作者：James C. Wyant
美国国家工程院院士，亚利桑那大学光学研究中心首任院长，美国光学学会（OSA）与国际光学工程学会（SPIE）的双会主席；印度光学学会研究员，韩国光学学会名誉会员。
1介绍
通常，为了帮助解释光学测试结果，可以方便地用多项式形式表达波前数据。Zernike多项式经常用于此目的，因为它们是由与在光学测试中经常观察到的像差类型形式相同的项组成的（Zernike，1934）。这并不是说泽尼克多项式是拟合测试数据的最佳多项式。有时泽尼克多项式给出了波前数据的糟糕表示。例如，当空气湍流存在时，泽尼克斯几乎没有什么价值。同样地，单点金刚石车削过程中的制造误差也不能用泽尼克多项式中的合理数量的项来表示。在圆锥光学元件的测试中，必须在泽尼克多项式中添加附加项，以准确地表示对齐误差。盲目地使用泽尼克多项式来表示测试结果可能会导致灾难性的结果。
泽尼克多项式是两个变量ρ和θ中的无限个完全多项式集中的一个，它们在一个单位圆的内部以连续的方式正交。需要注意的是，泽尼克斯只在单位圆的内部以连续的方式正交，并且通常它们不会在单位圆内的离散数据点集上正交。
泽尼克多项式有三个性质，它们区别于其他正交多项式集。首先，它们有简单的旋转对称性质，从而得到一个形式的多项式乘积
r[ρ] g[θ],
其中g[θ]是一个连续函数，每2π弧度重复一次自身，并且满足将坐标系旋转一个角度α不改变多项式形式的要求。这是
g[θ+α] = g[θ] g[α].
三角函数的集合
g[θ] = e± imθ,
其中m是任何正整数或零，满足这些要求。
泽尼克多项式的第二个性质是径向函数必须是ρ为2n次的多项式，并且不包含ρ小于m的幂。第三个性质是，如果m是偶数，则r[ρ]必须是偶数，如果m是奇数，则必须是奇数。
径向多项式可以作为雅可比多项式的一种特殊情况推导出，并用表格表示为r[n，m，ρ]。它们的正交性和归一化性质由
和
R[n, m, 1] = 1.
如上所述，r[n，m，ρ]是一个2n阶的多项式，它可以写成
在实际应用中，径向多项式与正弦和余弦结合，而不是与复指数结合。它写起来很方便
rcos[n_，m_，ρ_] ：= r[n，m，ρ] Cos[m θ]
和
rsin[n_, m_, ρ_]:= r[n, m, ρ] Sin[m θ]
波前像差opd ∆w的最终泽尼克多项式级数可以写成
其中∆w[ρ ,θ]为平均波前像差opd，a[n],b[n,m]和c[n,m]为单个多项式系数。对于对称光学系统，波像差对切向平面是对称的，只允许θ的偶数函数。然而，一般来说，波前是不对称的，而且这两组三角项都包括在内。
2计算泽尼克函数
对于下面的例子，泽尼克多项式的角度被选为6。如果需要一个不同的度，则可以改变n角度的值。
数组零尼克极坐标包含极坐标（ρ，θ）中的泽尼克多项式，而数组泽尼克Xy包含笛卡尔坐标（x，y）坐标中的泽尼克多项式。在第1列中包含Zernike数，第2列和第3列中的n和m值，以及第4列中的Zernike多项式。
2.1泽尼克表
在表中，术语#1是一个常数项或平移项，而术语#2和#3是倾斜项。术语#4代表聚焦焦点。因此，第2项到第4项表示波前的高斯特性或近轴特性。第5项和第6项是像散（散光）和离焦。术语7和术语8表示慧差和倾斜，而术语9表示三阶球差和焦点。同样，第10到第16项代表五阶像差，第17到第25项代表七阶像差，第26到第36项代表九阶像差，第37到第49项代表第十一阶像差。
每个项包含每个低阶项的适当量，以使其与每个低阶项正交。此外，泽尼克斯的每一项都将均方根波前误差最小化到该项的顺序。添加其他低阶像差只会增加均方根误差。此外，在单位圆上的每一项的平均值为零。
2.1.1 泽尼克用极坐标表达
表格形式[泽尼克极坐标列表，表头-＞{{}，{“#”,“n”,“m”,“多项式”}}]
2.1.2泽尼克在笛卡尔坐标系中
表格形式[泽尼克Xy列表，表头-＞{{}，{“#”,“n”,“m”,“多项式”}}]
2.2 亚利桑那大学光学科学中心（OSC）泽尼克
许多使用泽尼克多项式进行计算机干涉图分析的早期工作都是由亚利桑那大学光学科学中心的John Loomis在20世纪70年代完成的。在OSC工作中，使用了n=1到5和n=6，m=0术语。干涉图分析中使用了n=m=0项（平移piston项），但不包括在泽尼克的编号中。因此，有36个泽尼克术语，加上所使用的平移术语。
3泽尼克绘图
在本节中给出了一些示例图。更多的图形可以在http://www.optics.arizona.edu/jcwyant/Zernikes/ZernikePolynomials.htm.上找到
3.1密度图
3.2 三维图
3.3三维柱面绘图
可以旋转而不得到暗面
3.4回转曲面
3.5 三维阴影图
3.6动画绘制
3.6.1动画密度图
3.6.2动画中的三维阴影绘图
3.6.3动画柱镜三维制图
3.7两张立体图
3.8单幅立体图
4泽尼克多项式与三阶像差的关系
4.1波前像差
