安东尼奥·卡洛西(Calossi)
目的：总结不同标记的非球面度值，并说明角膜非球面度、角膜曲率和瞳孔直径对前角膜表面纵向球差的影响。
方法：在描述了不同非球面符号之间的转换因子后，通过模拟先前角膜轮廓的二次曲面截面进行有限射线追踪。前角膜有一系列的曲率和非球面，以及一系列的瞳孔直径。
结果：在非球面度不变的情况下，纵向球差随入射光瞳直径的平方而增大。如果瞳孔直径保持不变，球差将成为非球面度、折射率和曲率半径的函数。如果将折射率、瞳孔直径和非球面视为常数，则当角膜变平时，球差将减小，并随着角膜变为阶梯状而增大。这样，在相同形状因子和相同起始顶点半径的情况下，纵向球差成为手术引起的屈光变化的函数。在曲率相等的情况下，如果曲面比理想笛卡尔椭圆更长，则纵向球差变为负值；如果它不是长形、球形或扁球形，则会变为正值。
结论：角膜非球面符号转换图和相应的球面像差转换图，以及报告屈光手术后维持角膜球面像差生理值所需的非球面值的图表，可能是角膜手术中有用的工具。
角膜前表面是整个眼科光学系统的主要屈光元件，因为它为整个系统提供最高的个体屈光贡献。在正常眼睛中，前角膜表面提供了整个屈光贡献的80%，只有形状上的微小变化才足以获得显著的屈光度变化：在近轴近似下，半径等于百分之四毫米的曲率变化对应于0.25D屈光度的变化。由于这个原因以及最小程度的侵入性，角膜前表面是屈光手术的主要选择部位。
角膜中有助于形成中心凹图像的区域称为光学区，它覆盖了瞳孔的入口。瞳孔直径决定有用光学区的宽度，该宽度随瞳孔动态变化而变化。为了使视网膜图像始终具有高质量，在最大生理性瞳孔散大的情况下，瞳孔内不应出现像差。从光学角度来看，理想的角膜必须有一个由具有适当形状因子（非球面）的椭圆表面组成的光学区。如果忽略来自眼睛内部光学系统的可能补偿，角膜表面必须完全光滑，且顶点位于视觉轴的中心。如果形状因子不够，就会产生球差。如果顶点不居中，就会出现棱镜效应，即斜入射和彗差引起的像散。如果表面不规则，则会出现高阶像差。
角膜非球面的描述
表达式“非球面”仅指非球面。然而，该表达式通常用于表示可由二次曲线方程描述的曲面。在几何学中，二次曲面曲线之所以被称为二次曲面曲线，是因为它们是由一个二次曲面的截面生成的，该二次曲面的平面相对于底面或多或少倾斜，其中包括圆、椭圆、抛物线和双曲线（图1）。这些曲线中的每一条，如果在其对称轴上旋转，将分别创建一个球体、一个椭球体、一个抛物面和一个双曲面。这些固体图形被称为二次曲面。在二阶近似下，典型的角膜切片是一个长椭圆形，由一个更弯曲的中心部分，即顶点组成，向周边逐渐变平。角膜的非球面通常通过确定最适合待描述角膜部分的二次曲面的非球面来定义。如果我们接受这种近似，子午线的轮廓只能用两个值来定义：顶点半径（位于二次曲线的顶点上），可以用具有相同曲率的圆来表示；形状因子，表示从顶点到外围的曲率变化，它定义了非球面的程度。最后一个参数可以用多种不同的方式定义。四个不同的系数用于表示二次曲面曲线的形状因子，每一个系数都以不同的方式用于量化同一事物：二次曲面参数p、形状因子E、偏心率e和非球面系数Q。如果已知其中一个指数，其他可使用表1中的换算公式计算。
图1所示：在数学中，二次曲面截面(或仅仅是二次曲面)是一个二次曲面(更准确地说，一个直角二次曲面面)与一个平面相交形成的曲线。二次曲面截面是平面与二次曲面的交点。通过改变交点的角度和位置，可以产生圆、椭圆、抛物线或双曲线。(图片来自维基百科，免费百科全书。可在http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section.Accessed 2006年10月16日查询。)
