抽象代数中的环论番外篇4： Galois 理论

 上一篇文章提到, 当Ruffini和Abel彻底解决一元次方程求根公式的存在性问题之后, 解方程这条田径赛道上的接力棒传递给了Galois, 他现在面临的问题是给出求根公式存在性的判定方式以及表述形式, 即: 给定一个一元次方程, 我们能否判定其求根公式的存在? 如果存在, 它的求根公式又是怎样的? 历史上Galois以短短几年便从Lagrange的预解式理论出发, 完美地回答了第一个问题, 并将第二个问题传递给了后来者. 现在, 就让我们来看看这位年轻的数学天才是如何从Lagrange忽略的细节着手, 构建起他的理论的. 以及, 这个理论又是如何用来判定求根公式的存在性的. 

5. Galois发现了什么大秘密?

 现在先让我们总结一下中篇中提到的Lagrange预解式理论(也就是这个番外的第4节)到底说了什么, 毕竟我们当时只是给出了一些例子.

 Lagrange是这样想的: 首先, 对于数域上的一元次方程:

根据Gauss已经证明了的代数基本定理, 在考虑重根的情况下它有个根, 设这个根为, 则可以将等式左边的多项式分解为, 然后比较系数就能得到Vieta定理:

这里是关于的次齐次初等对称多项式. 它在群作用下不变, 即对于任意的, 有. 如果将其视作关于的个方程, 将它们联立起来不过是重新得到了原方程罢了. 因此我们不可能单纯通过联立Vieta定理得到的个方程去解出个未知数来. 那么怎么求解这个未知数呢? 最自然的想法自然是构造一个线性方程组

其中就是由待求的个解构成的向量. Lagerange最敏锐的一点就是观察到了

这个特殊的多项式. 首先, 对这个多项式次方, 就可以得到一个几乎不变的多项式, 而在中的一些特殊的对称操作下, 可以组合得到一些对称多项式, 从而可以用进行表示, 最终就可以解出来, 于是这个方程联合这个方程就构成了我们要的线性方程组. Lagrange的工作就是给出了具体操作, 并证明了这样做的可行性(当然, 是对而言), 比如说开根的时候选取的那个根对最终求解没有影响, 又比如说我们这样构造出来的确实是满秩的.

 不过正如我们提到的, Lagrange的这项工作忽略了一个小细节, 这个细节被Galois发现了. 让我们重新回到那个我们最为熟悉的方程的求解上来. 对于一元二次方程

在使用Lagrange预解式对其进行求解的时候, Lagrange只想着破坏原本Vieta定理的对称性, 以及充分利用Vieta定理的对称性. 然而现在让我们仔细审查一下Lagrange预解式的结果:

这个等式的左边, 没问题, 它是中的多项式, 但是, 注意了啊, 第二个等式的右边, 这个式子的结果大概率是不会在当中的. 也就是说, 如果我们将等式的左边视作是中的线性方程组, 则这个方程组在当中无意义. 除非我们将扩展到包含的那个域当中, 也就是说二次方程要想能够求解, 就需要考虑扩域操作:

这个扩域行为很有特点, 它是在原本域的基础上加入了一个根式. 根据前文提到的Lagrange预解式的理论, 预解式最终都会从

入手, 两边开根号得到, 然后解线性方程组

得到根. Galois从中提取出根式扩张的概念, 什么是根式呢? 其实就是诸如, 这样的式子, 归根到底, 其实就是多项式的根(这其实就是预解式中这个式子), 纳入一个还不行, 上面的例子指出要想囊括二次方程的所有根, 我们其实应该同时纳入, 也就是的所有根. 只不过这里比较特殊, 和是一样的. 但是更高阶的情况就未必如此了. 而纳入多项式的所有根的扩张域, 不就是我们在上篇中提到的分裂域嘛.

定义5.1(根式扩张): 若域是域中多项式的分裂域, 则称是的单根式扩张. 如果域的与其扩域由单根式扩张升链连接, 则称是的根式扩张.