三阶波前像差可以写成如下表所示。因为在这些项中没有场依赖性，它们不是真正的塞德尔像差。使用干涉仪进行的波前测量只提供单个场点的数据。这导致场曲率看起来像焦点，扭曲看起来像倾斜。因此，必须测量一些场点来确定塞德尔像差。
4.2 Zernike项
一阶波前特性和三阶波前像差系数可由泽尼克多项式得到。让前9个zernikes的系数由
zernikeCoefficient = {z0, z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8};
这些系数可以乘以泽尼克多项式来给出波前像差。
wavefrontAberrationList = Table[zernikeCoefficient zernikePolarList[[Range[1, 9], 4]]];
现在我们将在一个表中表示波前像差和相应的泽尼克项
4.3泽尼克和像差表
上面的泽尼克展开可以像项一样重新分组，并将它们与波前像差系数等效。
4.4泽尼克三阶像差表
这些倾斜、慧差和焦点加上像散项可以使用这个方程重新排列
4.4.1倾斜
4.4.2慧差
4.4.3焦点
这有点困难，因为我们必须分开焦点和像散。
但
设
有时
是被添加到焦点项中，使其绝对值变小，然后
必须从散光项中减去。这就给出了一个焦点项，它等于
对于焦点，我们选择了具有最小幅度的符号。
应该注意的是，大多数商业干涉图分析程序并不试图最小化焦点项的绝对值，因此焦点被设置为等于负焦点。
4.4.4像散
由于
等于
正像散可写作
注意，在从负像散到正像散时，我们不仅改变了像散项的符号，而且还将其旋转了90°。我们需要选择与在焦点项中选择的符号相反的符号。
再次应该注意的是，大多数商业干涉图分析程序并不试图最小化聚焦项的绝对值，并且像散由负像散给出。
4.4.5球差
spherical = 6 z8 ρ4
4.5赛德尔像差列表
我们可以总结出如下这样的结果。
4.5.1典型结果
5 RMS波前像差
如果波前像差可以用三阶像差来描述，那么可以通过说明存在的每个三阶像差的波数来方便地指定波前像差。如果只存在一个三阶像差，这种指定波前的方法就特别方便了。对于更复杂的波前像差，可以方便地表示峰到谷（P-V），有时也称为峰到峰（P-P）波前像差。这只是实际波前在正、负方向上与所需波前的最大偏差。例如，如果正方向的最大偏离为+0.2波，而负方向的最大偏离为-0.1波，则P-V波前误差为0.3波。
虽然使用P-V来指定波前误差是方便和简单的，但它可能会产生误导。陈述P-V只是简单地说明最大的波前误差，而它并没有说明这个误差发生的区域。具有较大P-V误差的光学系统实际上可能比具有较小P-V误差的系统表现得更好。使用均方根波前误差来指定波前质量通常更有意义。
下一个方程定义了圆形瞳孔的均方根波阵面误差σ以及方差σ2。Δw（ρ，θ）是相对于最佳拟合球面波测量的，并且它通常具有波的单位。Δw是平均波前OPD。
作为一个例子，我们将计算一个圆形瞳孔的三阶像差的σ和平均波前像差之间的关系。
如果波前像差可以用泽尼克多项式表示，那么波前方差可以用泽尼克多项式正交的正交关系以简单的形式计算波前方差。整个单位圆的最终结果是
如果泽尼克系数是统一的，下表给出了σ和泽尼克多项式之间的关系。
6 Strehl比例
在没有像差的情况下，在高斯像点的强度是最大的，如果存在像差，这将不再是情况。最大强度点称为衍射聚焦，对于小的像差，通过寻找添加到波前的适当的倾斜和离焦，使波前方差最小。
强度的比率在高斯图像点（参考球的起源是最大强度的观测平面）的像差，除以获得的强度如果没有像差，被称为Strehl比例，Strehl定义，或Strehl强度。Strehl比率由
其中，以 Δw[ρ, θ]波为单位。作为一个例子
其中Δw[ρ, θ]以波为单位。上述方程可以用以下形式表示
如果像差很小，可以忽略2πΔw的三阶和高阶幂，则可以将上述方程写为
其中σ以波为单位。
因此，当像差很小时，Strehl比与像差的性质无关，比统一的理想值小，与波前变形的方差成正比。
上述方程对于低于0.5的Strehl比率有效。Strehl比总是比上述近似所预测的要大一些。对大多数类型的像差的一个更好的近似是由
这对Strehl比率小到0.1是很好的。
一旦确定了衍射焦点处的归一化强度，光学系统的质量就可以使用Marechal准则来确定。Marechal准则表明，如果衍射焦点处的归一化强度大于或等于0.8，则认为系统是很好的校正，这对应于均方根波前误差<λ/14。
如上所述，泽尼克多项式的一个有用特性是，泽尼克的每一项都将均方根波前误差最小化到该项的阶数。也就是说，每个项的结构都是这样的，添加其他低阶像差只会增加均方根误差。去除倾斜和离焦的一阶泽尼克项表示焦点上的一个移位，使该点的强度最大化。同样地，高阶项也内置了适当的倾斜和散焦量，以最小化均方根波前误差。例如，看看Zernike项#9显示，对于每一波三阶球差，应该减去一波离焦，以最小化均方根波前误差，并找到衍射焦点。
声明：本文并非医学诊断建议也非眼部健康信息建议
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