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我们打算在10月底继续补充两篇电动力学的相关内容 , 既然已经在《电动力学专题：电磁场的能量和能流密度》一文中讨论了电磁场的能量和能流 , 现在来研究电磁场的动量和动量流 .

电磁场的动量和动量流密度

众所周知 , 物质一直处于不断地运动之中 , 然而又通过相互作用使得运动形式发生转化 , 关于物质运动形式的转化由着两条最基本的守恒定律——能量守恒定律和动量守恒定律 . 电磁场和带电物质之间有相互作用 , 电磁场对带电物质施加作用力 , 带电物质受力后它的动量发生改变 , 同时电磁场本身的状态也发生相应的改变 . 事实上当电磁波入射与物体上时 , 物体内的带电粒子受到电磁场的作用 , 使得整个物体受到一个总的作用力 , 于是它的动量就会发生变化 , 同时电磁波也被反射或吸收 , 从而改变了它的空间运动状态 , 只不过在这个相互作用的过程中 , 入射电磁场的动量转移到物体上 , 这导致了电磁场的动量发生变化 , 因此电磁场和其它物质一样具有动量 , 我们后面提到的电磁场辐射压力就有力地验证了电磁场具有动量 .

1.电磁场的动量密度和动量流密度的表达式

下面我们丛电磁场与带电物质的相互作用规律来推导出电磁场的动量密度和动量流密度的表达式 .

考虑空间某区域 内有一定的电荷分布 , 区域内的电磁场和电荷之间由于相互作用而发生动量转移 , 另外区域内的电磁场和区域外的电磁场也通过界面 发生动量转移 , 由动量守恒定律可知 , 单位时间内丛区域 外通过界面 传递进入区域 内的动量应该等于 内电荷的动量变化率加上 内电磁场的动量变化率 , 于是我们可以根据电磁场的基本动力学方程—— Maxwell 方程组和 Lorentz 力公式来推导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律 .

电荷在电磁场中受到的作用力由 Lorentz 力公式来表示 , 我们用 表示单位体积内作用力密度 , 则有 , 由于电荷系统受到力的作用 , 故它的动量发生变化 , 根据动量守恒定律可知 , 电磁场的动量也发生相应的变化 , 即 应该等于电荷系统的动量密度变化率 , 而 则可以表示成含有电磁场动量密度变化率和电磁场内部动量转移的量 , 故需要借助 Maxwell 方程组将 中的一些物理量用电磁场的量来表出 .

我们回顾一下真空中的 Maxwell 方程组为

则得到 和 , 代入 中有

再利用 和 将上式改写为 和 的对称的形式 , 即

既然 表示电荷系统的动量密度变化率 , 如果我们将上式视为动量守恒定律的话 , 那么右边最后一项 应为电磁场的动量密度变化率 , 于是电磁场的动量密度表达式为 , 而右边的其余的项应该表示电磁场内部的动量转移 . 为了证明这一点 , 下面我们需要把

表示成一个张量的散度 .

由于 , 故有

其中 为单位张量且对任意一个矢量均匀 . 同理可以有

进而得到

令二阶张量 的表达式如下 , 即

则有

整理一下后得到 , 然后将上式对区域 进行积分得到

其中上式的右边是对区域边界 的面积分 , 上式的左边则是区域 内电荷系统和电磁场的总动量的变化率 , 故 表示由区域 外通过界面 流入区域 内的动量流 , 此时张量 是电磁场的动量流密度或电磁场的应力 . 如果区域 为全空间 , 那么右边的面积分趋于零 , 进而由 , 这意味着此时电荷系统和电磁场的总动量变化率等于零 , 这就是动量守恒定律 .

事实上电磁场的动量密度 和能流密度 之间的关系如下

对于平面电磁波 , 我们有 , 其中 为沿着电磁波传播方向的单位矢量 , 代入上式后得到一定频率的平面电磁波的平均动量密度为

其中 和 . 另一方面对于平面电磁波还有 , 其中 为能量密度 , 因此得到 , 这一关系式量子化后的电磁场中仍然成立 , 注意到量子化后的电磁场由光子组成 , 且每个光子的能量为 , 其中 , 为 Planck 常数 , 为角频率 , 进而每个光子带有动量 .

