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“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(八)——极限概念1

文摘 2024-07-31 18:57 云南

“理工科”准大学生看过来——微积分在线一起学(一)

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(二)——反函数

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(三)——复合函数

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(四)——三角函数：兼谈为什么使用弧度制而不是角度制。

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(五)——三角函数的概念及诱导公式

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(六)——复习三角函数图象及性质、三角恒等变换、三角函数应用

高中不讲，大学老师默认你会的知识确定不学学？“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(七)——反三角函数

学习微积分，就必须学习极限的概念。如果没有极限的概念，那么微积分将不复存在。这就是说，花大量的时间去研究极限是必要的。

其实在中小学阶段的数学学习过程中，学生是有关于极限的经验的，而且还是非常丰富的。

小学阶段的利用圆周长求圆面积的方法：

至于高中，最能体现的莫过于在教材中推导“球的体积公式”那，这不就是妥妥的积分思想：分割、近似求和、取极限吗？

可见，教材编写者在中小学已经慢慢渗入极限思想了，当然这是基于直观上的。鉴于此，延续这种习惯，先给出极限的一种直观描述，这对于解决很多问题已经足够了。当然，文章末尾会给出极限的真正定义。

其实很多教材都是先讲数列的极限，最经典的引入例子就是这个：

但是这里先讲函数极限，这样做没有什么坏处，好处还多多。接下来步入主题，对于函数：

f(x)=x-1\ (x\neq2)

，提出这样一个问题：当

x

趋于

2

，但

x

\neq2

时，

f(x)

是什么样子呢？

很熟悉的问题，如果是刚进入学习微积分的读者，刚看到这个问题可能会联想到物理学里面的“瞬时速度”。

那么对

f(x)=x-1\ (x\neq2)

，当

x

趋于

2

，但

x

\neq2

时，

f(x)

是什么样子呢？也许会说

f(2)=1

，这是瞎扯，因为

2

根本不在

f(x)

的定义域内。

那对于这个问题如何切入思考呢？当

x

趋于

2

时，可以找一些找到

f(x)

的一些值。如

f(2.01)=1.01

、

f(2.001)=1.001

、

f(1.99)=0.99

、

f(1.999)=0.999

......

结合图象，直观上感受，当

x

趋于

2

时，

f(x)

的值趋于

1

。就记为

\underset{x \rightarrow 2}{lim}f(x)=1

，读作“当

x

趋于2，

f(x)

的极限等于

1

”。

现在，对上面这个函数做一点改动，得到：

g(x)=\begin{cases}x-1,&x\neq2\\3,&x=2\end{cases}

，其图象如下：

那么，

\underset{x \rightarrow 2}{lim}g(x)=?

只需要理解到

g(2)

的值和

\underset{x \rightarrow 2}{lim}g(x)

是不相关的，这个后面再讲。

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIwMDY0NDg4Mg==&mid=2247484196&idx=1&sn=3a494e8bc463fd8fa29bb8b481cfaf7b

从薄到厚学数学

数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑...这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。。。罗素

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