表1：二次曲面曲线各种形状因子之间的换算公式
p=二次曲面参数，Q=非球面，e=偏心率，e2=非球面指数
任何二次曲线都可以用以下等式表示：
y2 = 2r0x-px2 公式1
式中，y是半弦，或者更确切地说是曲线上一点到对称轴的距离；如果二次曲面代表非球面光学表面的截面，则y值是表面上一点与其光轴的距离，x是截面的矢状，r0是顶点半径，而p表示从顶点开始变平或变陡的速度（图2）。在椭圆（图3）中，如果a是长半轴，b是短半轴，则p值表示以下比例：
P=b2/a2 公式2
图2:Baker方程给出了所有二次曲面截面的一般方程y2 = 2r0x - px2，其中x是半帘线y的矢状，r0是顶点半径，p是一个形状因子，表示曲线从顶点到外围的变平或变陡程度。
图3：在椭圆中，如果a是长半轴，b是短半轴，则p值表示b2和a2之间的比率。
等式（2）表明，在椭圆的极限情况下，如果是正圆的情况中b=a，因此p=1。抛物线是另一种极限情况，其中a趋于无穷大，因此p=0。长椭圆是一系列曲线，其中长轴与x轴重合，b＜a，因此p在0和1之间变化。p越接近1，形状越不拉长。在扁椭圆中，p＞1。在这种情况下，短轴将沿着x轴找到，因此当我们离开顶点时，曲面将逐渐变得更弯曲。在双曲线中，p＜0。二次曲面参数p是一个值，表示曲线与抛物线（而非圆）的差异有多大。因此，定义非球面性的常用术语是Q，它与p有关，公式如下：
Q=p-1 公式3
如果Q=0，曲线是一个圆，如果Q在-1和0之间，曲线是一个长椭圆。如果Q=-1，则为抛物线；如果Q=-1，则为双曲线；如果Q=0，曲线是扁椭圆。很可能Q这个词不是很直观，因为正常的长角膜是用负数表示的。另一种表达二次曲线弯曲程度的方法是使用偏心率（e）。e和p之间的关系如下：
p = 1-e2 公式4
因此:公式5
如果e=0，则曲线为圆形；如果它位于0和1之间，则曲线为椭圆；如果e=1，则曲线为抛物线；如果e＞1，曲线就是双曲线。当用偏心率来表示二次曲面曲线的形状时，出现的主要问题是，有时p的值＞1，因此在这些情况下e2是负数，而e不再有意义，因为它等于负数的平方根，这在虚数范围内。e的负值纯粹是常规值，对于扁椭圆，可以用以下方式表示：
如果p＞1那么：公式6
按照这个惯例，如果e＜0，曲线是扁的。参数e的第二个问题是偏心率变化和周边平坦系数的变化不是线性的。与从1.1到1.2的过渡相比，从0.1到0.2的过渡中对应于0.1单位e的曲率变化是不同的。在第一种情况下，两条曲线几乎相同；在第二种情况下，它们有很大不同。因此，角膜的形状因子有时以e2表示。最初，这是为Wesley Jessen（伊利诺伊州德斯普莱恩斯）光电角膜镜（PEK）选择的，其中e2一词被形状因子（SF）取代。在美国国家标准中，该参数由符号E指定。因此
E = SF = e2 公式7
和E = SF = 1-p 公式8
至于p，e2的引入也是为了给扁球形下一个定义，扁球形从顶点向边缘变陡。如果e2=0，则曲线为圆形；如果e2介于0和1之间，则曲线为长椭圆形；如果e2=1，则曲线为抛物线；如果e2＞1，则曲线为双曲线；如果e2＜0，曲线是扁椭圆。需要指出的是，如果用E（或e2）来描述角膜的形状，负非球面和正非球面这两个术语的含义与Q相反，因为对于长椭圆，0＜E＜1；对于扁椭圆，E＜0。这可能会引起一些混淆，因为同一个曲面可以用正数或负数来描述，这取决于是否使用了E或Q。表2总结了具有不同形状因子的相应值的各种类型的二次曲面曲线，表3报告了不同符号中的各种非球面值。
