基本事件是相对的还是绝对的?
高中概率与统计部分是一个难点,知识晦涩难懂,不仔细理一遍其知识细节,找准知识之间的结构与关联,怕自己都深陷云里雾里,更别说以后教学生了。
对于概率与统计这一块,课标是这样说的:概率的研究对象是随机现象,为人们从不确定的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。统计的研究对象是数据,核心是数据分析。概率为统计的发展提供基础。
仔细阅读课标的这句话:概率为统计的发展提供基础。那应该来说,应该先学概率,再学统计呀。但是现行教材处理概率与统计这部分知识的框架是这样的:
教材编写者为什么这样处理呢?可能是基于学生、知识和社会某些因素,做出这样的处理吧。
回到今天的主题:基本事件是相对的还是绝对的?那当然要先理解基本事件的概念。
在必修二第十章概率的10.1随机事件与概率部分,说明了基本事件的概念。
先有随机试验:把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,常用字母E表示。在概率中只研究有以下特点的随机试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,不轻不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果。
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,一般用表示样本点 ;全体样本点的集合称为随机试验E的样本空间,一般用表示样本空间。
如果一个随机试验E有个可能结果,则称样本空间为有限样本空间。
根据集合的知识,将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,一般用大写字母表示。
千呼万唤始出来,把只包含一个样本点的事件称为基本事件。
直接从定义出发,基本事件有如下特点:
(1)互斥性,任何两个基本事件是互斥的;
(2)可表性,任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的并;
因此,这两个特点保证了任何事件都可以用基本事件不重不漏地表示。
那么,基本事件是相对的还是绝对的?来看一个具体例子:
问题:连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是偶数的概率。
相信聪明的你已经求出答案了。怎么求得呢?
解法一:
用分别表示第一、第二次抛掷骰子所得的点数,用表示两次抛掷骰子的结果,则样本空间
不管是通过列表格还是树状图,容易得到基本事件的总数是36,将事件“点数之和是偶数”记作,在表格或树状图中去一一数:不难得到事件包含的基本事件个数是18,根据古典概型得:简单,这个初中生就会了,那还有没有其他做法呢?解法二:
要求向上的点数之和是偶数的概率,抛掷出来的骰子点数要么是偶数要么是奇数,因此有用分别表示第一、第二次抛掷骰子所得点数的奇偶性,用表示两次抛掷骰子结果的奇偶性,此时基本事件就应该只有几个?
4个,即
注意注意,由于抛掷骰子时点数是奇数还是偶数的可能性相等,进而可知出现上述四个基本事件的可能性也相等,所以才可以使用古典概型计算。
而其中点数之和是偶数的有(奇,奇),(偶,偶)这两个,故将事件“点数之和是偶数”记作,所以
比较上面两种做法,答案相同,但解法二的过程更简单。因此,可以得到,基本事件不是绝对的。
或许还应该得到:确定基本事件要以能够解决问题为目标,建立适当的概率模型。对于同一随机试验,因要解决的具体问题不同,确定基本事件的做法可能也不同。要能找出最简明地揭示问题本质的做法。当然也不能以单纯地“不能再分”或“数量少”作为确定基本事件的准则。例如本问题要求“向上的点数之和是5”,那只能老老实实解法一,解法二就行不通了。