本文作者是20世纪我国最伟大的数学家陈省身(S.S.Chern) , 发表于《自然杂志》第3卷第4期，由胡和生翻译 . 通过这篇文章 , 我们可以进一步理解广义相对论与微分几何之间千丝万缕的联系 . 下面我们一起来看正文 , 更多精彩内容可以关注：

广义相对论与微分几何

我是作为一个微分几何学者来谈谈广义相对论令人惊佩的结构 , 如我所理解 , 广义相对论属于物理学 , 它的基础是物理实验 , 几何学的目标应该是研究空间 . 几何学的研究是由传统和持续性所指导的 , 其评价标准是数学的创造性 , 简洁 , 深刻以及它们的良好的结合和协调 , 因此几何学有更大的自由并可略事沉醉于想象中的课题 , 但是在历史上 , 它也曾被突然惊醒发现这些抽象的对象一贯和现实密切相关 , 微分几何和广义相对论的关系就提供了这样的一个事例 .

广义相对论诞生于1915年 , 微分几何早期等同于微积分，导数和切线 , 积分和面积曾被看成是同样意义的对象 , 微分几何作为独立的学科诞生于1827年这一年 Gauss 发表了他的《曲面的一般研究》(Disquisi tiones circa superficies curvas) , 在其中 , 他以二次微分形式为基本工具 , 奠定了二维的局部微分几何的基础 . 即使高斯也没有能预见到 , 这理论的四维推广会成为引力论的基础 .

一 . Einstein 以前的微分几何

在1854年的一篇历史性的文章《论几何学的基础假设》中 , Riemann 将 Gauss 的工作推广到高维 , 并打下了黎曼几何的基础 . 在文章中他首先引进 维流形的概念 , 其中的点用 个实数作为坐标来描述 , 这是从 Gauss 以来的巨大的一步 , 因为 Gauss 的弯曲曲面是放在三维欧氏空间中的 , 而不是内蕴的 , Einstein 对数学的看法是纯正的 , 他难于接受 Riemann 这样的概念 , 从1908年狭义相对论到1915年广义相对论 , 花了他七年功夫 , 他举出下面的原因 , 即为什么还需要七年才能建立广义相对论呢?主要原因在于不那么容易从坐标必须有一个直接的尺度意义这一概念中解脱出来[1] .

黎曼几何中的基本问题是微分形式的问题 , 即在两个不同坐标系 与 中给定两个二次微分形式

然后求存在坐标变换

将一个微分形式变到另一个的条件 , 这个问题于1869年由 E.Christoffel 及 R.Lipschitz 解决了 , Christoffel 的解包含了以他的名字定名的记号及协变微分的概念 , 在此基础上 , 1887~1896年间 Ricci 发展了张量分析 , 这在广义相对论中起了基本的作用 , Ricci 和他的学生 T.Levi-Civita 在历史性的研究报告《绝对微分法及其应用》(Mathematische Annalen , 1901)中 , 对 Ricci 计算法作了一个综述 , Christoffel 曾在苏黎世的高等工业学校任教(后来 Einstein 是这里的学生) , 因而对意大利的几何学者产生了影响 .

与这些发展同样重要的是 , 在世纪转折时期微分几何学的主要活动集中于欧氏空间的几何 , 这继承着 Euler 与 Monge 的传统 , 一个代表性的工作是 Darboux 的四卷《曲面论》, 它过去是而且现在仍然是一部经典著作 , 要几何学者从一个绝对的围绕空间(通常是欧氏空间)中解放出来是困难的 .

大约与 Christoffel-Lipschitz 解决形式问题同时 , F.Klein 在 1871 年阐述了 Erlangen 纲领 . 这就是把几何学定义为研究有连续自同构群的空间 , 例如欧氏空间具有刚体运动群 , 射影空间具有射影直射变换群等 , Erlangen 纲领用群论统一了几何 , 在发表后的半个世纪内成为几何学的指导原理 , 在应用上它可以从已知几何结果中导出新的看上去没有关系的结果(作为群的同构的推论) . Sophus Lie 的线性球变换是一个有名的例子 .

Klein 的 Erlangen 纲领与狭义相对论完美地相配合 , 狭义相对论中的一个原理是 Lorentz 群下场方程的不变性 , 这导致了这位处于世纪转折时期最有影响的德国数学家 Klein 成为狭义相对论最早的支持者之一 , Lorentz 群结构在相对论中起了基本的作用 . 它还有几何学的解释 , 当我们研究空间中球的几何时 , 将球变为球的所有接触变换构成一个 个参数的 Lie 群 , 而把平面变为平面的变换构成一个 个参数的 Lie 子群 , 后者与 个变量的 Lorentz 群同构 , 所导致的几何学就是 Laguerre 的球几何学[2] .