 根式扩张的这个概念是从Lagrange预解式的求解过程中引入的, 也就是说我们想要让预解式对应的方程的多项式有意义, 就不能在上考虑, 而是得在的一个根式扩张下的多项式环上考虑.

 不仅如此, 让我们考虑一下方程这个方程, 它的求根公式指出其根为

这个根所在的域, 也就是这个方程的分裂域为, 它是系数域的根式扩域. 如果我们不去管求根公式的具体形式, 而只是关注根最终的表达式, 我们不难看到所有的根最终都表示为系数域的某个根式扩域中的元素, 换言之, 多项式的分裂域必须包含在的某个根式扩域当中. 事实上, 如果, 则的所有根都在当中, 即的每个根都可以用有限次开方和它们的加减乘除表示出来, 这恰好就是我们对多项式有根式解的直观认识. 反过来, 如果多项式的每个根都可以用有限次开方和它们的加减乘除表示出来, 则每个根都一定在系数域的某个根式扩域当中, 而多项式的根只有有限个, 因此存在一个包含所有这些根式扩域的根式扩域, 而分裂域是包含所有根的最小扩域, 因此它包含于这个根式扩域. 由此, 我们可以对多项式有没有根式解给出一个严格的定义:

定义5.2(多项式有根式解): 如果域上的多项式的分裂域包含于的某个根式扩域, 则称有根式解.

如果一个多项式有根式解, 则它的所有根都在根式扩域当中, 那么我们具体添加的根式是哪些呢? 从Lagrange预解式即可看出就是的解, 其中就是方程的所有系数构成的有理函数. 于是我们所说的多项式有根式解其实就是在说多项式存在求根公式, 尽管我们不知道这个求根公式长啥样子, 但是我们可以断定其存在.

 接下来我们将要面对的就是最高能的部分, 我们将会看到Galois是如何将域扩张进一步和对称性联系在一起的.

 还是回到Galois的出发点, 也就是Lagrange的预解式上来. Lagrange引入预解式是为了破坏对称多项式的对称性, 因为只有破坏了它的对称性, 我们才有可能通过解线性方程组的方式来解出这些根. Lagrange引入的预解式因为想要充分使用Vieta定理, 选择了一个特殊的, 即

但是问一下, 这是必要的吗? 不是! 在之前我们引入预解式的时候就已经指出了, 其实线性组合

只要有一个系数和其它系数不等, 原本的对称性就降低了. 但是注意, 前文提到, 引入不对称线性组合是有代价的, 因为要想让有意义, 我们就必须扩域. 比如要让有意义, 对二次方程而言我们就需要考虑. 不仅如此, 假设我们要让这个式子有意义, 对二次方程而言我们需要怎么扩域呢? 事实上还是要考虑, 因为

虽然我们是借助了的表示才给出来的表示, 但是推广到一般, 对于根的任意不对称线性组合, 必然是要在系数域的根式扩域中进行考察的.

 为了更清楚地说明Galois的思想, 现在让我们考察三次方程. 按照Galois的观点, 任意的不对称组合均可以作为它的预解式存在. 我们不妨考虑下面两个预解式:

这里和有双重身份, 一方面它表示某个具体的多项式, 另一方面我们还会用它指代这个多项式对应的那个根式. 注意到

因此最终得到的方程组

是有唯一解的. 原本的多项式组合有最高的对称性, 但是当我们引入了第二个多项式之后, 能够使得和不变的对称性操作就降低了. 显然现在作用在上会导致发生变化. 但是不会, 也会导致其发生变化, 也会, 也会. 换言之, 现在能够同时使得和不变的对称性操作只能是, 这是的一个子群. 如果我们再考虑不变, 则只有可能是了, 而是的平凡子群.  啊哈, 我们发现了一个小秘密: 至少对于上面这个例子而言, 当我们在的基础上引入非对称线性组合之后, 原本的对称性便下降为的子群, 如果再引入, 则对称性进一步下降为子群. 我们把上面的结果重新表述如下:

上面的表示对应方程组的秩, 正如我们上面看到的, , , . 而下面的那个是在群论中我们给出的子群的含义, 是指是的真子群. 水平方向的箭头方向表示某种意义上的降低, 比如上面是指秩在降低, 下面是指对称性在降低. 竖直方向的箭头表示一种对应, 在某种意义上这种对应是唯一的. 比如说的对称只有可能是的样子, 具有对称性的要求下只有可能是的样子, 如果将这种特性视作是等价关系, 我们只要模掉这个等价关系就能实现对称性和非对称线性组合形式的一一对应了.