表2：不同类型的二次曲面截面具有不同非球面系数的对应值
p=二次曲面参数，Q=非球面，e=偏心率，e2=非球面指数
Hyperbola：双曲线；Parabola：抛物线；Prolate ellipse：长椭圆；Circle：圆；Oblate ellipse：扁椭圆；Average normal cornea：平均正常角膜；
表3：不同非球面符号与相应屈光度纵向球差的换算表
计算时n=1.376，r=7.80毫米。
在最近发表的验光文献中，p值被频繁报道，而系数Q在眼科期刊中使用得更频繁。在ISO（国际标准化组织）标准中，符号K也用于Q。在与隐形眼镜相关的出版物中，常用术语是偏心率（e）。我们更喜欢用指数e2来定义非球面，而不是SF或E，因为球面t的值为零。与Q相反，在长形表面，如生理性角膜中，e2值为正值，并且随着非球面度的增加而增加。在与生理角膜形状相反的扁角膜中，非球面（e2）的值＜零。几何图形反转越多，负值越大，或者更确切地说，角膜越扁。指数e2是线性的，可以表示不受偏心限制的扁圆表面。
如果使用非球面指数（e2），等式（1）变为：
y2 = 2r0x -（1 - e2）x2 公式9
而二次曲线的三维版本，即旋转轴为Z的二次曲线，可以用以下形式表示：
x2 + y2 +（1 - e2）z2 - 2zr0 = 0 公式10
真实角膜和椭圆模型
从数学角度来看，将角膜轮廓近似为二次曲面曲线是有用的，因为如上所述，这允许使用两个参数直接描述其形状：顶点半径和一个指数，该指数表示曲线与顶点半径所描述的周长的差异程度。在眼睛光学领域，这种方法对于检查球差是有用的。
一般来说，可以将角膜的每个子午线和半子午线的轮廓近似为椭圆曲线。椭圆模型的直接演化是椭圆复曲面模型。这是一个具有以下特征的曲面：每个子午线都有不同的顶点半径；可以确定曲率最大和最小的子午线；这两条主经线之间的差异产生角膜散光；沿着每一条子午线，从中心到外围，曲率以椭圆级数变平。二次曲面模型包括一些近似值，尤其是假设顶点与顶点和角膜的几何中心重合，并且角膜表面相对于视觉轴对称。其他提出的模型通常可以被视为这些方法的复杂变化。
Campbell介绍了一种通用的二次曲面来模拟角膜形状，然后将其用作Humphrey MasterVue角膜地形图系统（德国耶拿卡尔蔡司）中生成角膜参数的基础。在MasterVue系统中使用的二次曲面是通用的，因为它可以偏心和旋转，因此它不仅包括大多数角膜中的复曲面，还包括相对于瞳孔中心和角膜顶点的偏心和倾斜。Navarro等人在最近的一篇论文中报道了该模型的实用性。实际上，角膜与单椭圆进程在更外围的区域不同，在这些区域，平坦更为突出，非球面比中心更大。然而，在许多情况下，如果仅限于角膜的光学区，椭圆可能是一个有效的模型。另一方面，在真实的眼睛中，这个模型过于简化，因为每个角膜都有一个特定的轮廓，类似于指纹，在某些情况下，尤其是在病理、创伤或手术中，角膜的轮廓与上述轮廓完全不同。为了定义角膜的非球面性，可以计算出最佳拟合的非球面，或者更确切地说，是使曲面和所代表的角膜部分之间的曲率差最小化的轮廓。该表面反映角膜的程度可以通过一个指数来定义，即曲率的均方根（RMS），这意味着测量的表面与最佳拟合表面的平均差异有多远。瞬时曲率的均方根可用作表面不规则性的指标，因为它表明角膜表面与完全光滑的非球面之间的差异有多远。
本文介绍了角膜非球面、角膜曲率和瞳孔直径对角膜前表面球差影响的理论结果。
材料和方法
球面像差是一种旋转对称像差，其中通过瞳孔近轴区的光线聚焦的距离与通过边缘瞳孔的光线聚焦的距离不同。按照惯例，当边缘光线聚焦在近轴光线之前时，球差为正，而当相反的情况为真时，球差为负。边缘焦点和近轴焦点之间的屈光度差异称为纵向球差。
