前面从直观想法出发，通过逐步进行修正，最后成功构造了“方差”这一统计量。接下来遵循这种思想，构造成对数据的相关系数。接下来先说明这部分知识的由来，大家看起来思路才清晰。两个变量之间的数量关系无非就两种：函数关系和相关关系。函数关系是大家非常熟悉的。相关关系可以直观描述：当一个变量 取一定数值时，与之对应的另一个变量 的值虽然不完全确定，但它按某种规律在一定的范围内变化。这就很有趣了，生活中也是有很多例子，比如家庭收入和消费支出、人的身高和脚的长度、数学成绩和英语成绩、气温和热饮销量等等，之所以说是相关关系，是因为变量 是影响变量 的主要因素，但不是唯一因素，因为还有其他种种因素，而这些因素又不能人为完全把握。研究函数关系，可以利用数学分析的方法，这个大家学了那么多求函数解析式的方法，例如已知 和 之间具有线性关系，即 ，此时只需要知道变量的两组取值就可以确定函数表达式。但是研究相关关系就必须对变量进行多次观测，借助统计的相关思想和方法进行解决。由于相关关系的不确定性，寻找变量 和 之间的相关关系时，首先要对变量进行观测。怎么观测呢？设 次观测值为 。在直角坐标系 中，横坐标代表变量 ，纵左边代表变量 ，将数据利用坐标点的形式描绘出来，得到的图形称为散点图。如果这些点大致分布在一条直线附近，但是又不完全在一条直线上，说明变量间具有线性相关关系；如果这些点大致分布在一条曲线附近，说明变量间具有非线性相关关系；如果这些点的分布没有什么规则，说明这两个变量间没有相关关系。对于线性相关关系，在散点图中，如果这些点从左下角沿着右上角直线分布，那么两个变量正相关；如果这些点从左上角沿着右下角直线分布，那么两个变量负相关；散点在整体上和某一直线越接近，两个变量间的线性相关关系越强。这部分讲了“估计回归系数时的偏差平方和”时再进行说明，接下来进入主题。从定性角度来看，散点在整体上和某一直线越接近，两个变量间的线性相关关系越强。进而从定量角度分析，如何构造一个统计量来刻画两个变量间相关关系的强弱呢？![]()
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直观观察，这些点大致分布在从左下到右上的一条直线附近，所以变量 和变量 之间是线性相关关系，并且是正相关。如果课堂上学生问这样一个问题：从散点图上看，变量 和变量 也可以是函数关系，用分段函数来表达其函数解析式。我觉得学生真的可以提出这个问题也是挺棒的，如果你是教师？怎样解答这个问题，欢迎大家留言交流。接下来，给出一般性的做法，然后结合这个例子来操作。
(1) 设 次观测值为 ，且 与 分别是 和 的平均值，将数据以 零点进行平移，得到平移后的成对数据：并画出散点图。对于这个例子：平移后的数据，红色对应变量 和变量 的平均值。![]()
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这里就有一个问题了，为什么要这样进行平移？这个数据为什么要这样处理？大家请思考：
结合实际生活中来看，比如前面说的家庭收入和消费支出、人的身高和脚的长度、数学成绩和英语成绩、气温和热饮销量等，通过随机抽样获得的样本数据 都是正值，那么画出来的散点图数据都集中在第一象限。而“对于线性相关关系，在散点图中，如果这些点从左下角沿着右上角直线分布，那么两个变量正相关；如果这些点从左上角沿着右下角直线分布，那么两个变量负相关；散点在整体上和某一直线越接近，两个变量间的线性相关关系越强”。这一点深深地刺激了大脑，不禁联想起来：对于正比例函数 ，当 时，函数图象经过一、三象限；当 时，函数图象经过二、四象限；在本文这个例子中，变量 和变量 之间是线性相关关系，并且是正相关。仔细观察经过处理后得到的散点图，发现什么？这些点大多数分布在一、三象限，所以其横、纵坐标同号。那大家自己脑补一下，变量 和变量 之间是线性相关关系，并且是负相关呢？那经过处理后得到的散点图中，大多数点分布在二、四象限，所以其横、纵坐标异号。这样一处理，不仅使成对数据的关系是正相关还是负相关与正比例函数联系起来，还对构造统计量有了进一步的直观想法。(2) 在(1)的基础上，知道了是正、负相关关系的数据在坐标系中的分布特征，那接下来怎么构造这个统计量？大家继续思考
正相关，分布在一、三象限，其横、纵坐标同号；负相关，分布在二、四象限，其横、纵坐标异号。想起来乘法法则“同号得正、异号得负”。所以得到：平移之后得成对数据横、纵坐标之积的和的正负可以反映两个变量是正相关还是负相关。
所以在一般情形下，当 时成对样本数据正相关；当 时成对样本数据负相关。(3)到现在还是不满意，因为 受数据量纲的影响，为了消除量纲的影响，可以对数据进行标准化处理。用(这个公式打得我累)， 称为变量 和变量 的样本相关系数。问题又来了，样本相关系数 的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？![]()
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后面在分析相关分析与回归分析的关系时，对 将有进一步认识。
这里还要注意两点：
(1) 相关系数只是衡量变量间线性关系的密切程度，即使变量间有确定的非线性函数关系， 可能非常接近 。
(2) 当样本量 很小时，即使 非常接近 ，也不能表明变量间的线性关系很强，这是很容易理解的。
写到这里，相信大家对相关系数又有新的认识。那它有哪些应用呢？我突然想起来，教育研究里面很常用的“一致性研究”，涉及到“一致性系数”的计算，其底层逻辑就是计算“相关系数”的思维：![]()
研究一致性很有趣的，有试题与课程标准的一致性研究、教科书与课程标准一致性研究、课堂教学与课程标准一致性研究等等，现有的模式主要有基于Achieve、Sec、Webb三种模式的一致性分析，但是关键步骤“编码”主观性较大，近年来在我国不怎么受欢迎了。很多学者都在呼吁制定符合我国国情、符合中国教育特色的课程标准、试题等一致性分析框架，这有待大家努力。除了一致性系数的应用外，在教育测量中，测验的统计指标有难度、区分度、信度和效度都是应用相关系数，具体就不一一展开了。
