了解过数学建模尤其是数学建模竞赛的同学，一定对层次分析法(AHP) 不陌生，通过该方法我们可以将复杂的决策问题分解为更易于处理的层次结构，并通过两两比较来量化不同因素的相对重要性。
AHP方法自从20世纪70年代由托马斯·L·萨蒂（Thomas L. Saaty）提出以来，已经广泛应用于管理、工程、经济等领域。
该方法有一个重要的理论基础，就是佩罗-弗罗贝乌斯定理（Perron-Frobenius Theorem）。这个定理揭示了正矩阵和非负矩阵的特征值及其特征向量的关键性质，为层次分析法中的比较矩阵提供了理论支持。
本文就来详细谈一谈佩罗-弗罗贝乌斯定理。
佩罗-弗罗贝乌斯定理
在理解该定理之前，我们需要先了解一些基本概念。
佩罗-弗罗贝乌斯定理主要处理的是正矩阵（所有元素均为正数的矩阵）和非负矩阵（所有元素均为非负数的矩阵）。这些矩阵在数学建模中的许多领域有着广泛的应用，比如在AHP中，两两对比矩阵就是一种典型的非负矩阵。
非负矩阵
下面就是一个两两对比矩阵的例子：
假设我们有三个决策因素 和 ，需要根据它们的重要性来进行比较。我们可以构建一个 的两两对比矩阵 :
在这个矩阵中， 表示因素 相对于 的重要性，如果 ，则意味着 比 更重要。相应地，矩阵中的对角线元靚均为 1 ，表示每个因素与自身的比较重要性为 1 ，而元素 则反映了相对重要性的一致性。
特征值与特征向量
为了进一步理解这个矩阵的性质，我们可以求解它的特征值和特征向量。
特征值 和特征向量 满足以下关系：
也就是说，将矩阵 乘以一个向量 后，结果等于 的一个标量倍 ，其中 是特征值， 是与之对应的特征向量。在AHP中，最重要的是找到最大的特征值 及其对应的特征向量，因为这对应于矩阵的主特征向量（Perron向量），可以用来确定决策因素的权重。
佩罗-弗罗贝乌斯定理
佩罗-弗罗贝乌斯定理可以简单表述如下:
对于一个不可约的非负矩阵 ，存在唯一的实数 （即谱半径），使得 是 的一个特征值，并且与此特征值对应的特征向量是正的（所有元素都是正数）。
对于正矩阵（即所有元素均为正的矩阵），上述特征值 是唯一的，并且其对应的特征向量也是唯一的（最多可以在一个正比例因子范围内）。
其中不可约矩阵指的是它不能通过行列的重新排列分解为上下块对角矩阵。换句话说，一个不可约矩阵在其图论表示中对应的是一个强连通图，即从图中的任意一个节点都可以通过某种路径到达任何其他节点。
当然，对于非负可约矩阵，也有对应的性质，只是没有不可约矩阵那么强：
非负可约矩阵的最大特征值（谱半径）依然存在且为非负数，但与其对应的正特征向量可能不是唯一的，且这些特征向量可能仅在某些子空间上为正。此外，与不可约矩阵不同，可约矩阵的最大特征值可能与其他特征值不完全分离，可能存在多个模等于最大特征值的特征值。
更多性质可以参考【1】。
在层次分析法中，比较矩阵通常是不可约的，因为每个因素都被拿来与其他因素进行比较，并且这些比较形成了一个相互联系的整体。不可约性确保了矩阵的主特征值（即最大特征值）是唯一且对应正特征向量的。
在AHP中的应用
通过佩罗-弗罗贝乌斯定理，我们可以从两两对比矩阵中提取出一组一致性权重，这些权重表示各决策因素相对于总体目标的重要性。这一特征向量在归一化后，可以被解释为因素的相对权重，用于最终决策的综合评分。
另外，由于决策者的主观判断，两两对比矩阵可能会出现不一致的情况，即矩阵可能无法严格满足完全—致性条件 。这时候，佩罗-弗罗贝乌斯定理也帮助我们理解这种不—致性，并为我们提供了一致性检验的方法。
具体来说，我们可以通过比较矩阵的最大特征值 与矩阵的阶数 来进行一致性检验。如果 ，则矩阵是完全一致的；否则，我们可以计算一致性指标（CI）：
然后通过一致性比率（CR）来评估一致性水平：
其中 是随机一致性指标，它是根据矩阵阶数 从随机生成的矩阵的平均—致性指标计算得到的。当 小于某个阈值（通常是 0.1 ）时，矩阵被认为具有可接受的一致性；否则，需要重新审视和调整两两比较。
进一步的意义
佩罗-弗罗贝乌斯定理不仅在AHP中发挥了重要作用，在其他数学和应用领域中也有广泛应用。例如，在马尔可夫链、人口统计模型、网络分析等方面，这一定理帮助研究人员理解和分析正矩阵和非负矩阵的行为。
马尔可夫链
在马尔可夫链中，转移矩阵通常是非负矩阵。佩罗-弗罗贝乌斯定理在这里帮助我们理解稳定分布或平稳分布的存在性及唯一性。对于一个不可约的马尔可夫链，其转移矩阵的最大特征值为1，并且对应的特征向量（即平稳分布向量）是非负且唯一的。这使得我们能够预测系统在长期运行后将达到的稳定状态。
人口统计模型
在人口统计学中，生存率矩阵或者迁移矩阵常常是非负的，且在一定假设下可以被视为不可约的。佩罗-弗罗贝乌斯定理帮助分析这些矩阵的长期行为，例如某一群体的增长率或稳定人口分布。通过理解矩阵的最大特征值和对应的特征向量，人口学家可以预测长期的人口变化趋势。
网络分析
在网络科学中，节点之间的连接可以用邻接矩阵来表示，该矩阵通常也是非负的。通过佩罗-弗罗贝乌斯定理，可以确定网络中某些节点的重要性或中心性。例如，PageRank算法的基础正是基于这一定理，用于评估网页在互联网上的重要性。通过求解网络中不可约的邻接矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，研究者可以识别出在整个网络中最具影响力的节点。
佩罗-弗罗贝乌斯定理为我们提供了分析非负矩阵和正矩阵的有力工具，理解该定理有助于加深我们对常用数学模型的认识和理解。（作者：王海华）
参考资料：https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem
