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很久没写理论物理了 , 故今天的文章主要是补充一下电动力学 , 主要内容是电磁波的衍射问题和 Kirchhoff 公式的推导 .
1.电磁波的衍射问题
当电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过屏幕上的小孔时 , 会导致偏离原来人射方向的出射电磁波 , 这种现象称为电磁波的衍射 . 衍射现象的研究对于光和无线电波的传播都是很重要的 , 衍射理论的一般问题就是要计算通过障碍物或小孔后的电磁波角分布 , 即求出衍射图样 .
在光学中衍射理论的基础是惠更斯原理 , 它假设光波面上每一点可以看作次级光源 , 它们发射出子波 , 这些子波叠加后得到向前传播的光波 , 现在我们从电动力学基本原理出发导出 Huygens 原理 .
上图表示典型的衍射问题 , 设屏幕上有一小孔 , 电磁波从一边入射 , 我们要计算通过小孔后在屏幕右边空间各点上的电磁波场强 , 这问题严格来说应该作为边值问题求解 . 入射波到达屏幕时 , 在屏幕上和小孔边缘处被反射和散射 , 在屏幕的左侧的电磁场包括入射波和反射波 , 而在屏幕的右侧则是透过小孔后的电磁波 , 在小孔处两边电磁场值应该相等 , 在屏幕两侧电磁场应该满足物体表面上的边界条件 , 然后由这些条件原则上可以解出全空间中的电磁场 . 但一般来说这种普遍解法是很复杂的 , 实际所用的衍射理论都是一些近似解法 , 近似的关键在于假设小孔 上和屏幕右侧 的场强为已知 , 由此求出右半空间各点上的场强 , 这种求解方法实质上是把一个区域内的电磁场用其边界 上的值表示出来 .
事实上电磁场由两个互相耦合的矢量场 和 构成 , 然而用严格的矢量场理论来讨论衍射问题较为复杂 , 一般在光学中常常忽略场的矢量性质 , 而把电磁场的每一直角分量看作标量场 , 用标量场的衍射理论来求解 , 当衍射角不大时这种方法是较好的近似 . 本文我们只推导标量衍射公式 , 而不去讨论较严格的矢量场衍射公式 .
2. Kirchhoff 公式的推导
电磁场的任一直角分量 满足 Helmholtz 方程 , 其中 , 如果忽略电磁场其它分量的影响 , 而是孤立地把 视为一个标量场 , 那么就可以用边界上的 和 的值来表示出区域内的 的值 , 因此这套理论就称为标量衍射理论 .
和静电场的情形一样 , 我们用 Green 函数的方法就可以将 与边界上的值联系起来 , 设 是 Helmholtz 方程的 Green 函数 , 则有
注意到
解下来令 , 代入上式后得到
于是我们可以看出衍射波的 Green 函数为 , 然后把 和 代入下面的 Green 公式
并将积分变量 换成 且 Green 函数 中的 与 互换后得到
其中 为区域 的边界 , 而 是从区域 指向外部的面积元 , 然后我们设 是指向区域 内部的法向单位矢量 , 则有 , 因此我们便得到了 Kirchhoff 公式 , 即
其中 和 .
Kirchhoff 公式把区域 内任意一点 处的场 用 的边界 上的 和 表示出来 , 那么该公式就是 Huygens 原理的数学表示 . 在上述 Kirchhoff 公式中 , 因子 表示由曲面 上的点 向区域 内部的点 传播 , 波源的强度由 和 的值确定 , 这意味着曲面上每一点均可以看作次级波源 , 而区域 内的电磁波可以视为曲面上所有的点上的次级波源发出的子波的叠加 .
还需要说明的是 , Kirchhoff 公式并不是边值问题的解 , 它仅仅把 用边界上的值表示的积分表达式 , 而当问题完全解出以前边界上的值 和 是未知的且不能任意规定 , 因此我们只能在某些特殊情况下合理地估计在边界 上的 和 , 此时才能应用 Kirchhoff 公式来计算区域 内的 , 而电磁波的衍射问题通常属于这样的情形 .
参考文献和推荐阅读：
(1) 电动力学, by 郭硕鸿
(2) 经典电动力学, by John David Jackson
(3) 电动力学导论 , by David J.Griffiths
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