)]。NVC从德弗里斯-罗斯域过渡到韦伯域的视网膜照度较低（200 cd/m2），正如在这个SF下实验所示，并由一个受光子噪声限制的对比度检测的神经模型预测。从这个主序列行为中偏离最明显的是瞳孔>5 mm，其中像差降低了视觉加权图像对比度，尽管视网膜照度增加。在−2 D的离焦存在下（红色符号），NVC数据不符合聚焦眼睛观察到的主序列，而是瞳孔扩张>1.5 mm导致图像对比度显著下降（反映了图6中显示的VSOTF数据）。然而，与VSOTF数据不同，单个SF离焦的NVC数据显示出随着瞳孔大小增加的明显振荡，这反映了眼睛具有正球面像差和负离焦时OTF中的熟悉的对比度反转（即“伪分辨率”）。
在两个受试者的心理物理学CS数据中观察到了类似的结果[图7(B)和7(C)]。例如，随着瞳孔大小和刺激亮度的变化，两个受试者都表现出与模型报告的主要特征相匹配的CS：聚焦CS在低于200 cd/m2时由量子波动主导，但大瞳孔的CS明显低于德弗里斯-罗斯定律预测的；对于高于200 cd/m2的亮度，韦伯定律主导。因此，没有从增加的视网膜照度中获得任何增益，像差的全效应被揭示出来。在−2 D的离焦存在下，所有瞳孔直径>1.5 mm的CS降低，我们再次看到以前报告的熟悉的振荡。模型NVC和实验CS数据之间的定量差异可能反映了像差结构和神经CSF的个体差异。基于文献中的人群平均值进行的模型预测与我们的个体受试者的实验表现合理一致的事实表明，模型预测的主要特征并不强烈依赖于特定像差结构或个体眼睛的神经敏感性。
4. 讨论
人眼的瞳孔大小从在非常高的亮度下经历的最小值约2 mm变化到环境照明降至中等工作水平时的最大值接近8-9 mm。这些瞳孔大小的变化不足以作为有效的增益控制机制（例如，亮度变化10倍时，瞳孔面积仅变化4倍），但相反，它们保持了一个近最佳瞳孔，用于在聚焦良好的眼睛中成像高空间频率。为了清楚地了解照度和瞳孔大小变化时影响视觉质量的底层机制，我们开发了一个基于光学的眼睛模型，包括视网膜照度依赖的神经CSF。与纯粹的光学模型不同，后者与光照水平无关，神经CS 两个在人类视觉中确立的规则主导。在高的光亮水平下（>1000 td），韦伯定律成立（CS不受视网膜照度影响），但在较低的视网膜照度下，CS受限于量子噪声波动，即德弗里斯-罗斯或平方根定律。我们模型中的这一创新使我们能够研究不同光照水平下瞳孔大小的影响，因为刺激视网膜照度是亮度和瞳孔面积的乘积。
量子的波动对神经对比度敏感度（neural CS）的影响以及它们与眼睛的调制传递函数（OTF）的相互作用可以通过考虑一个简单的实验来理解。在这个实验中，一个具有平均亮度L0的目标和空间对比度C=ΔL/L0通过一个中性密度滤波器观看，滤波器的衰减因子为F。因此，有效的目标亮度是FL0，但对比度作为比率不会受到滤波器的影响。当目标检测的性能受到量子波动限制时，目标的检测性d′为d′=CFL0/√(1+4c)。这个表达式的分母考虑了理想观察者在检测对比度降低（c<0）时相对于对比度增加（c>0）的优越性能。为了简便起见，我们通过使用近似公式d′=cFL0/√(1+4c)忽略与对比度符号相关的非对称性。因此，达到固定性能水平所需的对比度是c=d′FL0/√(1+4c)。简化假设检测实验中的阈值性能对应于d′=1，在这种情况下，CS是s=1/c=FL0/√(1+4c)。当用视网膜照度I0=L0*A表示时，其中A是瞳孔面积，CS是S=1/C=FI0/A/√(1+4C)。
光学像差和衍射会通过由MTF和目标的空间频率谱（SF谱）确定的量减少视网膜图像的对比度。对于点光源，SF谱是平坦的，因此视网膜图像的SF谱将等于眼睛的MTF。如果观察者在任何给定的SF f的CS被指定为S(f)，那么以减弱的视网膜图像表示的神经敏感性将是N(f)=S(f)/MTF(f) 。例如，假设一个具有SF f的光栅在阈值为检测时C=0.5，那么CS=s=1/c=2。如果眼睛在该SF的MTF为0.25，那么相同光栅的视网膜对比度为0.5*0.25=0.125，所以在这个频率下的“神经对比度敏感度”N为N=1/0.125=8=s/MTF。重新排列这个方程，我们得出对于点光源，s(f)=N(f)*MTF(f)。换句话说，刺激的CS是神经CS和眼睛的OTF的乘积。
VSOTF的IQ指标是通过在SF上积分S(f)获得的。因此，根据上述论点，VSOTF应该与FI0/A/√(1+4C)成正比。因此，当瞳孔面积A保持不变时，VSOTF应该与FI0的平方根成正比，即视网膜照度的平方根。如图8所示，这个预测通过三种光学模型的数值计算得到了验证：案例1=物理光学计算有像差的光学模型的PSF（正常LCA和老化眼睛的单色Zernike像差）；案例2=物理光学计算无像差眼睛的PSF（既无单色像差也无LCA）；案例3=GO计算与案例1相同的像差眼睛的PSF。在这三种情况下，计算出的VSOTF值都随着视网膜照度的平方根变化（虚参考线的斜率为0.5），正如之前的论点所预测的。因此，平方根行为的预测足够稳健，能够适应眼睛光学模型的主要变化。
尽管图8中报告的计算是针对特定的瞳孔大小（3毫米直径）进行的，但VSOTF的平方根行为应该适用于任何瞳孔大小。因此，第二个预测是，对于固定的视网膜照度，瞳孔大小与logVSOTF之间的关系将具有相同的功能形式，无论视网膜照度如何。这个预测通过图2中显示的计算结果得到了验证，其中上述三种情况的曲线在logVSOTF轴上简单地上下滑动，而不改变形状或相对位置，当F变化以改变刺激亮度时，覆盖de Vries-Rose定律的全域（0.9-900 td）。图2中900和0.9 td数据的形状有一些细微的差异，我们将其归因于较低视网膜照度下神经CSF的空间带宽减少（图1），因为较低SF受到光学退化的影响较小。因为图2中的图表具有相同的形状，它们揭示了在保持视网膜照度恒定的实验中，最佳瞳孔将独立于视网膜照度。
上述计算为在保持目标亮度L0恒定的实验中瞳孔面积变化时的第三个预测（这是我们的心理物理实验方法）。在这种情况下，最佳瞳孔面积应该随着F的变化而变化，因为随着瞳孔面积的变化，视网膜照度也在变化。图3和图5中的数据揭示了只要de Vries-Rose定律使神经CS随亮度变化，最佳瞳孔直径就会增加，但在高光亮度下，Weber定律适用时，这种增加是不存在的。
关于视觉系统对比敏感度（CS）的心理学研究通常旨在研究人类视觉的神经特性，为了实现这一目标，光学系统必须保持恒定，这通过使用固定的人工瞳孔来实现（例如，2毫米瞳孔直径）。另一种方法是，为了隔离光学系统的影响，必须保持视网膜照度恒定（例如，2150 td）。然而，在现实生活中，随着环境亮度水平的改变，瞳孔大小和视网膜照度会同时变化。我们的CS测量（图7）旨在捕捉刺激亮度和瞳孔大小对视觉质量的综合影响，并确认了我们的光级敏感模型准确地代表了人类视觉，其中神经和光学组件都会随着瞳孔大小的变化而变化。
将瞳孔大小和环境亮度水平的影响纳入视觉质量模型，对于临床界探索使用小瞳孔作为老花眼治疗手段的问题具有直接的相关性。例如，通过减小瞳孔大小产生的光学景深（DoF）的增加（图4）是否会成功地克服伴随视网膜照度降低而增加的光子噪声效应？当瞳孔大小缩小到1毫米时，光子噪声问题与衍射相结合，会显著恶化除最高亮度外的所有聚焦图像质量。但是，在-1D和-2D离焦的情况下（图5和6），1-2毫米的瞳孔在所有视网膜照度水平下总是产生最佳的总体图像质量（VSOTF）。通过限制瞳孔缩小以避免非常小的（<2毫米）瞳孔，可以在最小化对聚焦视觉负面影响的同时获得离焦图像质量的重要提升。
