关于“数学是发明还是发现”这个话题，经常有朋友讨论，我的观点是：数学既是发明，也是发现。这倒不是在刻意追求中庸，而是发明与发现确实主导着数学发展的不同阶段。
在数学发展的早期，人类往往是通过“发现”来逐步认识和理解世界。例如，古代的数学家们通过观察自然界中的规律，逐步提炼出了数的概念、几何的基本原理以及基本的代数运算。这些发现并不是人为创造的，而是源自于对自然现象的深刻理解。就像我们发现了π和黄金分割比例，它们一直存在于自然界中，等待着我们去揭示。
然而，随着数学的发展，特别是在我们进入抽象数学的领域时，“发明”逐渐成为推动数学进步的主要动力。数学家们开始构建不依赖于现实世界的全新概念和理论体系。例如，复数的引入、非欧几何的建立、甚至现代的拓扑学和群论，这些概念最初并没有明确的物理对应物，而是出于数学内部逻辑的推演和创造。
这种“发明”带来了无数新的数学领域，也为科学的发展提供了不可或缺的工具。
正因为如此，我们看到数学在历史上呈现出一种交替的模式：
当数学家发现新的数学现象时，他们记录并试图理解这些现象；而当他们需要更强大的工具或方法来解释或解决问题时，他们会发明新的数学概念和理论。这种发明与发现的循环，推动了数学不断前行。
更进一步地看，发明与发现的关系并不是彼此对立的，而是相辅相成的。数学家的发明往往为新的发现铺平了道路。例如，黎曼几何最初是作为一种抽象的数学发明，但后来发现它在描述宇宙的结构时极其重要，成为广义相对论的数学基础。同样，概率论最初是为了解决赌博问题而发明的，但后来被发现能够描述自然界的各种随机现象，成为现代统计学和量子力学的重要工具。
这种相互依赖的关系还表现在数学与其他科学领域的关系中。科学家们在研究自然现象时，经常会发现某些规律，这些规律在某种程度上可以用现有的数学工具来描述；但有时现有的数学工具不足以完全捕捉这些规律，这时数学家就会发明新的方法和理论，来更好地解释这些现象。例如，微积分就是牛顿和莱布尼茨为了描述物理世界中的变化率而发明的，而这一发明反过来又帮助我们发现了更深层次的自然规律。
其实上述谈论本身隐含着关于“发现”和“发明”的定义，我这里对两个概念的定义如下。
发现是一个从已知世界中揭示未知的过程。它强调的是对客观存在的揭露，是对那些无论人类是否意识到它们，都客观存在的数学事实的认识。例如，π的发现并不是因为有人定义了π，而是因为圆的几何特性自然而然地存在于我们周围的世界中。类似的，勾股定理、斐波那契数列等数学规律的“发现”也是如此——它们在自然界中已经以某种形式存在，而数学家只是通过推理和演算，揭示并精确定义了这些规律。
另一方面，发明则涉及人类思维的创造性贡献。它不依赖于自然界的直接表象，而是基于逻辑和理论的需要，创造出新的数学概念或工具。例如，虚数的发明就是典型的例子。虚数并没有在物理世界中直接的对应物，但它的发明极大地扩展了数学的适用范围，开辟了新的研究领域。同样，非欧几何的发明也是数学家对传统几何学体系的突破，它不仅扩展了几何学的边界，也在物理学中找到了重要的应用。
或许当我们普通人谈论“数学是发明还是发现”这个问题时，最重要的不是非要分清二者（大家或许对发明和发现的定义根本就是不同的），而是要认识到，数学的伟大之处正是在于它能在发明与发现之间自由切换，既能揭示宇宙的深邃真理，也能创造出前所未见的概念和世界。这种独特的双重角色，使得数学成为了人类文化中不可或缺的部分，也让我们能够不断超越自身的认知极限，去探索那无尽的未知。(作者:王海华）
