高中不讲，大学老师默认你会的知识确定不学学？“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(七)——反三角函数

文摘 2024-07-30 19:01 云南

很好，时机已经成熟，正式进入学习：反三角函数。

我只能说反三角函数这一部分知识很重要，记得我大一上数学分析时，老师默认这一部分知识是学生会的，然后他讲得陶醉其中，学生也听得“陶醉其中”，讲到后面才发现学生们掌握得一塌糊涂，后来他又返回去补这一部分知识，可见其重要性不言而喻。

谈到反三角函数，顾名思义，就是三角函数的反函数。那就得谈到“反函数”和“三角函数”，还好之前做了基础铺垫。

既然谈到反函数，就必须回到这篇文章

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(二)——反函数

的三个问题：

(1) 如何判断一个函数有没有反函数？

(2) 如果有，怎样去求得反函数？

(3) 如果一个函数没有反函数，可以去怎样改变这个函数进而得到新的函数，促使其有反函数。

那三角函数有没有反函数呢？怎么去判断？哦，对了，利用“水平性检验”。以正弦函数

y=sinx

来看，先做水平性检验：

糟糕，显然不满足水平性检验的要求，所以正弦函数

y=sinx

没有反函数。但是又说要学习反三角函数的知识，是不是我搞错了？没有搞错哦。哦。回想起来问题

(3) 如果一个函数没有反函数，可以去怎样改变这个函数进而得到新的函数，促使其有反函数。答案是——限制定义域。

那要进行怎么操作才能使正弦函数

y=sinx

有反函数呢？当然是限制定义域呀。关键是正弦函数

y=sinx

的定义域是

R

，怎么限制呢？

思考一下，正弦函数

y=sinx

是奇函数，要使其有反函数即满足水平性检验，所以将其定义域限制在

x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

，现在再去水平线检验看看：

真好，对正弦函数

f(x)=sinx

，

x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

。有反函数，一般记为

f^{-1}(x)=arcsinx

，就叫作反正弦函数。那这个函数的定义域、值域及图象又是什么样呢？大家思考一下。

哦，根据反函数的概念：互为反函数的两个函数的定义域、值域正好互换。

对于正弦函数

f(x)=sinx

，

x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

。定义域是

x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

，值域是

[-1,1]

。

所以反正弦函数

f^{-1}(x)=arcsinx

的定义域就是

[-1,1]

，值域就是

[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

。那其图象是什么样呢？

再根据——互为反函数的两个函数图象关于直线

y=x

对称。所以有反正弦函数

f^{-1}(x)=arcsinx

的图象：

完美，相信聪明的你自己会去通过如何限制定义域之后求反余弦函数

y=arccosx

、反正切函数

y=arctanx

的定义域、值域、图象了，至于其他性质后面再看。

下面直接给出反余弦函数

y=arccosx

、反正切函数

y=arctanx

的图象，因为这三个用的较多。如果不会，欢迎留言讨论。

反余弦函数

y=arccosx

：

反正切函数

y=arctanx

：

真的，后面这两个函数怎么来的？一定要自己类比上面的思维过程操作一遍。

明天见，看微积分的核心：极限。

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIwMDY0NDg4Mg==&mid=2247484186&idx=1&sn=6c38b6761ff550bf36e51d4cd211406a

从薄到厚学数学

数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑...这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。。。罗素