写在前面： 我们从今天开始会不定期地介绍一下 Chern-Weil 理论的相关内容 , 本文是该系列的第三篇第一部分 , 主要内容是讨论一下 Chern-Weil 定理与超渡公式 ，原文源于张伟平院士的专著《Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations》和《流形上的几何与分析》, 在保留原文的基础上进行适当的补充 , 欢迎更多地数学物理爱好者关注！
Chern-Weil 定理与超渡公式
本文开始我们利用 Quillen 的超联络的观念对示性类的 Chern-Weil 理论作一个简单的介绍 .
1.Chern-Weil 定理与超渡公式
对于任意的自同构丛 的光滑截面 , 在流形 上 的超纤维迹形成一个光滑函数并记作 , 这进一步诱导出一个超迹映射 , 使得对任意的 和 有 , 此时我们仍称它为超迹函数 .
我们也可以将 上的超 Lie 括号运算扩展到空间 上 , 即如果 和 , 那么我们可以使用下面的式子
于是便有下面的结果 .
引理1：对于任意的 , 的超迹为零 .
引理2：如果 是超向量丛 上的一个超联络 , 则对任意的 , 有 .
证明：一方面 , 如果 是 的另一个超联络 , 则由《Chern-Weil 理论(第二篇第3部分)：超联络及其曲率》一文中的定义6——超联络上的 Leibniz 法则可知 , , 再根据《Chern-Weil 理论(第二篇第2部分)：超向量丛》中的引理3可知 , , 这意味着 与 的选取无关 . 另一方面 , 中涉及的运算显然都是局部的 , 故对于任意的 , 我们取 的一个充分小的开邻域 , 使得 为平凡向量丛 , 此时选取 的平凡超联络 , 从而 对于该平凡超联络丛自然成立 . 因此结合 关于超联络的独立性和局部性 , 立马推出 在整个流形 上成立 .
设 是关于未定元 的任意幂级数多项式 , 同时令 为超向量丛 上超联络 的曲率 , 则根据对任意的 上有 以及
于是得到
的超迹 是 中的元素 , 这样一来我们就可以给出 Chern-Weil 定理 .
定理3(Chern-Weil 定理)：(i)微分形式 是闭形式 , 即 .
(ii)如果 是 的另一个超联络 , 而 为相应的曲率 , 那么存在微分形式 使得 .
证明：(i)由本文的引理2和《Chern-Weil 理论(第二篇第3部分)：超联络及其曲率》一文中的定理5——Bianchi 恒等式可以得到
(ii) 对任意的 , 令 为 上的一簇形变超联络且满足 和 , 事实上我们有
再设 为 的曲率 , 然后我们研究当 在 中发生变化时 的变化 , 于是令 是 关于 求导得到的幂级数多项式 , 那么我们有
其中最后一个等号来源于《Chern-Weil 理论(第二篇第3部分)：超联络及其曲率》一文中的定理5——Bianchi 恒等式 . 再由本文的引理2立马得到
从而就有下面的超渡公式
这就完成了证明 .
我们还需要补充一下 . 定理3——Chern-Weil 定理对于具有收敛半径为 的任意形式的幂级数多项式 均成立 . 而对于一个没有分次结构的向量丛 , 是 上的一个联络 , 注意到该联络的曲率 , 于是当 时有 , 此时定理3——Chern-Weil 定理中的幂级数多项式可以为任意形式 , 相应的超迹 和超 Lie 括号 自然就变为迹 和 Lie 括号 .
参考文献：
[1] Weiping Zhang . Lecture on Chern-Weil Theory and Witten Deformations .
[2] D.Quillen , Superconnnections and the Chern character .
[3] S.S.Chern , Geometry of characteristic classes .
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