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概率论与数理统计学习——从投掷问题到概率论的创立(1)——分赌本问题(点数问题)

文摘 2024-08-07 18:56 云南

根据本人实际情况，前面“微积分系列”暂停更新，感兴趣的读者可留言咨询书籍。接下来我想更新有关“概率论”的知识，因为这部分对我来说不是很熟悉，作为未来高中数学教育工作者，这肯定是不行的。

我计划先简述“概率论”的发展历史，并站在教学角度，和大家聊聊概率思想，希望对大家有帮助，也希望大家继续多多支持。

通常认为概率论开始于骰子应用，源于分赌本问题(或称点数问题)，所谓分赌本问题：

A、B

两人赌博，其赌博技术相当，约定谁先胜

s

局则获全部赌金。若进行到

A

胜

s_{1}

局而

B

胜

s_{2}

局时

(s_{1}<s,s_{2}<s)

，因故停止赌博，问赌金如何分配才公平？

这个问题吸引了很多数学家的眼光，并开展了相关研究。历经200多年的时间，经过几代数学家的辛勤努力。该问题最终由帕斯卡和费马解决，并将其推广到一般情形。

接下来讲述“分赌本问题”的解决历程。

分赌本问题最早见于意大利数学家帕乔利(1445-1517)的《算术、几何及比例性质摘要》一书中，该书记载：

A、B

两人约定进行一场公平赌博，先赢得

s=6

局获胜，而在

A

胜

s_{1}=5

局且

B

胜

s_{2}=2

局时中断，帕乔利认为赌博最多需要进行

2(s-1)+1=11

局，因而赌金分配方案应为

s_{1}/(2s-1)

与

s_{2}/(2s-1)

之比，即

s_{1}/s_{2}=5/2

。为什么？帕乔利没有给任何解释。

1539年，卡尔达诺(1501-1539)通过实例指出帕乔利的分配方案是错误的。他认为，对于

A

有利的情形是：若再赌

1

场则

A

胜；若赌

2

场，则

B

先胜

A

后胜；若赌

3

场，则

B

胜

2

场而

A

胜最后

1

场；若赌

4

场，

B

胜

3

场而

A

胜最后

1

场。只有在赌

4

场

B

全胜时才对

B

有利。于是得出应按

(1+2+3+4)/1

来分。

1556年，塔尔塔利亚 (1499-1557)也批评了帕乔利的解法，并甚至怀疑能找到数学解答的可能性。“类似问题应属于法律而非数学，故无论如何分配都有理由上诉”。不过，他也提出了一种解法：若

s_{1}>s_{2}

，则

A

除了取回自己的赌金还要取

B

的赌金的

(s_1-s_2)/s

，假设两人的赌金相等，则分配比例是

[s+(s_1-s_2)]/[s-(s_1-s_2)]

。

1603 年，弗雷斯坦尼导出分配规则：首先 A 和 B 各按

s_1/(2s-1)

和

s_2/(2s-1)

的比例来分配赌金，然后再把余下的赌金平均分配。则最终

A、B

分配比为

(2s-1+s_1+s_2)/(2s-1-s_1+s_2)

。

可以发现，在诸多求解过程中，只有卡尔达诺意识到分配原则不应该依赖于

(s,s_1,s_2)

，而应该和赌徒全胜的差数有关。

那这个问题，帕斯卡和费马是怎么解决的呢？

明天接着聊。

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIwMDY0NDg4Mg==&mid=2247484207&idx=1&sn=f63bfc192a4b9b978f6f4065360f461e

从薄到厚学数学

数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑...这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。。。罗素

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