随着环境光线的改变，亮度和瞳孔大小都会变化，并且有研究表明，主动瞳孔调整可以保持瞳孔大小在或接近优化视力和图像质量所需的水平。我们在图9中直接检验这一假设，我们在图中比较了在老花眼人群典型的瞳孔大小下获得的聚焦图像的VSOTF值，与两种不同固定瞳孔直径（1.6-7毫米）和最佳瞳孔下的VSOTF值。如预期，使用7毫米大瞳孔获得的VSOTF值与实际瞳孔（7毫米）在1 cd/m2下的值相匹配，但在1000 cd/m2下，它们比自然瞳孔低0.3个对数单位。对于1.6毫米直径的小瞳孔，情况相反，它在1000 cd/m2下产生的VSOTF值与自然瞳孔（4毫米）相匹配，但在0.1 cd/m2下，它产生的VSOTF比自然瞳孔低0.3个对数单位。显然，自然瞳孔优于固定的大瞳孔（7毫米）或固定的小瞳孔（1.6毫米）。
图9：亮度对视网膜图像质量指标VSOTF的影响，分别为7毫米（蓝色实心圆圈）、1.6毫米（黑色空心三角形）、最佳瞳孔（蓝色空心圆圈）和自然瞳孔（红色实心正方形）在六个亮度水平（0.1、1、10、20、100和1000 cd/m）下的情况。自然瞳孔直径分别为0.1、1、10、20、100和1000 cd/m2下的7毫米、7毫米、6毫米、6毫米、5毫米和4毫米。
我们发现，在所有光照水平下，具有自然瞳孔的VSOTF IQ接近于最佳瞳孔的IQ（VSOTF值低0.1对数单位），这与假设图像优化是改变瞳孔大小背后的驱动力相一致。自然瞳孔的大小总是略小于我们预测的最佳瞳孔直径，这些直径分别为4.0、4.0、3.6、3.52、3.16和2.54毫米，对应的光照水平为0.1、1、10、20、100和1000 cd/m²。模型预测的最佳瞳孔尺寸较小可能反映了VSOTF指标对高空间频率（SF）的过度加权。尽管对高SF敏感，但人类视觉也严重依赖环境中的低SF内容，并且在较低SF下的图像对比度受离焦影响较小，但在大约100 td以下，低SF的对比度灵敏度（CS）受光子噪声限制（图1）。因此，在低SF下，光子噪声的影响将大于光学模糊，而对于低亮度，优化后的瞳孔尺寸将倾向于更大。此外，在比我们老花眼模型中HOAs水平较低的年轻眼中，较大瞳孔在较低光照水平下更有益。反之亦然。当像差较高时，最佳瞳孔尺寸将较小，这提出了瞳孔大小的个体差异可能反映像差的个体差异的可能性。
总之，通过揭示环境光照水平变化时作用力之间的竞争，我们更清楚地理解了为什么更多的光线能改善视力。随着刺激亮度的增加，瞳孔的反射性收缩减少了由像差引起的模糊，这在一定程度上补偿了衍射的增加。尽管瞳孔收缩降低了量子波动的信噪比，但净效果仍然是IQ的提升。例如，如果将亮度从10增加到100，使瞳孔尺寸从6毫米缩小到5毫米，那么视网膜照度将增加10*(5/6)²=7倍。在较低的光照水平下，这种视网膜照度的增加将使视网膜IQ增加大约√7=2.6，如图9所示。从临床角度来看，我们的建模结果提供了令人信服的证据，证明小瞳孔应该提供一种有效的老花眼校正方案，能够在光环境和中间环境的光照下改善近距IQ，并且通过精心选择小瞳孔尺寸，可以调节最佳聚焦IQ的相对较小损失。对夜间视力的仔细评估将为实施老花眼小瞳孔校正的安全性和实用性提供重要见解。
资金支持
Allergan Corporation。
致谢
本项目得到了Allergan Corporation的支持（http://www.allergan.com）。
声明：本文并非医学诊断建议也非眼部健康信息建议
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