下面我们来阐述动量流密度张量 的物理意义 . 如上图所示 , 设 为一面积元 , 它的三个分量分别等于三角形 , 和 的面积 , 而 是一体积元 , 通过界面 单位面积流入 内的动量的三个分量分别为 , 通过界面 单位面积流入 内的动量的三个分量分别为 , 通过界面 单位面积流入 内的动量的三个分量分别为 , 当体积元 时 , 通过这三个面流入 内的动量等于从面 流出的动量 , 于是通过面 流出的动量的各个分量为

将上面三个式子改写为矢量形式为 , 这就是通过面积元 流出的动量 , 因此通过闭合曲面流出的总动量为 , 其中动量流密度张量 的分量 的意义就是垂直于 轴的单位面积流过的动量的 分量 , 这里的 分别表示 轴 , 轴和 轴 .

然后我们来计算平面电磁波的动量流密度张量 . 由于平面电磁波的三个物理量 是三个互相正交的矢量 , 故我们就利用这三个方向来分解得到 的各个分量 . 注意到

以及 , 于是就有

另外对于平面电磁波而言有 , 因此得到 . 同理可以得到 以及 , 这意味着 只有 分量 , 又因为 , 所以有

即 , 其中 为波矢 方向的单位矢量 , 为动量密度 , 如果我们选取波矢 方向为 轴 , 那么 只有 分量 , 此时 , 而平面电磁波的动量流密度张量 的表达式中的第二个 表示电磁波的动量沿着波矢 方向 , 第一个 则表示只有对垂直于波矢的面才有动量通过 , 在侧面上不会发生动量转移 , 电磁波具有动量密度 , 传播速度为 , 因此单位时间内垂直流过单位截面的动量大小为 .

2.辐射压力

由于电磁波具有动量 , 故它入射到物体表面上时会对物体施加一定的压力 , 我们称之为辐射压力 , 于是可以根据 和动量守恒定律来计算出辐射压强 .

我们以平面电磁波为例 , 当电磁波入射到理想导体表面而全部被反射 , 设入射角为 , 如果把入射波的动量分解为垂直于表面的分量和与表面相切的分量 , 那么当电磁波被反射后 , 动量的切向分量不变 , 而法向分量变号 , 由于电磁波的速度为 , 故单位时间内通过单位横截面的电磁波的动量为 , 其中 为入射波的平均能量密度 , 而它的法向分量为 . 事实上这部分动量入射到导体表面 的面积上 , 于是单位时间内入射到导体表面单位面积上的动量的法向分量为 , 而在反射过程中电磁波的动量变化率为 , 根据动量守恒定律可知 , 导体表面所受到的辐射压强为 .

在导体外部 , 总的电场 为入射波的电场 加上反射波的电场 , 即 , 且满足 , 其中最后一项 是干涉项 , 它表现为导体表面外部强弱相间的能量分布 , 对空间上各个点求平均后此项贡献为零 , 故在导体表面附近总平均能量密度 等于入射波的能量密度 加上反射波的能量密度 , 即 , 在全部反射的情形中则有 , 因此得到 . 如果电磁波从各个方向入射 , 对 平均后得到 , 这说明即使是电磁波被导体表面完全吸收 , 结果仍成立 , 进而我们可以知道 也是黑体辐射对界面所施加的压强 .

上面的结果我们也可以借助动量流密度张量 推出 , 我们设 垂直于入射面 , 在完全反射的情形中有 , 故此时导体界面上总的电场强度 , 而总的磁场为 , 与导体界面相切 , 用 表示指向导体内部的法向单位矢量 , 于是有 , 进而得到

因此导体表面受到的压强为 , 这与前面的结果是吻合的 .

最后我们进行一些补充说明 . 在一般的光波或无线电波的情形中 , 辐射产生的压强是不大的 , 就好比太阳辐射在地球表面上的能流密度为 , 此时的辐射压强 , 但近几十年来制成的激光器能产生聚集的强光 , 可以在很小的面积上产生巨大的辐射压力 , 在天文领域中 , 光压在星体内部可以和万有引力相抗衡 , 从而对星体的构造和发展起着重要的作用 , 在微观领域中 , 电磁场的动量也表现得十分明显 , 即具有动量 的光子与电子发生碰撞时服从能量守恒定律和动量守恒定律 , 这个其它粒子相互碰撞的情形是一样的 .

参考文献和推荐阅读：

(1) 电动力学, by 郭硕鸿

(2) 经典电动力学, by John David Jackson

(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths

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