首页时事民生政务教育文化科技财富体娱健康情感

旅行百科职场楼市企业乐活学术汽车时尚创业美食幽默美体文摘

高中概率与统计难点分析(必修部分)：统计内容的理解与教学思考2——数字特征的理解、方差公式是怎么构造出来的？

文摘 2024-08-10 15:45 云南

高中概率与统计难点分析(必修部分)：统计内容的理解与教学思考1

今天主要看看数据集中程度、离散程度的刻画等。

1、对数字特征的理解

统计最重要的思想就是用样本推断总体。统计估计和假设检验是两种基本的推断方法，估计内容包括用样本数字特征估计总体特征。

描述一组数据的统计特征的量称为统计量，按其作用可分为以下几大类：

(1)描述数据集中趋势的量:平均数、中位数、众数、百分位数

(2)描述数据离散程度的量:方差、标准差、极差

(3)描述两组数据关系密切程度的量:相关系数

下给出这几个统计量的意义、优缺点、适用范围，至于不同统计量的计算公式由来后面会谈。

2、对数字特征认识的层次性

在初中阶段的基础上，如何引导学生认识这些统计量的意义、优缺点、适用范围等，这是教学中需要认真思考的问题。随着学生年龄增长、学习的深入，学生对不同统计量的认识层次也在不断提升，下以“对平均数认识的几个层次”为例展开说明。

(1)在初中阶段，只知道一组数据

x_1,x_2,...,x_n

的平均数定义为

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}

然后得到以下性质：(1)

x_1+x_2+...+x_n=n\bar{x}

；(2)各数据与平均数的偏差和等于

0

：

(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+...+(x_n-\bar{x})=0

，这个性质很重要，后面要用。

(2)在高中阶段，要能理解样本平均数与总体平均数的关系，根据频率分布表或直方图近似计算平均数，由多组样本的平均数计算总的平均数。

(3)在大学阶段，大数定律严格描述样本平均数与总体平均数的关系，这些后面再讲。

3、方差公式是怎么来的？

3.1 方差的由来：在很多时候，几组数据的平均数、中位数、众数都是一样的，所以只知道数据的集中趋势信息，这就不能做出有效决策，因此还要考虑数据的离散程度。描述一组数据的离散程度可以用极差，但是极差所含的信息量很少，对其他数据的取值情况没有涉及。因此要考虑寻找其他统计量来描述数据的离散程度。

直观上看，描述一组数据的离散程度可以通过这组数据与其平均数的“远近”来刻画，所以就要构建一个统计量，用于描述一组数据相对于其平均数的离散程度。其基本思路和调整过程大致如下：

(1) “远近”可以用偏差来刻画：

x_i-\bar{x},i=1,2,..,n

，由前面知道

\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum}}(x_i-\bar{x})=0

.

(2) 为了防止正负偏差相互抵消，对偏差取绝对值再求和

\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum}}|x_i-\bar{x}|

（3）绝对值运算不方便，改为偏差平方和

\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum}}(x_i-\bar{x})^2

（4）为消除数据个数的影响，取偏差平方的平均数得方差

s_{n}^2=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum}}(x_i-\bar{x})^2

（5）为了保持和原始数据单位一致，取方差得算术平方根得标准差

s_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\stackrel{n}{\sum}}(x_i-\bar{x})^2}

这种构造思想是很重要的，其大致按照从直观想法出发，逐步进行修正。后面构造描述成对数据的相关系数、估计回归系数时的偏差平方和、独立性检验的统计量都用到这种思想。

4、百分位数的概念及应用

百分位数是教材新增的内容，相当于将中位数推广到一般化了。这一部分的内容要结合一些典型案例，经历系统的数据处理过程，才能对这部分知识理解到位。教材上是通过市民用水问题进行说明，其定义和计算方法如下：

一般地，一组数据的第

p

百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有

p\%

的数据小于或等于这个值，且至少有

(100-p)\%

的数据大于或等于这个值。

计算一组

n

个数据的第

p

百分位数的方法如下：

(1)）按从小到大排列原始数据

(2) 计算

i=n*p\%

(3) 若

i

不是整数，而大于

i

的比邻整数为

j

，则第

p

百分位数为第

j

项；若

i

是整数，则第

p

百分位数为第

i

项与第

(i+1)

项的平均数。

明天开始，看看这部分：

描述成对数据的相关系数、估计回归系数时的偏差平方和、独立性检验的统计量是怎么构造出来的？

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIwMDY0NDg4Mg==&mid=2247484768&idx=1&sn=3e21a85ee5cfd86a274d73c590064a78

从薄到厚学数学

数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑...这种美没有绘画或音乐那样华丽的装饰，它可以纯洁到崇高的程度，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界。。。罗素

最新文章

做题4、四道有趣的数论题的解答

做题3、数论第二题等着你来做

做题2、整除及带余除法定理 ——来做几道数论题

做题1：一道二次函数求参数问题

探索招生考试相对分离，高校考生对等选择的高考招生制度——浙江高考综合改革十年实践与思考

“智力奥运会”作为一种识别天才的方法：苏联和俄罗斯的经验(二）

“智力奥运会”作为一种识别天才的方法：苏联和俄罗斯的经验(一）

一道95%以上的考生解不出来的高考数学题思考与解答

高中概率必修部分知识的梳理

基本事件是相对的还是绝对的？

为什么不能说概率是频率的极限

高中概率与统计难点分析5：一元线性回归模型回归系数的最小二乘估计兼谈相关与回归关系

高中概率与统计难点分析(选修部分)4：一元线性回归模型之最小二乘思想

高中概率与统计难点分析(选修部分)3：成对数据的相关系数是怎么来的？

高中概率与统计难点分析(必修部分)：统计内容的理解与教学思考2——数字特征的理解、方差公式是怎么构造出来的？

高中概率与统计难点分析(必修部分)：统计内容的理解与教学思考1

概率论与数理统计学习——从投掷问题到概率论的创立(2)——分赌本问题(点数问题)

概率论与数理统计学习——从投掷问题到概率论的创立(1)——分赌本问题(点数问题)

“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(八)——极限概念1

高中不讲，大学老师默认你会的知识确定不学学？“理工科”准大学生看过来：微积分在线一起学(七)——反三角函数

分类

原创标签

时事社会财经军事教育体育科技汽车科学房产搞笑综艺明星音乐动漫游戏时尚健康旅游美食生活摄影宠物职场育儿情感小说曲艺文化历史三农文学娱乐电影视频图片新闻宗教电视剧纪录片广告创意壁纸头像心灵鸡汤星座命理教育培训艺术文化金融财经健康医疗美妆时尚餐饮美食母婴育儿社会新闻工业农业时事政治星座占卜幽默笑话独立短篇连载作品文化历史科技互联网

发布位置

广东北京山东江苏河南浙江山西福建河北上海四川陕西湖南安徽湖北内蒙古江西云南广西甘肃辽宁黑龙江贵州新疆重庆吉林天津海南青海宁夏西藏香港澳门台湾美国加拿大澳大利亚日本新加坡英国西班牙新西兰韩国泰国法国德国意大利缅甸菲律宾马来西亚越南荷兰柬埔寨俄罗斯巴西智利卢森堡芬兰瑞典比利时瑞士土耳其斐济挪威朝鲜尼日利亚阿根廷匈牙利爱尔兰印度老挝葡萄牙乌克兰印度尼西亚哈萨克斯坦塔吉克斯坦希腊南非蒙古奥地利肯尼亚加纳丹麦津巴布韦埃及坦桑尼亚捷克阿联酋安哥拉