Klein 的 Erlangen 纲领的伟大成功自然地引起了 Klein 空间或现在称之为齐性空间中的微分几何的研究 , 特别地 , 射影微分几何起始于1878年 Halphen 的学位论文 , 后来从1906年起为 E.J.Wilczynski 的美国学派所发展 , 从1916年起为 G.Fubini 的意大利学派所发展 .

二十世纪初 , 整体微分几何处于摇篮时期 . 1909年 Mukhopadhyaya 阐述了四顶点定理 , van Dyck 在1888年从Gauss-Bonnet 公式导出拓扑的结论 , 即一个闭的有向曲面的 Gauss 曲率的积分等于 , 这里 是曲面的 Euler 示性数 , Hilbert 以独特的预见在1901年写了关于常 Gauss 曲率的曲面一文 , 在文中他给出了 Lipman 定理即具有常 Gauss 曲率的闭曲面必为球的一个新证明 , 还证明了 Hilbert 定理即具负常数曲率的完备曲面不能处处正则 , 在 Hilvert 的辅导下 , Zoll 在1903年发现 , 非球的旋转闭曲面的所有测地线都是闭的 , 在动力学的推动下 , Poincare 与 G.D.Birkhol 证明了在凸曲面上存在闭测地线 .

微分几何的最终目的是整体的结果 , 但是局部微分几何不能减缩到最低限度 , 因为每个整体结果必须有一个局部的基础 , 为使整体微分几何有一个系统的发展 , 必须打下它的基础 , 而这必须从拓扑中来 , 广义相对论为其供给了动力 .

二 . 广义相对论对微分几何的影响

Einstein 建立广义相对论时 , 有效的数学工具是以 Ricci 计算法来论述 Riemann 几何学 , Einstein 引进了有用的和式约定 , 这对微分几何的影响是令人震动的 , Riemann 几何成为中心的课题 . 我们注意到 Schouten , Levi-Civita , E.Cartan 和 Eisenhart 等人关于 Riemann 几何的权威著作几乎都出现在1924~1926年期间 .

这些发展立即得到推广 , 很快就清楚在应用 Riemann 几何于相对论时 , 不是 Riemann 尺度本身而是 Levi-Civita 平行移动起着关键的作用 , 1918年 H.Weyl 在他的名著《空间、时间、物质》中引进了仿射联络的概念 , 这是一个可用来定义平行移动和协变微分的结构 , 不必需是 Riemann 结构 , Weyl 的联络是对称的或无挠率的 .

1923~1924年期间 , E.Cartan 在他的主要论文《仿射联络的流形及广义相对论理论》中给出仿射联络的权威性论述以及它向有挠率联络的推广 , 这篇文章当时并未受到理所应得的注意 , 原因很简单 , 因为它走在时间的前头 . 由于它比仿射联络论更丰富 , 它的思想可以容易地推广到任何 Lie 群的纤维丛的联络理论中去 , 对于这个理论 , Ricci 计算法已不能适应了 . 文章还说明为什么 Einstein 的理论是 Newton 理论的直接推广 , 特别地可以举出下列贡献:

(a) 引进了结构方程 , 并将 Bianchi 恒等式解释为对结构方程进行外微分后所得的结果 ;

(b) 认识到曲率是一个张量值的二次外微分形式 .

用几何的话来说 , 仿射联络是一族仿射空间(即纤维) , 它们由一个空间(基空间)所参数化 , 使得这族仿射空间是局部平凡的 , 并且有一个把纤维沿着基空间的曲线展开的法则 , 使线性关系得以保持 . 类似地 , 我们可以把 Klein 空间当作纤维而以作用于 Klein 空间的 Lie 群来代替完全线性群 , 并且也有一个对应的展开法则 . Cartan 称这样的结构为一般空间(espace generalisé) , 一般来说这个联络是非和乐的(non-holonomic) , 即沿着基空间展开依赖于基空间的曲线 . 换句话说 , 沿一条闭曲线作展开时 , 空间并不回到原来的位置 , 它的变差是由联络的曲率来度量的 , 显然 Klein 空间本身是一个曲率恒等于 的一般空间 .

