一道二次函数求参数问题
题目:已知函数,其中.若恰好有两组解使得在定义域上的值域也为，求的取值范围。
看见这道题目时，首先让我懵了一下的是“恰好有两组解”，什么叫恰好有两组解？后来思考了一会儿应该是在函数在定义域上存在，并且,为什么？因为这是区间。使得...要不然这题理解不了，思考、解答完之后去某猿、某克搜索确实是这样的。
理解题目之后，就来分析题目吧，对于函数,其中.这个函数图像很简单的，相信大家都会画：
第一种方法，去绝对值即分类讨论得到函数的图像；
第二种方法，直接根据绝对值函数的性质将函数在轴负半轴部分沿轴对折上去即得到函数的图像。相信大家都会，最后图像是这个：
函数的图像：1、显然关于轴对称；2、随着参数的变化，函数图像与轴的交点也在变化；3、图像恒在轴上方，即。
算了，放个截图好分析题目，花里胡哨的弄那么多干啥，
那接下来怎么分析在定义域上的值域也为，继续思考观察。
一方面，由,要使在定义域上的值域也为，则；
另一方面，在 上，有零点,并且容易得到当时，此时单调递减；当时，此时单调递增。
结合这两方面，分类讨论所属区间时函数对应的单调性，加上要使在定义域上的值域也为就可轻松解决本题了。
【解】 容易得到，,结合题意知且，(想一想，为什么呢？)接下来分类讨论：
① 当时，此时,单调递减，则要使要使在定义域上的值域也为，则
化简得到：，
注意，一定要抓住题目所求是什么，要不然根本不知道接下来怎么操作了。题目所求的是的取值范围，现在有了与的关系上，结合化简得到的，则有
发现了什么？接下来利用方程的思想就可以解决问题了：由上式知道是方程
的两根。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。现在问题就很清晰了，将问题转化为：已知：方程
有两根,并且，求的取值范围。这个大家肯定都会：只需满足：自己一定要算一遍，解得:.
② 当时，因为,所以,故此时最大值为.
②.1 当最大值为时，则
即
结合 解得
②.2,同理，当最大值为时，则
结合，最后解得
③ 当时，这种情况和第一种情况类似，一定要自己分析一遍，这种情况是无解的。综上，的取值范围是。
自己做的题太少，后来查阅资料，这种题的背景是“和谐区间”，当然也可以将其一般化，比如存在定义域使得值域为等等。
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