导数压轴题专题(2)
导数压轴题专题(2)
题目
(2019×红桥区二模)已知函数f(x)＝ax2－ex (a∈R)，f'(x)是f(x)的导数（e为自然对数的底数）.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若当x≥0时，不等式f(x)≤－x－1恒成立，求实数a的取值范围.
【分析】(1)对f(x)求导，求出切线的斜率k＝f'(0)和f(0),然后用一般式写出曲线的切线方程；
(2)构造函数g(x)＝－f(x)－x－1,然后由当x≥0时，不等式f(x)≤－x－1恒成立，可得当x≥0时,g(x)≥0恒成立，进一步求出a的取值范围．
【解答】(1)当a＝1时，f(x)＝ax2－ex 则f'(x)＝2x2－ex
∴斜率k＝f'(0)＝－1，f(0)＝－1
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x＋y＋1＝0．
(2)令g(x)＝－f(x)－x－1＝ax2－ex -x-1 (x≥0) 则g'(x)＝ex -2ax-1
∵当x≥0时，不等式f(x)≤－x－1恒成立 ∴当x≥0时,g(x)≥0恒成立
当a＝0时，g'(x)＝ex -1 则g(x)在[0，＋∞)上单调递增
(这是个结论，是解决本题的一个关键)
∴g(x)≥g(0)＝0 ∴当且仅当x＝0时成立
∴g'(x)＝ex -2ax-1＝x(1－2a) (上面的关键结论在这里起作用，实现了完美切换)
点评
利用导数研究过曲线上某点处的切线方程和利用导数求函数的单调区间，考查了函数思想和分类讨论研究极值，进而处理交点、零点、恒成立等问题，难度较大！