在 Klein 给出 Erlangen 纲领时 , 已观察到 Riemann 几何并不包括在内 , 因为一个一般的 Riemann 空间除恒等变换外并不含有其他等距变换 , 从 Cartan 的观点来看 , Riemann 空间是一个以欧氏空间为纤维的空间 , 且具有Levi-Civita 联络 , 这解决了微分几何中的一个基础的问题 , 因为这样就有了一个概念，它包括了 Klein 空间 , Riemann 空间以及这两种空间的推广 .

几何结构往往以一个非直观的形式给出 , 通常它或是一个由积分所定义的度量 , 或是由一组微分方程所定义的子流形族 , 两个最熟悉的例子是 Riemman 度量和由二阶常微分方程所定义的道路(path) . 在这样的空间定一个联络不是一个容易的问题 , 事实上就是 Riemann 空间的 Levi-Civita 联络的定义也已相当不平凡了 . 正如所期望的那样 , E.Cartan , O.Veblen 和 T.Y.Thomas 的道路空间几何学涉及到射影联络 .

这些发展就是通常所说的非黎曼几何 , 广义相对论中也有平行的发展 , 狭义相对论用于电磁场 , 广义相对论用于引力场 , 统一场论是两者的结合 , 它的需要是清楚的 . 1918年 H.Weyl 以他的规范场论走出了最初重要的一步 , Weyl 利用一个具有相似变换群的一般空间 , 但被发现它在物理上是不成立的 . 现在了解到 , 他的规范群不能是相似变换群所成的非紧致群而是紧致的圆群 , 我们后面会详细讨论规范理论的最近发展 .

跟随 Weyl 之后 , 又提出了其他一些统一场理论 , 其中有 Kaluza-Klein 理论 , Einstein-Mayer 理论(1931)和 Veblen 的相对论的射影理论(1933). 一个共同特征是为了电磁场而引进五维空间 , Veblen 的理论是四维的 , 但是切射影空间有五维的齐次坐标 , Veblen 的射影理论在几何上是简单的 , 他的出发点是空间的路径 , 它们是带电粒子的轨线 .

Einstein 本人在他的整个晚年从事研究统一场论 , 经常有合作者 , 在这方面我想插进一点有关个人的补白 , 1943 年我从中国西南部的昆明到普林斯顿研究院 , 能够时常同他讨论各种课题 , 包括广义相对论在内 , 我立即看到他的问题的极端困难以及数学与物理之间的区别 , 数学中有名的问题通常是已经提得很明确的 , 但在物理上问题的提法也是问题的一部分 . Einstein 对最后答案有一个严格的标准 , 他尝试各种可能为统一场论奠基的几何结构 , 在其中有非对称张量 (见1955年第5版的《相对论的意义》中的附录II) , 具有 Hermitian 结构的四维复空间 , 以及比 Riemann 空间更一般的度量空间 .

一般度量空间的几何为 K.Menger 所建立与研究 , 对此 Einstein 的朋友 K.Godel 给出重要贡献 , 非对称张量 唯一地分解为对称与反对称的两部分 , 如果前者非退化 , 则结构等价于一个具有二次外微分形式的拟 Riemann 结构 , 按照的对称部分的符号是 或 ，这个拟 Riemann 结构是 Riemann 形式的或是 Lorentz 形式的 , 具有 Hermitian 结构的四维复空间则是密切地与复代数流形及多复变函数有关 , 在最近几十年中 , 它们是大大地发展着的数学领域 .

三 . 正质量猜想&极小曲面&正数量曲率的流形

Einstein 之后的时代 , 广义相对论重视了整体理论或大尺度时空 , 在这方面有很大的进展 , 来源是宇宙理论 , Einstein 本人在这方面很活跃 , 但是整体微分几何的发展所起的影响是毫无疑义的 , 宇宙被视为一个四维连通的 Lorentz 流形 , 物理与几何比以往更缠结在一起了 . 不过纯粹的几何问题通常较简单 , 其中的两个原因是 , 几何学为 Pythagoras 式的几何或 Riemann 几何 , 几何学家可以用假定空间的紧致性来理想化 .

很自然地给定一个超曲面 , 其上到处有类时的法线 , 因而诱导度量为 Riemann 度量 , 这样四维流形的超曲面理论在广义相对论中起了一定的作用 , 它是古典曲面论的直接推广 . 的局部的不变量由两个二次微分形式即第一和第二基本形式给出 , 第二基本形式系数的迹称为平均曲率 , 平均曲率为零是极大超曲面的特征 . 另一方面 , 上的诱导度量有一个数量曲率 , 所有这些量均由 Gauss-Codazzi 方程联系 , 由 Einstein 场方程推出 , 质量密度 及动量密度 是第一和第二基本形式系数及其协变导数的组合 , 因为动量密度必须不超过质量密度 , 我们有

在极大超曲面上 , 数量曲率是非负的 .

