在日常生活中，我们常常会面临各种各样的决策问题：今天午饭吃什么？明天要不要去健身？这周末看什么电影？这些看似简单的选择背后，其实隐藏着一个复杂的博弈过程。
尤其是当多个参与者存在时，选择的结果不仅仅依赖于自己的决策，还要考虑他人的决策，这就是“博弈”。
博弈论专门研究决策者之间策略互动及其结果。博弈论的基本单位是“博弈”（game），参与者称为“玩家”，他们通过采取不同的“策略”来达到自己的目标。
在博弈论中，策略可以分为纯策略和混合策略。
纯策略是指玩家每次总是选择某一个固定的行动。而混合策略则更为复杂，它允许玩家以一定的概率随机选择不同的行动。
举个例子，如果你和朋友玩石头剪刀布，你可以每次都选择石头（纯策略），也可以随机选择石头、剪刀或布，每个选择的概率为1/3（混合策略）。使用混合策略的好处在于，它能使对手无法预测你的行动，从而提高自己的胜率。
假设有两个玩家 A 和 B ，每个玩家有 n 种可能的策略。我们用 表示玩家A选择第 i 种策略的概率，用 表示玩家B选择第j种策略的概率。
博弈的结果由支付矩阵（payoff matrix）决定，记作 。对于玩家 A ，支付矩阵的第 行第 列的元素 表示玩家 A 在选择第 i 种策略，而玩家B选择第 j 种策略时的收益。
在混合策略博弈中，玩家A和玩家B的期望收益分别为:
其中， 是玩家B的支付矩阵。对于混合策略的选择，玩家需要考虑如何分配各策略的概率，以最大化自己的期望收益。
博弈论的一个核心概念是纳什均衡（Nash Equilibrium），这是指在一组策略下，没有任何玩家可以通过单方面改变自己的策略而获得更高的收益。
换句话说，在纳什均衡下，每个玩家的策略都是对其他玩家策略的最优回应。
对于混合策略博弈，纳什均衡的存在性由纳什定理保证。具体来说，对于任何有限博弈，都至少存在一个混合策略纳什均衡。
以足球罚点球为例。罚球者可以选择向左、中间或右射门，守门员则可以选择向左、中间或右扑救。罚球者和守门员的收益矩阵如下：
对于罚球者来说， 表示当罚球者选择射门方向为第 种策略（左、中、右之一），而守门员选择扑救方向为第 种策略时的收益。同样，对于守门员来说， 表示当守门员选择第 种扑救方向，而罚球者选择第 种射门方向时的收益。
表示罚球者选择向左射门而守门员选择向左扑救时，罚球者的收益是3分，而 表示在同样的情况下，守门员的收益是-3分（因为罚球者得分，守门员失分）。
假设罚球者选择向左、中、右射门的概率分别为 、 和 ，守门员选择向左、中、右扑救的概率分别为 、 和 。
对于罚球者，其期望收益为：
对于守门员，其期望收益为：
在纳什均衡下，罚球者和守门员的策略组合 必须满足以下条件：
对于罚球者，没有任何 的改变能增加其期望收益 。 对于守门员，没有任何 的改变能增加其期望收益 。
最后通过使用数学方法或数值求解工具（如线性规划、拉格朗日乘数法）来求解上述均衡条件，找到 和 。
希望这篇文章能够帮助读者对博弈论有一个初步的认识，并激发大家在日常生活中更多地思考和应用这种理论。(作者：王海华）
前两天一个非常专业的出版社老师强烈推荐我阅读《数学的雨伞下》这本书，我看完了确实感觉不错！推荐给大家。
该书将数学比作一把雨伞，当撑开这把雨伞时，我们仿佛进入了一个奇特的境界，有了迈向真相、行走在谜团中的勇气；当收起这把雨伞时，我们会发现自己的认知已大不一样，所谓的“理所应当”和“显而易见”将被摒弃，现实背后隐藏的真相将带来巨大的启发。这就是数学的力量。从代数、几何到相对论，从温度计到黑洞，作者用简洁而生动的笔触阐释了如何更好地思索、观察与理解世界。让我们带上好奇心，撑开数学这把大伞，在宇宙的奥秘中漫步，体会解开疑惑后，如雨过天晴般的愉悦。