应用snell折射定律（光的折射定律），通过模拟角膜前部轮廓的二次曲面截面进行有限光线追踪。前角膜有一定的曲率、非球面和瞳孔直径。所有角膜的屈光指数均为1.376。这种方法有以下局限性：它不考虑前角膜表面的非旋转对称不规则性，并且忽略了内部光学对图像质量的贡献。目的是展示角膜曲率和角膜非球面的手术改变如何改变眼球的球面像差。这种眼像差的变化可以近似于前角膜像差的变化，因为这是角膜屈光手术改变的主要屈光成分。
根据以下公式，通过比较光线与光轴相交的位置和近轴图像位置，计算与光线穿过中心系统瞳孔边缘相关的纵向球差（LSA）：
LSA=n`/l`m-n`/l`p 公式11
其中n`是角膜的折射率，l`m和l`p分别是从角膜前表面顶点到边缘光线相交位置和近轴图像平面的距离（图4）。
图4:用于纵向球差（LSA）计算的光线追踪示意图。
最后，为了确定角膜屈光手术后维持角膜球差生理值所需的非球面度值，计算如下：
● 一系列球面屈光不正的眼平面顶点移位；
● 这些矫正的顶部半径变化；和
● 每个顶部半径对应的非球面值，保持恒定的纵向球差。
使用存储在文件中的方程式进行计算，该文件由运行在PC上的电子表格程序生成。
结果
对于所有单色像差，球差的值随着瞳孔直径的增加而增加。如果非球面度值保持不变，纵向球差将随着入射光瞳直径的平方而增加（图5）。考虑到角膜的顶端半径=7.80 mm，非球面度（e2）=0.2，瞳孔直径（x）和纵向球差之间的关系可以通过以下抛物线回归方程近似：LSA=0.0332x2（R2=0.99）。如果瞳孔直径保持不变，球差将成为非球面度、折射率和曲率半径值的函数。如果将折射率、瞳孔直径和非球面视为常数，则如果角膜表面变平，球差将减小，并且随着角膜变得更弯曲，球差将增大（图6）。考虑到角膜的非球面度（e2）=0.2，入射光瞳=5 mm，顶端半径（r0）和纵向球差之间的关系可近似为以下幂回归方程：LSA=447.79r0-3（R2=0.99）。在曲率相等的情况下，如果表面比理想笛卡尔椭圆形状更长，则纵向球差变为负值；如果它不是长形、球形或扁球形，则为正值（图7）。角膜越扁，正球差越大。
考虑到角膜的顶端半径为7.80 mm，入口瞳孔为5 mm，非球面度（e2）和纵向球差之间的关系可以通过以下抛物线回归方程来近似：LSA=0.1938（e2）2-2.7209（e2）+1.384（R2=1），或者以更近似的方式，通过以下线性回归方程：LSA=-2.4884（e2）+1.4589（R2=0.99）。表3报告了三种瞳孔直径对应的纵向球差在不同符号中的不同非球面度值。图8中的图表显示了维持角膜球差生理值所需的非球面度值，该值是通过激光消融手术校正的等效球镜的函数。
图5：纵向球差（LSA）作为入射光瞳直径的函数（e2=0.20，r=7.80 mm）
图6：纵向球差（LSA）作为顶部半径的函数（e2=0.20；直径5mm）。
图7：纵向球差（LSA）是非球面度（r=7.80mm；直径5mm）的函数。
图8：非球面作为手术引起的屈光变化的函数，以维持生理球差。术前：e2=0.2；r=7.80毫米；纵向球差为5mm +0.84d（Q=-e2）。
讨论