如果对某些紧致集 , 包含有限个连通分支 , 使得每个 微分同胚于 中一紧致集的余集 , 并且它的尺度渐近于尺度

式中 是到原点的距离 , 那末相应的超曲面 称为渐近平坦的，在 Schwarzwald 度量的情况 , 符合于 Schwarzwald 质量，因而称为 的总质量 , 于是正质量猜想为 , 对于一个渐近平坦的超曲面 , 每个连通分支 有总质量 , 并且如果一个 , 则这个超曲面是平坦的 , 即诱导的 Riemann 度量是平坦的且第二基本形式是 , 这个猜想在广义相对论中具有根本的重要性 , 由于物理上的理由 , Einstein 假定它是正确的[4] .

在是极大超曲面的假定下 , 1978年 R.Schoen 与 Yau 最一般地证明了它[3] , 这个工作的全部经过是相对论学家与微分几何学家接触与合作的一个完美的例子 , 1973年在斯坦福大学举行的美国数学会微分几何暑期研究会上 , R.Geroch 被邀请作一系列广义相对论的报告 , 正质量猜测显然是未解决的问题之一 , 为使它的陈述简单化 , Geroch 列出一些有引导性的猜测 , 其中一个表述如下 , 在三维实数空间 中 , 考察一个在紧致集之外是平坦的 Riemann 度量 , 如果数量曲率大于等于 , 则这个度量是平坦的[5] . 将这个紧致集围在一个大空间中并把相对两面看作恒等 , J.Kazdan 与 F.Warner 把猜想改写为数量曲率大于等于 的三维环面上的 Riemann 度量是平坦的 . Geroch 指出我们广泛地觉察到 , 证明了这些特殊情况中的几个 , 就可以推广到整个猜想的证明 .

Geroch 的这个猜想落到微分几何的领域中 , Schoen 与 Yau 首先证明了它 , 证明的思想是利用闭的极小曲面 , 事实上由面积的第二变分的公式可知 , 在一个具正数量曲率的三维紧致定向 Riemann 流形中 , 一个具有正亏格的闭极小曲面是不稳定的 , 就是说在微扰下它的面积还会变小 . 另一方面三维环面有一个大的基本群 , 这个基本群同构于 , 并且它的第二个 Betti 数等于 . 这些拓扑性质应推导出在非零的闭曲面同伦类中存在一个具有最小面积的闭正则曲面 , 这是下述结果的推广 , 即在紧致 Riemann 流形上 , 每个非零的闭曲线同伦类中有一条最短的光滑闭测地线 , 对于极小曲面，相应结果的证明当然更为微妙 . Schoen 与 Yau 桐接着就证明了极大超曲面的正质量猜想 , 稍后这个结果被推广到高维情形中去 .

这些发展涉及到极小曲面和正数量曲率流形 , 这些课题对微分几何学者来说是很亲切的 . 极小曲面的早期研究集中于 Plateau 问题 , 即给定 中一闭曲线 , 要找出它所围成的面积最小的曲面 , 只是近年来才指向研究一个给定流形(例如 维欧氏空间 或 维单位球 )中的闭的或完备的极小曲面 . 这些研究推广了闭测地线的性质 , 它们在 Riemann 流形的几何学与拓扑学中已处于重要的地位[6] . 闭的与完备的极小曲面 , 特别是正则曲面 , 必然是一个更丰富的甚至更有趣的对象 , 将极大超曲面作为研究对象是很自然的 . J.Sachs 和 K.Uhlenbeck 证明了一个紧致单连通的 Riemann 流形中总可浸入一个极小的二维球 .

正数量曲率流形的基本问题是怎么样的紧致流形可以有一个具正数量曲率的 Riemann 度量 , 对这个问题感兴趣是由于维数大于等于 的紧致流形均可以具有负数量曲率的 Riemann 度量 , 这个结果的证明可以分成两部分 , 首先流形可以给定一个 Riemann 度量 , 它的全数量曲率(即数量曲率的积分)小于等于 , 然后是后者可以共形变形为具负常数的数量曲率 . 另一方面 , 由于研究调和旋量 , A.Lichnerowicz 在1963年证明了如果一个紧致旋量流形有一个数量曲率是正的 Riemann 度量 , 则它的 亏格(此处笔误 ，应改为 A^ 亏格)等于零 , Schoen-Yau 的工作证明了三维环面不能有正数量曲率的 Riemann 度量 , 对 维环面 , M.Gromov , B.Lawson , R.Schoen 和 Yau 也已证明有同样的结论 . 在广义相对论的推动下 , 对有正数量曲率 Riemann 度量的所有紧致流形已接近于给出它们一个完全的拓扑的描述 .