 我们前面提到, Galois最为关键的一点就是意识到非对称多项式的引入意味着要扩域, 因此上面的这个序列还应该存在一个关系:

因为就足以解出根了, 因此这里的就是的分裂域, 而是原本的系数域, 是为了让有意义的那个扩域. 我们前面提到, 群和非对称线性组合之间存在一个对应关系, 在模掉某个等价关系后这是个一一对应, 因此我们将前面的两幅图结合起来, 就得到了Galois思考该问题的出发点. 让我们将其表述为一般形式:

任何一个有数学审美的人都会觉得这个图似乎不怎么完美的样子, 我们本能地觉得最上面的那群域之间也是应该有箭头的, 考虑到这是扩域的过程, 我们猜想应该有一个向左的箭头, 箭头上面标注的是域和子域的关系, 另外, 竖直方向的那个箭头是不是也应该是双向的? 按照之前的习惯, 我们用来表示是的子域, 用表示这是真子域. 于是我们期待它的样子应该是:

Galois的直觉告诉他这个图是没有问题的, 因此他的努力方向就是证明这个图成立, 而且最终历史告诉我们, 他的努力方向确实是正确的. 接下来我们要做的就是对上面这幅图进行严格的数学解释, 对这幅图的解释体系就构成了Galois理论的基本内容.

 在继续后面的内容之前, 我们还得注意一个小问题. 在前面讨论非对称线性组合的时候, 我们其实是把视作不同的符号看待的. 如果一个多项式有重根, 不妨取, 则原本交换这个操作对任意的组合都是对称的, 这就和我们之前讨论的出发点冲突了! 为了让我们的讨论成立, 我们就必须考虑那些没有重根的多项式! 这无疑降低了我们理论的解释力. 怎么办? 我们只关心求根公式存在与否, 存不存在重根我们其实并不关心, 如果我们把根都求出来了, 再去求它的重数也不迟.

 假定是域上的可分多项式, 即它的每个不可约因式都只有单根(这不排除有重根, 比如这个多项式, 在数域上它的不可约因子为, 只有单根, 但是本身是有2重根的). 设是的根, 是的分裂域, 则. 根据我们上篇中给出的结论, 如果有重根, 则, 我们设, 则其实就是当中那些带有重根的因式, 当然重数比要低. 我们令, 则和的根就是完全一样的, 区别在于前者只有单根, 后者有重根, 此外的分裂域和分裂域也是一样的. 于是方程的解和的解完全一样. 在我们解完方程后, 再考虑使得的那个最大的就能得到重数了.

 因此, 在后面的讨论当中, 我们完全可以只考虑域中的无重根多项式, 更进一步, 我们可以只考虑域中的无重根首一多项式. 这样一来, 我们就可以将写成

的样子, 且. 对于这样的多项式, 我们将它的根的集合记作或者简单写作或.

6. 同根多项式与自同构群

 给定一个无重根首一多项式, 设

假设它的根集为, 则按照前文所述, 它能够写成

的样子. 假设还有一个无重根首一多项式为

如果, 则这个多项式同样能写成

于是我们看到和的系数完全一致, 即, 只不过不定元发生了变化. 现在我们将和均视作是的某个扩域中的元素, 那么和可以通过一个映射关联起来, 其作用为

原则上讲, 映射的选取是任意的. 但是我们既然是在考虑域上的问题, 一个最自然的想法还是希望能保持域的结构, 也就是说得是域上的同态. 另一方面, 域上的同态是有一定特点的. 考虑

若, 则是单同态(因为只有零解, 即). 若, 则存在使得. 注意到, 而关于乘法构成群. 于是对于任意的, 存在使得, 进而, 这就表明是零同态. 显然我们这里定义的不是零同态, 因而是单同态. 另一方面, 对于任意的, 使得的均存在, 因此这是同构, 进而是上的自同构. 那这就是全部了吗? 显然不是, 我们还得有, 即.

