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2025《世纪金榜》课时作业本
2025高考一轮复习——基本不等式
基础落实练
分临夏模拟若则函数
有最大值有最小值
有最大值有最小值
答案
分析由基本不等式可得函数即可判断
解答解
则由基本不等式可得函数
当且仅当即时取得最小值
故选
点评本题主要考查了理基本不等式求解函数的最值属于基础试题
分若正实数满足则最大值是
答案
分析推导出
利用基本不等式能求出的最大值
解答解正实数满足
当且仅当时即时取等号
则的最大值是
故选
点评本题考查不等式的性质基本不等式等基础知识考查运算求解能力是基础题
分南昌模拟放假期间小明一家准备去淄博旅游已知他家汽车行驶速度与每千米油费元的关系式为当每千米油费最低时
答案
分析利用分离常数法再应用基本不等式即可求解
解答解因为函数
因为所以
则
当且仅当即时取等号
所以当每公里油费最低时
故选
点评本题考查了利用基本不等式求函数最值问题是基础题
分若关于的不等式对任意恒成立则正实数的最大值是
答案
分析由题意可得对任意恒成立由基本不等式可得最小值再由二次不等式的解法可得所求的最大值
解答解关于的不等式对任意恒成立
可得对任意恒成立
由可得
当且仅当时取得等号
则解得
则的最大值为
故选
点评本题考查不等式恒成立问题解法以及基本不等式的运用考查转化思想和运算能力属于中档题
分多选题连云港模拟下列命题中的真命题有
当时的最小值是
的最小值是
当时的最大值是
若正数为实数则的最大值为
答案
分析由已知结合基本不等式检验选项结合对勾函数单调性检验选项
解答解时
当且仅当即时取等号正确
令则
在上单调递增
故时上式取得最小错误
当时当且仅当即时取等号正确
正实数满足即
则
当且仅当时取等号错误
故选
点评本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用属于中档题
分多选题已知为正实数且则
的最大值为的最小值为
的最小值为的最小值是
答案
分析由条件消元后结合基本不等式对选项逐一判断即可
解答解对于因为当且仅当时取等号
即当且仅当时取等号
解得当且仅当时取等号
又因为为正实数所以
故的最大值为当且仅当时取等号故选项正确
对于由得
所以
当且仅当即时取等号此时取得最小值故选项正确
对于
当且仅当即时取等号故选项正确
对于
当且仅当时取等号此时取得最小值故选项错误
故选
点评本题考查基本不等式的应用考查学生的逻辑思维能力和运算能力属中档题
分南充模拟已知函数若存在使得成立则实数的取值范围是 ________
答案
分析由题意可得利用基本不等式求出然后解不等式可求出的取值范围
解答解因为所以
所以
当且仅当即时取等号
所以
因为存在使得成立
所以即
得或
的取值范围为
故答案为
点评本题考查了函数的恒成立问题属于中档题
分若正数满足则的最小值为 ________
答案见试题解答内容
分析变形利用基本不等式即可得出
解答解正实数满足
即
当且仅当
的最小值为
故答案为
点评本题考查了基本不等式的性质属于基础题
分南京模拟已知正数满足
当取何值时有最大值
若恒成立求实数的取值范围
答案
分析根据基本不等式直接求解即可
只需得到由基本不等式的妙用求出从而得到求出答案
解答解因为正数满足
由基本不等式得解得
当且仅当即时等号成立
故的最大值为
要想恒成立只需
正数满足
所以
当且仅当即时等号成立
故解得
所以实数的取值范围是
点评本题主要考查基本不等式及其应用属于中档题
能力提升练
答案
分析由题意计算得的轨迹方程为根据对称性可得圆心在直线方程上即从而利用乘法即可得到最值
解答解设点的坐标为因为则
即
所以点的轨迹方程为
因为点的轨迹关于直线对称
所以圆心在此直线上即
所以
当且仅当即时等号成立
所以的最小值是
故选
点评本题考查轨迹方程的求法考查转化思想以及计算能力是中档题
分西安模拟几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题这种方法是数学家处理问题的重要依据很多代数公理定理都可以根据这一原理实现证明也称为无字证明如图是圆的直径点为圆心点是线段上的一点且过点作垂直于的半弦连接过点作垂直于点则根据该图形我们可以完成的无字证明有
答案
分析在直角三角形和中利用射影定理进行判断求解
解答解作出圆延长交圆于点如图
因为为直径故
所以即
又
由
得
同理在直角三角形中由射影定理得
所以
由于
所以
综上根据该图形我们可以完成的无字证明有
故选
点评本题考查了直角三角形中射影定理的应用以及几何法证明基本不等式相关问题属于中档题
分多选题潮州模拟设正实数满足则下列说法正确的是
的最小值为
的最大值为
的最小值为
的最小值为
答案
分析根据基本不等式即可结合选项逐一求解
解答解对于当且仅当且即时取等号故正确
对于
当且仅当且即时取等号故正确
对于
则当且仅当且即时故错误
对于
当且仅当且即时取等号故正确
故选
点评本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用属于中档题
分若正实数满足则的的最小值为 ________ 的最小值是 ________
答案
分析利用基本不等式灵活变形即可得到结论
解答解正实数满足
令
或
的最小值
点评基本不等式标准形式的拼凑需要一定的技巧
分深圳模拟珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热发泡等工艺制成的一种新型的包装材料由于需求量大幅增加某加工珍珠棉的公司经市场调研发现若本季度在原材料上多投入万元珍珠棉的销售量可增加吨每吨的销售价格为万元另外每生产吨珍珠棉还需要投入其他成本万元
写出该公司本季度增加的利润与单位万元之间的函数关系
当为多少万元时公司在本季度增加的利润最大增加的利润最大为多少万元
分析根据题目中等量关系列出函数关系式
对函数进行变形利用基本不等式求解最值
解答解
当且仅当即时等号成立
当万元时公司本季度增加的利润最大最大为万元
点评本题考查了函数模型的实际应用属于中档题
分绵阳模拟已知二次函数且不等式的解集为
求的解析式
若不等式在上有解求实数的取值范围
答案
分析根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得即得答案
不等式在上有解即在上的最大值采用换元法结合基本不等式求得的最大值即得答案
解答解由题意知的解集为
故方程的两个实数根是和
故由韦达定理可解得
故
因为在上有解即在上有解
在上的最大值
设则则
又当且仅当即时等号成立
即实数的取值范围为
点评本题考查一元二次函数的性质韦达定理方程有解的转化注意把握第二问中的换元属于中档题
素养创新练
答案
分析由函数奇偶性的定义可得为奇函数从而可得然后结合基本不等式即可得到结果
解答解因为的定义域为关于对称
且即函数为奇函数
又因为所以
即所以
则
当且仅当时即取等号
所以的最小值为
故答案为
点评本题主要考查了函数对称性的应用还考查了基本不等式在最值求解中的应用属于中档题
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