对于 Ricci 曲率或截面曲率 , 也可提出同样的问题 . S.Myers 的一个经典的定理是说 , 一个有正 Ricci 曲率的完备 Riemann 流形必须是紧致的 , 因而必须有一个有限基本群 , 而要求一 Riemann 流形具有正截面曲率的这一条件是更强些 , 预期这样的流形是很少的 , 秩为 的紧致对称空间有这个性质 , 但是还有其他的一些分散的情况 , 对有正截面曲率的紧致黎曼流形的完全拓扑的描述看来是困难的 .

四 . 规范场理论

1918年 H.Weyl 在他的《引力和电》一文中提出了规范场理论 , 其思想是运用一个二次微分形式及一个线性微分形式来定义 , 即

但是这两个形式还容许下面的规范变换

这里 是电磁势 , 它的外微分 是电磁场强度或 Faraday 场 , 这是统一场论最初的尝试 , Einstein 反对 的不定性 , 但对 Weyl 的建议的深刻与大胆表示了赞赏 .

如果我们将 Weyl 的理论解释为基于 Lorentz 流形上的圆丛的几何学[7] , 则当时及其后的所有反对意见都会消失 , 于是容许规范变换的形式 可以视为在圆从上所定义的联络 , 并且保持 不变 , 这就消除了Einstein 的反对意见 .

规范场理论的数学基础在于向量丛及其上的联络 , 纤维丛或纤维空间的概念具有整体的特性且由拓扑而产生 . 最初它是寻找流形的新例子的一个尝试 , H.Hotelling 在1925年和 H.Scifert 在1932年都在寻找这样的例子 , 纤维空间是局部的乘积空间而不是整体的乘积空间 , 这种区别的存在是一个奥妙的数学事实 , 一直到发现了对纤维丛作出区别的不变量 , 甚至于证明了整体存在着非平凡的纤维丛时 , 纤维丛理论才得到发展 . 最早的这种不变量是 H.Whitney 及 E.Stiefel 在1935年引进的示性类 , 纤维从的拓扑研究放弃了代数结构 , 但是在应用上 , 具有线性结构的向量丛却更为有用 . 粗略地说 , 流形 上的一个向量丛 是一族向量空间 , 它们由 所参数化 , 使得从局部来看它是一个乘积 . 对应于 的向量空间 称为点的纤维 , 例子是 的切丛以及联系在其上的所有的张量丛 . 一个更平凡的丛是乘积丛 , 其中 是一个固定的向量空间 , 而 是在点 的纤维 , 一个向量丛被称为外的或复的是按照纤维是实的或复的向量空间而定 , 它的维数就是纤维的维数 .

重要的一点是 , 纤维上的线性结构保持着一种意义 , 使完全线性群对纤维的连接起着基本的作用 , 这个群称为结构群 . 如果纤维上已给一个内积 , 则一个实(或复)向量丛称为 Riemann 形式的或 Hermite 形式的 , 在这种情形 , 结构群化约为 或 , 是纤维的维数 , 这个丛称为 丛或 丛 , 类似地还有 丛这个概念 .

对于每点 , 连续且光滑地附上纤维 的一点 , 称为丛 的一个截面 , 换言之 , 截面是一个连续映照 , 使得 是恒等映照 , 这个概念是向量值函数与切向量场的一个自然的推广 . 为了对 进行微分 , 我们需要在 上有一个联络 , 这样就能定义协变导数 , 这里 是 上的一个向量场 , 是 上的一个新的截面 . 协变微分一般是不可交换的 , 即对 的两个向量场 , 有 , 对这个不可交换性加以度量 , 给出了联络的曲率 , 这是前面所描述的非和乐的几何概念的一个解析形式 . 根据 E.Cartan 的理论 , 将曲率当为矩阵值的二次外微分形式是重要的 , 它的迹是一个闭的 -形式 , 更一般的 , 它的所有 阶主子式之和是一个闭的 -形式 , 它被称为示性式 , 按照丛是实的或复的分别是 Pontrjagin 示性式或 Chern 示性式 , 根据 de Rham 理论 , 次的示性式决定一个维数为 的上同调类 , 因而称为示性类 , 示性式依赖于联络 , 但是示性类只依赖于丛 , 它们是丛上最简单的整体不变量 . 向量丛的非平凡性需要通过协变微分来认识 , 它们的不可交换性解释了最初的整体不变量 , 这是十分自然的作用 , 示性类的这样的导出强调了它的局部性质 , 且示性式比示性类包含更多的信息 , 当 是一个有定向的紧致流形时 , 最高维数的示性类(即其维数等于 的维数)的积分给出了示性数 . 当它是一个整数时 , 被称为一个拓扑的量子数 .