 一个域的扩域上的自同构, 还得满足. 眼熟不? 这就是我们在番外上篇中定义的-同构. 于是我们现在看到, 对于任意的, 如果我们希望在某个满足

的扩域中研究不变的域同态, 则自然而言引出(自)同构.

 还记得我们在上篇中引入同构是为了什么吗? 我们想要说明一个多项式的分裂域的唯一性, 而分裂域的唯一性某种程度上不就是根集的不变性吗. 事实上, 在证明分裂域在同构意义下唯一的过程中, 我们就充分应用了同构下根集的不变性.

 显然, 将域扩到过程的同构不是唯一的, 因此我们把它们放在一起, 可以将其记作, 不过这个集合有一个更为常用的符号: . 显然, , 且对任意的自同构, 其逆映射也是自同构, 即, 它们的复合给出, 即. 此外, 自同构的复合还是自同构, 毕竟对任意成立. 映射的复合也是满足结合律的. 这些论证说明了什么? 关于映射的复合构成群, 我们把它称作域在上的Galois群.(严格地说, 上述论证是有漏铜的, 因为我们是从某个次数有限的多项式出发引入概念的, 因此这个论证基于多项式次数有限的前提, 为了满足这个前提, 我们要求得是的有限扩张.)

 现在我们看到, Galois群的引入背景是不变的域同态. 假设是无重根首一多项式的分裂域, 那么Galois群中的任意元素作用到上都给出一个和同根的多项式. 即

上面这是一个有限集, 于是这两个集合相同其实就自动诱导出上的一个双射:(由于一些数学领域用表示单同态, 用表示满同态, 我将它们结合起来得到表示双射)

注意到, 因此在它上面是有定义的, 事实上, 将限制在根集上得到就是上面的这个双射, 即 . 根据对称群的定义, 上的双射是它的对称群的元素, 如果, 则. 于是上面这个关系其实指出我们找到了一个映射:

其中是的分裂域. 由于我们只是简单取了一个映射的限制, 这不改变原本映射满足的基本属性, 因此我们看到上面这个映射给出了一个群同态, 事实上还是单同态. 即只要, 就得有, 于是就构成了根集对称群的一个子群. 我们将上面的论述总结一下得到

定理6.1: 设是域上无重根的首一多项式, 是的分裂域. 则和的根集上的对称群的一个子群同构.

 根据定理6.1, 研究Galois群其实就归结为研究分裂域为的某个多项式的根集上对称群的子群的研究, 我们把这个群记作, 称作多项式对域的群. 我们现在已经知道

对于任意的的扩域, 我们现在都可以通过上面这个关系将其和的某个子群建立起关联. 即我们找到了域到群的关联.

 同志们, 还记得前面我们给出的那个思路图吗? 我们最下面一行是不是就是一堆的子群, 而我们这里恰好就搞到了一堆子群. 现在回忆一下我们的需求: 我们要找到域的扩张升链和的子群降链之间的关系:

这幅图略掉了预解式的那一层, 毕竟那个只是一个媒介. 另外, 图中水平方向的箭头指向更大的那个. 定理6.1现在只是指出上图的都是对称群(置换群)的子群, 它离这幅图还远着呢. 比如我们现在只是隐隐找到了域到群的对应, 但是这个对应不是完全确定的. 比如说上图中的到底对应哪个扩张呢? 给出的Galois群, 还是的Galois群亦或者是的Galois群?

 水平箭头方向的对应关系给我们提供了继续向前的线索. 因为表示的是上所有自同构的集合, 图中给出, 如果, 则它满足对任意的有. 自然地, 对于的子域, 也同样有对任意成立. 但是注意是上的自同构, 因此这个观察指出. 由此可知

换言之, 要想域箭头和群箭头方向相反, 我们就必须将扩域限定为最终的那个域. 因为上的自同构未必是上的自同构, 唯一可以继承的只有的属性, 因此只能变换中的, 而不能变换. 因此正确的对应关系应该是

最后的那个即是上让所有中元素不变的映射构成的集合, 它只能是平凡子群.