传统的光烧蚀或切口屈光手术可显著改善低阶屈光缺陷（离焦（中心球面离焦）和规则散光），但会产生术前未观察到的高阶角膜像差。通常情况下，球差只会增加，而在因偏心、表面不规则、缩小或扩张而变得复杂的情况下，除了其他高阶像差外，还可能出现更无效的像差，如彗差。最近的基于地形或波前的定制技术旨在克服当前标准治疗的局限性。一般来说，如果一个单独的折射表面的截面是一个完美的笛卡尔椭圆，那么对于一对给定的共轭轴点（即，在光轴上以一定距离放置的一个物体点），将两个均匀介质分开的这个折射表面可以不受球差的影响。这是一条四度曲线，不是椭圆，而是真正的椭圆。对于某些特殊的共轭对，曲线退化为各种二次曲面截面，包括一个圆，因此是球体的“消球点”。不幸的是，对于一对特定的共轭物，没有球面像差的表面会对所有其他共轭物对表现出一些像差。如果像角膜一样，产生光线的介质是空气，并且物体被放置在无限远处，那么完美的椭圆形具有长椭球的形状，其中非球面（e2）由以下等式给出：
e2=1/n2或e=1/n 公式12
其中n是折射光线的介质的折射率。如果假设角膜组织的均匀折射率等于1.376，e2应为0.5282（e=0.7268；p=0.4718；Q=-0.5282）。
在正常的眼睛中，角膜不太可能有这种非球面值。正常情况下，存在一定数量的正球差，这被认为是生理性的，至少部分由内部光学系统补偿。
近视光烧蚀治疗后，由于扁平化导致的球差降低的效果通常不足以补偿球差的增加，而球差的增加是由于大多数当前烧蚀轮廓的形状发生了实质性变化。这种效果在放射状角膜切开术的切口手术中更为明显，在同样的屈光矫正下，角膜变得更加扁平。相反的情况发生在远视治疗中，因为目前的消融模式产生了一个超长的角膜。这种形状的变化会产生负球差，这通常不能通过曲率增加的正球差来补偿。
角膜前表面的球差与后表面和晶状体的球差相加。如果它们是相反的迹象，它们将趋向于平衡。如果球面像差的所有分量不相互补偿，则点对象的图像将由一个被扩散光晕包围的圆盘组成。如果整体球差不太大，则对比度转移会出现轻微损失，景深会有所改善。后一种现象是由于球差的多焦效应。这就是为什么在发生残余屈光不正的情况下，通过角膜屈光手术操作的眼睛具有比根据残余屈光不正预期的更好的独立视力。轻微的球差残留也可能在老视的情况下被证明是有用的。这是某些类型的同时视力多焦隐形眼镜或多焦人工晶状体的原理，它们是以产生一定程度球差的方式制造的。对于这些透镜，如果球差为正（如近视治疗），瞳孔中心用于看远用的远距离视觉，周边区域用于看近近距离视觉。如果球差为负（如在远视光烧蚀治疗中），则中心用于近视力，周边用于看远。
如果球差变得过大，则会发生对比度传递的显著损失和图像的日益模糊，当瞳孔直径的增加导致球差值增加时，这尤其在低光强度条件下会令人恼火。定义一个可以容忍或可能有用的球差阈值并不容易，因为对对比度灵敏度损失和模糊容忍度的主观反应是可变的。在未切割过的角膜的屈光手术治疗中，保留相同的球差值是一个很好的规则。图8中的图表显示了维持角膜球差生理值所需的非球面度值，该值是通过光消融手术校正的球面当量的函数。然而，当外科医生有意瞄准一定程度的球差时，可以使用具有适当偏心率的隐形眼镜模拟不同的球差值，选择产生最满意视觉效果的隐形眼镜。
非球面的数学性质：一种用非球面计算的方法
致编辑：
我们饶有兴趣地阅读了Calossi对角膜非球面的各种描述及其对球差的影响的分析。许多文章使用不同的描述符（Q因子、偏心率（e）、p因子、形状因子[SF]）报告非球面测量和平均值，或者从理论上或经验上讨论屈光疗法对角膜非球面的影响。
Calossi的文章提供了有用的数据，但我们不同意偏心率负值的定义。不同非球面描述符之间的“经典”关系为：
其中
双曲线：p ＜ 0 ; Q ＜ -1 ; SF ＞ 1 ; e ＞ 1
抛物线：p = 0 ; Q = -1 ; SF = 1 ; e = 1
长椭圆：0 ＜ p ＜ 1 ; -1 ＜ Q ＜ 0 ; 0 ＜ SF ＜ 1 ; 0 ＜ e ＜ 1
球面：p = 1 ; Q = 0 ; SF = 0 ; e = 0
扁椭圆：p ＞ 1 ; Q ＞ 0 ; SF ＜ 0 ;
一种选择是使用椭圆模型，其中偏心率定义为：
其中a表示长半轴，b表示短半轴。因此，偏心率始终为正（即e=0不存在）。
正如Calossi所提到的，ε的负值完全是描述扁椭圆形的常规值。长椭圆的ε值在0到1之间。如果我们用e的负值来描述扁椭圆，它们的范围应该在-1到0之间。Calossi提供的定义（原文中的等式[6]）未能满足以下要求：
Q的所有正值（从0到+∞）代表扁椭圆。根据Calossi使用的定义，扁椭圆形的e值范围为-∞到0。由于椭圆对于Q的负值和正值都是可能的，但只有负Q被椭圆定义覆盖，我们也可以将ε重新定义为Q的函数：
根据这个定义，Q值在-1到0之间的长椭圆对应于e值在1到0之间的椭圆，而Q值在0到+∞之间的扁椭圆对应于e值在-1到0之间的椭圆。（这影响了Calossi文章中的表3）。
我们还想提醒大家注意，非球面是一个具有“非线性”行为的依赖量级，如果不与傍轴曲率一起考虑，它就没有物理意义，因此，当使用不同的非球面描述符时，使用非球面描述符的简单算法可能会导致错误的解释和混淆。根据计算顺序，将一个非球面描述符转换为另一个非球面描述符和平均非球面描述符的简单算法可能会导致不明确的结果。
在角膜手术中，人们早就知道屈光治疗会引起角膜非球面的变化，最近有人认为术前保留角膜非球面可能是可取的，因此，基于非球面的轮廓已经被开发出来。
非球面度可以通过角膜高度Zernike展开计算：
然后，可以使用角膜高度Zernike膨胀的平均值来计算“平均”非球面度：
这个结果不同于非球面的简单算术平均。或者，考虑子午线的曲率，如何计算非球面。再次，对一系列单独的角膜非球面进行平均：
这与之前基于Zernike展开的结果相同。
这可以应用于一系列单个角膜非球面的平均角膜非球面度，或通过考虑其各自曲率的两个主子午线非球面的平均值来计算单个角膜的平均非球面度。
要减去非球面，只需添加符号反转大小：
这可用于计算一系列单个角膜非球面平均变化的非球面度，或计算角膜的非球面度
单一角膜的变化。
按照上述方法，从一个非球面描述符转换到另一个非球面描述符，再转换到平均非球面描述符，将得到系统的结果，与所选的非球面描述符和计算顺序无关。
临床医学博士迭戈·德奥图埃塔e Ortueta
雷克林豪森，德国
理学硕士塞缪尔·阿尔巴·莫斯奎拉Mosquera
德国克莱诺瑟姆
作者答复:
作为对de Ortueta和Mosquera的回应，用负值e来描述扁椭圆型是完全传统的。
我提出的一种惯例，他们提出了另一种惯例。
我们从这一点开始：p的存在域是（-∞，+∞）。我们想把e的值和p的所有值联系起来吗？
如果不是，则必须使用标准公式：
其中P=b2/a2而且b＜a
如果是这样
图1显示了关于p=1的对称图案，即球面。
这是一个允许将e的一个且仅一个值与p的每个值相关联的建议。该定义不会产生任何歧义。
图1：按照Calossi提出的惯例，p值函数中的偏心率（e）。
图2显示了如何使用Mosquera和Ortueta的定义将范围p≥1压缩为-1≤e≤0。
图2：按照Mosquera和de Ortueta提出的惯例，p值函数中的偏心率（e）。
安东尼奥·卡洛西，迪波托姆
Certaldo（FI），意大利
声明：本文并非医学诊断建议也非眼部健康信息建议
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