人们发现这些微分几何概念很可能是统一场论的数学基础 , Weyl 的规范理论处理圆丛或 丛 , 也就是一维的复 Hermite 丛[7] . 在研究同位旋量时 , Yang-Mills 所用的本质上是 丛的一个联络 , 这是非 Abel 规范场理论的第一个实例 , 从联络可以定义作用量 , 四维欧氏空间 上的 丛中使作用量取最小值的联络被称为瞬子 , 它的曲率有一个简单的表达式称为自对偶关系 , 从而瞬子是 Yang-Mills 方程的自对偶解 , 当空间 紧致化为四维球 时 , 丛除了一个同构外由一个拓扑量子数 ( 是整数)决定 , Atiyah , Hitchin 和 Singer 证明对给定的 , 上曲率自对偶的联络的集合(称为模或参数空间)是一光滑流形 , 其维数为 , 用物理术语来说 , 这就是拓扑量子数 的瞬子空间的维数[8] .

Atiyah 和 Ward 注意到 , 自对偶的 Yang-Mills 场可以很好地纳入 Penrose 的挠量理论中 , 他们把求所有自对偶解的问题转化为代数几何的问题 , 即在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题 , 这个问题已由 K.Barth , G.Horrocks 等人非常接近地研究过了 , 用了他们的结果可以最终地找出所有自对偶数[9] . 回到物理上 , 这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式[10] .

瞬子通过以下的结果表明它和 Einstein 相对论的关系 , 群 局部同构于 , 所以四维 Riemann 流形 上的 Riemann 度量通过投影给出一个 丛的联络 , 为 Einstein 流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶(依投影的方法而区分)[8] .

包括弱和强相互作用在内的一个令人满意的统一场论是否能通过非可换规范场论作出这样的问题这还有待研究 , 我们只须指出丛和联络这两个几何概念是非常简洁的 , 我相信 Einstein 会喜欢它们 .

五 . 结束语

这个叙述还有许多明显的不完备之处 , 在 Penrose 和 Hawking 的工作中集中地体现出来的关于奇点的重要研究我们这里并未涉及 , 这是一个最显然的不足之处 . 最后我想表示我的希望 , 广义相对论将不局限于引力场 , 一个总体的统一场论 , 不论它将会是什么样的理论 , 一定会很接近于Einstein 的宏伟计划 , 现在已经有了更多的数学概念和工具可以利用 .

参考文献：

[1] A.Einstein , Library of Living Philosophers , vol.1 , 67 .

[2] W.Blaschke , Differential Geometrie , Bd.1 , Springer(1929) .

[3] R.Schoen , S.T.Yau , Proc , NAS , USA , 75(1978)2567 ; Comm.Math.Phys , 65(1979)45 ; Proc. NAS , USA , 76(1979) .

[4] Y.Choquet-Bruhat , A.E.Fischer , J.E.Marsden , II Nuoco Cimento(1978) .

[5] R.Geroch , Proc. Symp. in Pure Math , 27 , Pt.2(1975)401 .

[6] W.Klingenberg , Lectures on Closed Geodesics , Springer(1978) .

[7] S.Chern , Circle Bundles , Geometry and Topology , II Latin Amer . School of Math , Springer Lecture Notes , 597(1977)114 .

[8] M.F.Atiyah  , N.J.Hitchin , Singer I. M . Proc , NAS , USA , 74(1977)2662 ; Proc. R. Soc Lond , A362(1978)425 .

[9] M.F.Atiyah , N.J.Hitchin , V.G.Drinfeld , Manin Yu. I , Phys , Letl , 65A(1978)185 .

[10] N.H.Christ , E.J , Weinberg , N.K.Stanton , Phys. Rev , D18(1978)2013 .

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