 现在我们设是域的有限扩张, 根据番外上篇的内容, 存在到的有限扩张升链(不唯一)

我们将所有可能的中间域放在一起构成一个集合, 将其记作, 这里是Intermediate Field(中间域)的缩写. 与之类似, 我们将在上的Galois群的子群(Subgroups of Galois Group)的集合记作.  于是前文最终给出了每个中间域和的子群的对应, 即有到的对应:

由此一来, 我们解决了从域到群的问题, 并且保证了水平箭头方向是没有问题的. 接下来的任务就是找到群到域的对应了.

 群到域的过程我们稍微绕点弯. 首先, 按照我们的要求, 得是的有限扩张(这样才可以定义Galois群), 于是是上的有限维线性空间. 我们可以观察到任意的上自同构自动维持了线性结构, 因此上自同构是作为-线性空间上的线性映射. 线性代数的理论告诉我们, 线性空间上的线性映射存在不变子空间, 即存在满足的线性子空间. 于是对于任意的上自同构, 我们都可以找到它的若干不变子空间. 这还不够, 这仅仅是对单个自同构的, 如果我们希望它是对上自同构群的子群的, 我们就得让这个不变子空间是群上所有元素的不变子空间, 即对任意的, 我们希望找到使得的的子空间. 换言之, 子空间需要满足对任意和都有, 这个要求也太难实现了. 不过, 既然, 那么我们令不就自动满足了吗. 考虑到这是从不变子空间(invariant subspace)的角度引入的, 我们不妨就将满足这些要求的集合记作, 即

显然, 如果, 则对任意的, 由于是域上的自同构, 它保护加法和乘法结构, 于是的四则运算结果均在当中, 这表明对元素的四则运算封闭. 此外, 域同构将幺元映为幺元, 将零元映为零元, 因此. 由此观之, 构成的一个子域, 考虑其来源, 我们就将其称作域的不变子域. 值得指出的是, 虽然这里我们是通过线性映射的不变子空间引入的不变子域, 但是观察其形式不难看出它其实是一些特殊的不动点的集合, 研究这样的集合其实在抽象代数当中极其常见. 最后我们指出, 前面的说明也证明了对任意的上自同构群的子群, 都是存在的, 毕竟至少平凡子域一定是不变子域.

 上面我们得到的是自同构群到的子域的对应, 由于自同构构成的群(或者说)是的子群, 因此当我们将上面的不变子域中的限定为中的元素的时候, 得到的就是到的子域的对应:

至此, 我们已经差不多看到成功的曙光了. 因为在的时候就是的子群, 因此在上述对应下我们就有, 现在的问题就是到底对应的是哪个子域? 设为某个自同构, 则它的不动点的集合为

显然, 由自同构的定义可以看到, 这个关系式显然对于任意的都成立, 由此我们看到

这表明当我们取的时候, 关于它的Galois群的不变子域就是的扩域. 换言之, 这个映射将中间域扩大了.

 前面我们指出这个域到群的映射保证了将域的扩张升链对应成子群的降链, 我们现在找到的这个群到域的映射自然得保证将子群的降链变成域的扩张升链, 否则这个构造就不符合我们的要求. 幸运的是这个要求是得到满足的, 因为假设, 则对任意的和任意的, 有. 于是自然也有对任意的和成立, 这表明, 由此得到

也就是子群的升链对应了不变子域的降链, 这正是我们想要的反向对应关系.

 总结一下, 我们目前已有的关系为

这里之所以没用双箭头而是用了两个单向箭头是因为对于每个中间域, 我们能够确定它在映射下被映成, 但是对每个, 我们只能确定它通过某种限制能够限制到上(因为我们通过实际上将映成了的扩域), 没法保证它映成. 但是我们最开始得到的直觉告诉我们这两个单箭头应该合并. 合并的前提自然是右边的这个单箭头, 即从指向的箭头是映成的, 于是我们自然地引入了下面这个概念: